沪科版初中数学2018年中考第一轮复习4.4

了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念,了解黄金分割.了解图形相似的概念,了解相似多边形和相似比,理解相似三角形的概念和性质.理解并掌握两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单实际问题.第一页第二页，共34页。第二页第三页，共34页。第三页第四页，共34页。考点1

比例线段和比例的性质1.线段的比和比例线段(1)线段的比:用同一个长度单位去度量两条线段a,b,得到它们的长度,我们把这两条线段

长度

的比叫做这两条线段的比,记作

或a∶b.

(2)比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比

等于

c与d的比,即(或a∶b=c∶d),那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.

2.线段的比例中项在线段a,b,c中,如果a∶b=b∶c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项,此时有b2=ac.3.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的

比例中项

,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值

叫做黄金数.

第四页第五页，共34页。第五页第六页，共34页。4.比例的性质

(1)等比性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k),这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中的一种常用方法;(2)应用等比性质时,要考虑分母是否为零;(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:第六页第七页，共34页。典例1

(2017·兰州)已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是

(

)【答案】

A第七页第八页，共34页。考点2

平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所得的

对应线段

成比例.

2.推论(三角形一边的平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的

对应线段

成比例.

第八页第九页，共34页。典例2

(2017·湖北恩施)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为

(

)A.6 B.8C.10 D.12【解析】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∵∠ADE=∠EFC,∴∠ABC=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴DE=BF,∵

,∴BF=10,即DE=10.【答案】C【方法指导】

已知平行线,求线段的长或求线段的比,一般要考虑由平行线得到成比例线段,并利用比例的性质进行变形.第九页第十页，共34页。提分训练1.已知,如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC,DF被这三条直线分别截于点A,B,C和D,E,F,若AB=BC,DF=6,则DE=

3

【解析】因为l1∥l2∥l3,所以,又AB=BC,DF=6,所以DE=EF=3.第十页第十一页，共34页。考点3

相似三角形的判定(8年8考)1.相似三角形的定义对应角

相等

,对应边

成比例

的三角形,叫做相似三角形.

2.相似三角形的判定(1)平行法:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.(2)两角

分别相等

的两个三角形相似.

(3)两边成比例且

夹角相等

的两个三角形相似.

(4)三边

成比例

的两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.第十一页第十二页，共34页。3.相似基本图形(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”“X型”).(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”).第十二页第十三页，共34页。(3)“垂直型”(有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型”“三垂直型”).这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不能仅局限于以上这几种情况.第十三页第十四页，共34页。典例3

(2017·山东枣庄)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是(

)【解析】A项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;B项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;C项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似;D项,两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.【答案】

C第十四页第十五页，共34页。【变式拓展】

如图,点D在等边△ABC的边BC上,点E在边AC上,若∠ADE=60°,则下列与△ADE相似的三角形是

(C)A.△ABD B.△ABCC.△ACD D.△DCE【解析】由等边△ABC知∠C=60°=∠ADE,又∠DAE=∠CAD,可得△ADE∽△ACD.第十五页第十六页，共34页。考点4

相似三角形的性质(8年8考)1.相似三角形的对应角都

相等

、对应边都

成比例

.

2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于

相似比

.

3.相似三角形周长的比等于

相似比

.

4.相似三角形面积的比等于相似比的

平方

.

(1)相似三角形的相似比k具有顺序性,甲与乙的相似比是k,则乙与甲的相似比是

;(2)利用相似三角形的性质,可以证明角相等、线段成比例,也可以求三角形的周长、边长、面积等.第十六页第十七页，共34页。典例4

(2017·四川攀枝花)如图,D是等边△ABC边AB上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则

=

.

【解析】易知∠A=∠B=∠EDF=60°,∴∠AED=∠FDB,第十七页第十八页，共34页。【方法指导】

要求两条线段的比或证明成比例线段或证明线段的等积式,一般先证明这几条线段所在的两个三角形相似,再利用相似三角形的性质求解.第十八页第十九页，共34页。提分训练2.如图,D是△ABC的边AB上一点,且∠ADC=∠ACB,AD=2,AB=4,则AC的长是

(D)A.2B.4C.8【解析】由∠ADC=∠ACB,∠A=∠A,可得△ACD∽△ABC,3.已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶3,若△ABC的面积是8cm2,则△DEF的面积是

18

cm2.

【解析】因为△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶3,所以S△ABC∶S△DEF=4∶9,又△ABC的面积是8cm2,则△DEF的面积是18cm2.第十九页第二十页，共34页。知识拓展角平分线分线段成比例定理三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

可以应用相似三角形对这个定理进行证明.证明:作BE∥AC,交AD的延长线于点E,∴∠CAD=∠E,∵∠BAD=∠CAD,∴∠E=∠BAD,∴AB=BE.∵∠E=∠CAD,∠BDE=∠ADC,∴△BDE∽△CDA,第二十页第二十一页，共34页。提分训练4.已知:如图,在△ABC中,点D,G分别在边AB,BC上,∠ACD=∠B,AG与CD相交于点F.(1)求证:AC2=AD·AB;【答案】

(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB.(2)∵△ACD∽△ABC,∴∠ADF=∠ACG.∴∠DAF=∠CAF,即∠BAG=∠CAG,AG是∠BAC的平分线,第二十一页第二十二页，共34页。1.相似三角形与分段函数的图象综合典例1

如图,菱形ABCD的边长为5cm,AB边上的高DE=3cm,垂直于AB的直线l从点A出发,以1cm/s的速度向右移动,到达点C后停止运动.若直线l的移动时间为x(s),直线l扫过菱形ABCD的面积为y(cm2),则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是

(

)第二十二页第二十三页，共34页。【答案】

C第二十三页第二十四页，共34页。2.相似三角形与特殊四边形综合典例2

如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在BC边上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q.给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中正确结论的个数是

(

)A.1 B.2 C.3 D.4第二十四页第二十五页，共34页。【答案】D第二十五页第二十六页，共34页。命题点

与相似三角形有关的证明与计算(必考)1.(2016·安徽第8题)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为

(B)【解析】∵BC=8,∴CD=4,在△CBA和△CAD中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,第二十六页第二十七页，共34页。2.(2016·安徽第23题)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:△PCE≌△EDQ.(2)延长PC,QD交于点R.①如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;第二十七页第二十八页，共34页。解:(1)∵点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,∴DE=OC,DE∥OC,CE=OD,CE∥OD,∴四边形ODEC是平行四边形,∴∠OCE=∠ODE,∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,∴∠PCO=∠QDO=90°,∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ,∴△PCE≌△EDQ(SAS).第二十八页第二十九页，共34页。(2)①如图,连接OR.∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线.∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四边形OCRD中,∵∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°,∴∠CRD=30°,∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠ORC+2∠ORD=2∠CRD=60°,∴△ABR为等边三角形.②由(1)知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE.∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90°,即△PEQ为等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ,∴∠ARB=90°.第二十九页第三十页，共34页。于是在四边形OCRD中,∠OCR