爱提分七年级秋季 第16讲-平行线(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱平行线的判定知识精讲一．平行线的公理及推论平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作．平行公理过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

二．平行线的判定两条直线被第三条直线所截1．如果同位角相等，那么两直线平行；即：如果∠1=∠2，那么a∥b2．如果内错角相等，那么两直线平行；即：如果∠1=∠2，那么a∥b3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．即：如果∠1+∠2=180°，那么a∥b

三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；2．平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．3．平行线必在同一平面内，在同一平面内是平行线存在的前提条件；判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．三点剖析一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定．二．重难点：平行线的判定．三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．平行公理及推论例题例题1、下列结论中，不正确的是（）A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.等角的余角相等D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行例题2、三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A.a⊥bB.a∥bC.a⊥b或a∥bD.无法确定例题3、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A.1个B.2个C.3个D.4个例题4、下列说法错误的是（）A.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C.经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线例题5、如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？随练随练1、已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为________．随练2、同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A.a∥dB.b⊥dC.a⊥dD.b∥c随练3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A.垂直B.两条直线互相平行C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线平行线的判定例题例题1、如图，能判定的条件是（）A.B.C.D.例题2、如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（）A.B.C.D.例题3、已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（）A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠2＋∠5＝180°例题4、ABCDE如图，要判定DE∥BC，有三条截线，它们分别是、_______和_______；当考虑截线时，只需同位角与_______相等，或同旁内角_______与互补，就能判定DE∥BC．ABCDE例题5、如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：（1）；（2）；（3）；（4）．能判断的有________个．随练随练1、如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转________．随练2、如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC＋∠CDG＝180°，求证：BC∥GD．随练3、下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到AB∥CD的是（）A.B.C.D.随练4、如图所示，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE＋∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有（）A.①②B.②④C.①③D.③④随练5、如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于________时，AB∥CD．平行线的性质知识精讲一．平行线的性质性质1．两直线平行，同位角相等；即：如果a∥b，那么∠1=∠22．两直线平行，内错角相等；即：如果a∥b，那么∠1=∠23．两直线平行，同旁内角互补．即：如果a∥b，那么∠1+∠2=180°两条平行线之间的距离在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．如下图：二．拐点辅助线做法图形及辅助线结论∠B+∠AEG+∠I=∠BAE+∠EGI∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFG=720°思考n条平行线，角度有什么数量关系？思路：两条平行线间出现拐角时，过拐点作某条直线的平行线，根据平行公理，三条直线两两平行，再考虑平行线的性质定理解题.三．易错点1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．三点剖析一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．平行线的性质例题例题1、如图，，平分，若，那么的度数为（）A.B.C.D.例题2、如图，已知，，是的平分线，，则_______°．例题3、如图，直线，，为直角，则等于（）A.B.C.D.例题4、如图，直线与相交于，在的平分线上有一点，．当时，的度数是（）A.B.C.D.例题5、如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是________．随练随练1、如图，，，，则________°．随练2、如图，线段，相交于点，于，交于点．若，则等于________．随练3、如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为（）A.35°B.15°C.10°D.5°角的计算与证明例题例题1、如图，已知，．求证：．例题2、（1）已知：如图1，，易知，请补充完整证明过程：证明：过点作（已作）________（________），又，________（________）即（2）变式：如图，，，是直线上的两点，猜想，，，这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．例题3、已知：如图，，．（1）试说明．（2）若把条件改为，，，则吗？说明理由．（3）若把条件改为、，，则吗？（不需说明理由，只答相等或不相等）例题4、如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1=∠2，∠3=∠4，则∠A=∠F，请说明理由．解：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠DGF（_____________）∴∠1=∠DGF∴BD∥CE（_________________________）∴∠3+∠C=180°（_________________________）又∵∠3=∠4（已知）∴∠4+∠C=180°∴_____∥_____（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠F（___________________________）．例题5、（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据_______________________可得∠BCD=_____°；②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM=_______°；③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN=______°．（2）尝试解决下面问题：已知如图4，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．例题6、如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠C＝∠D．（1）判断AC与DF的位置关系，并说明理由；（2）若∠C比∠A大20°，求∠F的度数．例题7、如图，已知直线l1∥l2，且直线l4和l1、l2分别交于A、B两点，l3和11、l2分别交于C、D两点，点P是l4上一点．