爱提分七年级寒假 第02讲-平方根与立方根(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱平方根知识精讲平方根定义如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．表示若，则就叫做的平方根，例：，的平方根就是．一个非负数的平方根可用符号表示为“”.特征1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；2．0的平方根只有一个，是它本身；3．负数没有平方根．算术平方根概念如果一个非负数x的平方等于a，即，那么非负数x是a的算术平方根．表示a的算术平方根用表示．a叫做被开方数（）．例：，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.性质双重非负性，在中有，．开平方概念求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．意义开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．性质1．当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（）．例：1扩大100倍为100，它的平方根相应的变为10.2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有注意二者之间的区别及联系．易错点：1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2．正数的平方根有两个，且互为相反数；3．0的平方根和算术平方根都是0；4．计算.例如，求的算术平方根，学生会错写为4，应该是2；5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.

三点剖析一．考点：算术平方根、平方根．二．重难点：算术平方根的双重非负性，常见平方数．三．易错点：只有非负数才有平方根；正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根和算术平方根都是0．平方根例题例题1、的平方根是________．【答案】±2【解析】的平方根是±2．例题2、一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，则a的值为（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】由题意得：2a－1－a＋2＝0，解得：a＝－1．例题3、已知与是同类项，则的平方根是________．【答案】【解析】由题意可知：，，的平方根为：例题4、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是（）A.0B.1C.D.【答案】A【解析】0的平方根是0．故选这个数为0．例题5、若，则（a＋2）2的平方根是________．【答案】±16．【解析】由，两边平方得a＝14，∴（a＋2）2＝162，∴（a＋2）2平方根是±16．随练随练1、的平方根为（）A.B.8C.D.【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．，8的平方根有两个，．所以本题的答案是D．随练2、若与（y＋4）2互为相反数，则x＋y的平方根为________．【答案】±1【解析】∵与（y＋4）2互为相反数，∴，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得x＝5，y＝－4，∴x＋y＝5＋（－4）＝1，∴x＋y的平方根为±1．随练3、一个正数的两个平方根是与，则的值是（）A.64B.36C.81D.49【答案】D【解析】正数的两个平方根是与，，解得，所以，，所以，．算术平方根例题例题1、的算术平方根是（）A.2B.±2C.D.±【答案】C【解析】∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，例题2、下列各组数，互为相反数的是（）A.－2与B.与C.－2与D.2与【答案】C【解析】－2与互为相反数．例题3、下列各式计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、，无意义，故此选项不合题意；B、，故此选项不合题意；C、，故此选项不合题意；D、，正确，符合题意．例题4、下列说法正确的是（）A.是的平方根B.3是的算术平方根C.的平方根是2D.8的平方根是【答案】B【解析】A、负数没有平方根，故选项A错误；B、，9的算术平方根是3，故选项B正确；C、的平方根是，故选项C错误；D、8的平方根是，故选项D错误．例题5、如果是的一个平方根，那么的算术平方根是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】是的一个平方根，的算术平方根是：．例题6、算术平方根等于它本身的数是________．【答案】0和1【解析】算术平方根等于它本身的数是0和1．随练随练1、下列说法不正确的是（）A.的平方根是B.－9是81的一个平方根C.0.2的算术平方根是0.04D.－27的立方根是－3【答案】C【解析】A、，故A选项正确；B、，故B选项正确；C、，故C选项错误；D、，故D选项正确；随练2、关于的叙述正确的是（）A.在数轴上不存在表示的点B.C.D.与最接近的整数是3【答案】D【解析】A、在数轴上存在表示的点，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项错误；D、与最接近的整数是3，故选项正确．随练3、已知，则________．【答案】1.01【解析】，．随练4、我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：．小明按键输入显示结果为4，则他按键输入显示结果应为________．【答案】40【解析】∵，∴．开平方例题例题1、下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项错误；D、，正确．例题2、若，则x＝________．【答案】16【解析】两边平方，得：x＝16．例题3、已知，，那么=__________，=__________．【答案】，【解析】被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（）．例题4、阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：解：，（1），（2）．（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________（填序号）原因是____________________________________________；请写出正确的解答过程．【答案】（2）；正数的平方根有两个，它们互为相反数；见解析【解析】上述过程中有没有错误？若有，错在步骤（2），原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：，，，．随练随练1、已知x是的整数部分，y是的小数部分，则的平方根为________．【答案】±3【解析】由题意可得：，∴x＝3，，则，而9的平方根为±3．随练2、若与互为相反数，则的平方根=_____．【答案】【解析】∵若与互为相反数，∴，∵，，∴，，∴，∴9的平方根为．故答案为．随练3、（1）已知的平方根是，的平方根是士4，求的平方根；（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．【答案】（1）±3（2）【解析】（1）依题意，得且，，．．的平方根为，即；（2）与是同一个正数的平方根，，，，．立方根知识精讲一．立方根定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根.例：，那么叫做的立方根.表示若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略．例：，此时2就叫做8的立方根.特征1．任意一个数都有立方根；2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．二．开立方定义求一个数的立方根的运算意义开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．性质1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍．例：1扩大1000倍变为1000，则它的立方根由1变为10，扩大了10倍.