（1）如果点P在A、B两点之间，试找出∠ACP、∠CPD、∠BDP之间的关系，并说出理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，请直接给出∠ACP、∠CPD、∠BDP之间的关系，无需证明（点P和A、B不重合）随练随练1、如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．（1）试说明：DF∥BC；（2）若∠1＝68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．随练2、如图，CD⊥AB，点E，F，G分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，DG∥BC．（1）若∠B＝35°，求∠1的度数；（2）试判断∠1，∠2的数量关系，并说明理由．随练3、林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村水渠从C村沿什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？随练4、如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°，（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．随练5、如图，已知，，互为补角，求证：．（1）请你根据已知条件完成证明过程：证明：，，互为补角，________，________，（________）．________，________，（________）________．（2）填空：若平分，，则________度．命题、定理、证明知识精讲命题、定理、证明命题定义判断一件事情的语句，叫做命题．常写成“如果……，那么……”的形式.组成题设已知事项.一般地，用“如果”开始的部分是题设结论由已知事项推出的未知事项.一般地，用“那么”开始的部分是结论.真命题判断为正确的命题称为真命题假命题判断为错误的命题称为假命题互逆命题如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．定理经过受逻辑限制的证明为真的陈述，一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理．二．易错点：1．命题的概念，关键是要注意两点，其一必须是一个语句，其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”．2．命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．三点剖析一．考点：命题的判断．二．重难点：命题的概念和命题的构成．三．易错点：1．命题的概念，关键是要注意两点，其一必须是一个语句，其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”．2．命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．命题、定理、证明例题例题1、两个锐角之和是钝角，其条件是，结论是，这是一个命题（填“真”或“假”）例题2、下列语句是命题的是（）A.作线段AB＝3cmB.平角是一条直线C.猫吃骨头吗D.a2一定大于零吗例题3、能说明命题“对于任何实数a，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是（）A.a＝－2B.C.a＝1D.例题4、下列命题中是假命题的是（）A.过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交线B.直角的补角是直角C.同旁内角互补D.从直线外一点向直线作线段，垂线段最短随练随练1、把命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式______________________________________随练2、“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是_________________________________，它是一个________命题（填“真”或“假”）随练3、下列命题中是假命题的是（）A.两直线被第三直线所截，同旁内角互补，两直线平行B.直线a⊥直线b，则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D.若a∥b，a⊥c，那么b⊥c随练4、在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：________．平移知识精讲一．平移概念概念是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的直线移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．性质1．经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，图形的形状与大小都没有发生变化．2．经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．作图1．找出原图形的关键点（如顶点或者端点）．2．按要求分别描出各个关键点平移后的对应点．3．按原图将各对应点顺次连接．二．易错点：1．平移不改变图形的形状和大小和方向，平移可以不是水平的；2．平移前后对应点的连线有可能平行有可能在同一直线上．三点剖析一．考点：平移的性质，平移作图．二．重难点：平移的性质．三．易错点：1．平移不改变图形的形状和大小和方向，平移可以不是水平的；2．有可能平行有可能在同一直线上．平移的性质例题例题1、如图图形中，把平移后能得到的是（）A.B.C.D.例题2、下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（）A.B.C.D.例题3、如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（）A.100米B.99米C.98米D.74米例题4、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．例题5、如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于8，则四边形ABFD的周长等于（）A.8B.10C.12D.14随练随练1、在下列说法中：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有（）A.①②③④B.①②③④⑤C.①②③⑤D.①③④⑤随练2、如图，在△ABC中，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCF，连接AF，若△ABC的面积为4，则△ACF的面积为（）A.2B.4C.8D.16随练3、如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm平移作图例题例题1、（1）过点A画出BC的平行线；（2）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△DEF．例题2、△ABC在网格中的位置如图所示，请根据下列要求解答：（1）过点C作AB的平行线；（2）过点A作BC的垂线段，垂足为D；（3）比较AB和AD的大小，并说明理由；（4）将△ABC先向下平移5格，再向右平移6格得到△EFG（点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点G）．随练拓展拓展1、下列说法中正确的个数为（）①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行同一直线的两直线平行．A.1个B.2个C.3个D.4个拓展2、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A.1个B.2个C.3个D.4个拓展3、如图，．，，试说明，请你将下面解答过程填写完整．解：，________（________）________（等量代换）即________．________（________）（________）拓展4、如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A.122°B.151°C.116°D.97°拓展5、如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F，∠1＝∠2．（1）DG与BA平行吗？为什么？（2）若∠B＝51°，∠C＝54°，求∠CGD的度数．拓展6、如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A＋∠ADF＝218°，那么∠F＝________．拓展7、如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．拓展8、（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B＋∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（________）∴∠C＝∠CEF．（________）∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B＋∠C＝________（等量代换）即∠B＋∠C＝∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证