2．，．三．易错点1．平方根“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为，而立方根“”的根指数“3”不能省略．2．立方根等于本身的数有“”和“0”．3．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数．4．当两个数相等时这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．5．求一个带分数的立方根时，必须把带分数化为假分数．

三点剖析一．考点：立方根．二．重难点：立方根的运算．三．易错点：平方根“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为，而立方根“”的根指数“3”不能省略．立方根等于本身的数有“”和“0”．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数．立方根例题例题1、的立方根是__________．【答案】【解析】例题2、的立方根是__________．【答案】【解析】例题3、下列说法，其中正确说法的个数是（）①－64的立方根是4②49的算术平方根是③的立方根是④的平方根是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】①－64的立方根是－4，故此选项错误；②49的算术平方根是7，故此选项错误；③的立方根是，正确；④的平方根是：，故此选项错误；例题4、已知，那么等于________．【答案】148.877【解析】，例题5、若一个数的算术平方根与它的立方根相等，那么这个数是________．【答案】0和1【解析】0的算术平方根和立方根都是0，1的算术平方根和立方根都是1．例题6、已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b+2的算术平方根是4，求a+3b的立方根．【答案】2【解析】∵2a﹣1的平方根是±3∴2a﹣1=9，解得，a=5，∵3a﹣b+2的算术平方根是4，a=5，∴3a﹣b+2=16，∴15﹣b+2=16，解得，b=1，∴a+3b=8，∴a+3b的立方根是2．随练随练1、下列关于立方根的说法，正确的是（）A.的立方根是 B.立方根等于它本身的数有，0，1 C.的立方根为 D.一个数的立方根不是正数就是负数【答案】B【解析】A、的立方根是，故选项错误；B、立方根等于它本身的数有，0，1，故选项正确；C、，的立方根为，故选项错误；D、0的立方根是0，故选项错误．故选：B．随练2、若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是（）A.0B.0和1C.1D.和0【答案】B【解析】设这个数为a，由题意知，，解得或0，故选：B．随练3、已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．求的算术平方根．【答案】∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．∴，，解得．∴，16的算术平方根是4．【解析】先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值，然后依据立方根的定义求得b的值，最后，再进行计算即可．开立方例题例题1、已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．【答案】70．【解析】70．例题2、已知与互为相反数，求．【答案】【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴，∴．例题3、当时，的值是（）A.B.C.4D.【答案】C【解析】原式．例题4、的立方根与的平方根的和为（）A.B.4C.D.或【答案】D【解析】的立方根为，，的平方根为3或，则的立方根与的平方根的和或．例题5、（1）27的立方根是__________；__________．（2）的立方根是__________；的立方根为__________．（3）若，则__________；若，则__________．【答案】（1）3（2）（3）2（4）2（5）-2（6）例题6、解方程（1）；（2）．【答案】（1）或（2）【解析】（1），，解得或．（2），，解得．随练随练1、一个数的立方根是它本身，则这个数是（）A.0B.1，0C.1，D.1，或0【答案】D【解析】立方根是它本身有3个，分别是，0．随练2、若，则k的取值范围为（）A.B.C.D.为任意数【答案】C【解析】由于，因此，即．随练3、求下列各式中的值（1）（2）【答案】（1），（2）【解析】（1），，．（2）．随练4、已知和互为相反数，求的平方根．【答案】【解析】由题意，得，解得．拓展拓展1、下列各式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以A选项正确；B、C、D选项都错误．拓展2、下列说法正确的是（）A.1的立方根是±1B.=±2C.0.09的平方根是±0.3D.0没有平方根【答案】C【解析】A．1的立方根是1，故A错误；B．=2，故B错误，C．0.09的平方根是±0.3，故C正确．D．0的平方根是0，故D错误．拓展3、已知，则0.005403的算术平方根是（）A.0.735B.0.0735C.0.000735D.0.0000735【答案】B【解析】0.0735．拓展4、正数的两个平方根分别为和．（1）求的值；（2）求这个数的立方根．【答案】（1）－10（2）－5【解析】（1）正数的两个平方根是和，，解得：（2），，．这个正数的两个平方根是，这个正数是169．，－125的立方根是－5．拓展5、化简（）A.B.2C.D.4【答案】B【解析】是4的算术平方根，则．拓展6、的算术平方根是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，的算术平方根为。拓展7、在下列各式中正确的是（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】A、，正确；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，故本选项错误．拓展8、下列各式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A、