爱提分七年级秋季 第13讲-角(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱角知识精讲一．角的概念和表示方法角的定义有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图：角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如右图，射线OA绕点O旋转到OB：其中，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成平角（180°）；继续旋转，当终止位置OB和起始位置OA重合时，形成周角（360°）．*注意：角的大小与角的两条边张开的程度有关，与边的长短无关。角的表示（1）用角的顶点和两条边表示角，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁，如：（2）用角的顶点表示角，如：（3）用希腊字母或数字表示角，如，：上图中一共有6个角，分别是：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，角的分类锐角：大于0度小于90度的角；直角：等于90度的角；钝角：大于90度且小于180度的角。二．角度的换算及计算角的度量单位（1）度：把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1°（2）分：把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′（3）秒：把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″角度制（1）以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．（2）其中，，比较角的大小时要化为统一单位后再进行比较；（3）进行角的计算时，也要化为统一单位后再进行计算．角度换算（1）由大到小例：65.88°=？度？分？秒整数部分保留原单位，小数部分换算为小单位，大单位到小单位乘60（2）由小到大例：=？°小单位到大单位除以60（3）加减法例：=？先同一单位再进行计算，满60进位例：=？可同一单位进行减法，也可直接借位进行计算（4）乘除法例：各角度单位分别进行乘法计算，最后注意进位问题例：各角度单位分别进行除法计算，商保留原单位，余数和下一个小单位结合，统一换算为小单位，再进行除法三．余角、补角、方向角余角如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．同角（等角）的余角相等．如图，∠AOC和∠BOD是直角，则图中有两对互余角，分别是：∠AOB和∠BOC，∠BOC和∠COD。补角如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．同角（等角）的补角相等．例：一个角的余角比它的补角的一半少20°，则这个角的度数是？设这个角度数为，则它的余角为，它的补角为，由题意得：，解得方向角表示方向的角，在航行、测绘中经常用到。以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”，“南偏东25°”。四．角平分线定义角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如：表示已知OB平分∠AOC，则五．角平分线相关的计算角的加减角度计算中，用角的和差关系列式计算非常重要，如下图：图中的角还有很多等量关系……*其中除了一般的和差表示，还可以看作是和的重叠部分，则有这样一个等量关系：*一个角可以用不同的方式表示，具体方法要根据题目的已知条件判断，如果已知条件不够，可以设未知数，用角之间的数量关系列方程求解角平分线相关计算角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，解相关题目要从角平分线找角的数量关系，利用图形中角的位置关系，结合角的和、差关系求解例：已知，OM平分，ON平分，探究的度数*题干没有示意图的题目通常有陷阱，要多加注意。此题需要分类讨论OM平分，ON平分①，可以用多种方式表示，但已知角度有限，并不是所有方法都适用，此时我们要回归“角平分线”这一重要条件②*分类讨论的依据通常为角的位置关系，射线在角内或角外，未给出准确角度的角是锐角还是钝角等……三点剖析一．考点：1．角的概念和表示方法；2．角度的换算及计算；3．余角、补角、方向角；4．角平分线；5．角的综合计算．二．重难点：1．角度的换算及计算；2．通过设未知数的方法解决角的综合计算问题；3．利用余补角性质证明角度相等．三．易错点：1．角的大小与边的长短无关，只与张开的角度有关．2．当角的顶点处不只一个角时，不可用角的顶点表示角，如∠AOB不可表示为∠O，∠AOB不能标记为、：3．度、分、秒之间的换算需要统一单位，从度化为分，从分化为秒，需要乘以，从秒化为分，从分化为度，需要除以，超过注意60进1．角的概念和表示方法例题例题1、如图，射线AB与AC所组成的角的表示方法不正确的是（）A.∠1B.∠BACC.∠CABD.∠A例题2、如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A.45°B.55°C.135°D.145°例题3、能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）A.B.C.D.例题4、如图，平面上有四个点A，B，C，D．（1）根据下列语句画图：①射线BA；②直线AD，BC相交于点E；③在线段DC的延长线上取一点F，使CF＝BC，连接EF．（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有________个．例题5、在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角_____个．随练随练1、如图，下列表示角的方法，错误的是（）A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC也可以用∠O来表示C.∠β表示的是∠BOCD.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC随练2、下列说法正确的是（）A.平角是一条直线B.角的边越长，角越大C.大于直角的角叫做钝角D.两个锐角的和不一定是钝角角度的换算及计算例题例题1、________．例题2、比较大小：________．（填“＞”、“＜”或“＝”）例题3、下列关于度分秒的换算正确的是（）A.B.C.D.例题4、下列式子中错误的是（）A.38.78°=38°46′48″B.50°42′=50.7°C.98°45′+2°35′=101°20′D.108°18′﹣57°23′=51°55′例题5、33.33°=____°____′____''；25°53'24''=____°．例题6、计算：________．例题7、计算：＝________．例题8、＝________．例题9、＝________′___″．例题10、计算：＝_____．（结果用度、分、秒表示）例题11、（1）计算：________________．（2）计算：________________．（3）计算：__________________．例题12、＝______．例题13、计算：___．例题14、计算：____________，____________．随练随练1、若把45.58°化成以度、分、秒的形式，则结果为________．随练2、计算：180°﹣23°13′6″=____；62.4°=____°____′．随练3、用度、分、秒表示35.32°=____度___分___秒．余角、补角、方向角例题例题1、如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中与互余的是（）A.图①B.图②C.图③D.图④例题2、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与互余的是（）A.B.C.D.例题3、若的补角为，则________．例题4、一个角补角比它的余角的2倍多，求这个角的度数．例题5、已知∠α是锐角，∠β是钝角，且∠α＋∠β＝180°，那么下列结论正确的是（）A.∠α的补角和∠β的补角相等B.∠α的余角和∠β的补角相等C.∠α的余角和∠β的补角互余D.∠α的余角和∠β的补角互补例题6、如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，则这个角的度数是（）A.60°B.50°C.45°D.40°例题7、一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于________．例题8、如图，甲从点出发向北偏东方向走到点，乙从点出发向南偏西方向走到点，则的度数是（）A.B.C.D.例题9、如图，甲从地出发沿北偏西方向走了到达地，乙从地沿西南方向走了到达地，则________．随练随练1、一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于________度．随练2、如果一个角的余角的2倍比它的补角少，则这个角的度数是________．随练3、已知∠A与∠B互余，其中∠A＝78°19′40″，则∠B＝________随练4、A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（）A.南偏东69°B.南偏西69°C.南偏东21°D.南偏西21°随练5、如图，B处在A处的南偏西方向．C处在B处的北偏东（1）求；（2）要使，D处应在C处的什么方向？请说明理由．随练6、如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE=60°，∠BOE=∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（）①∠BOD=30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A.1个B.2个C.3个D.4个角平分线例题例题1、如图是内部的一条射线，，平分．（1）若，求和的度数；（2）画出的平分线，说明．例题2、如图，点在直线上，是的平分线，是的平分线．若，则的度数是（）A.B.C.D.例题3、如图，已知，平分，且，求的度数．例题4、如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝25°，则∠BOD的度数为________．例题5、（推理填空）如图所示，点O是直线AB上一点，∠BOC＝130°，OD平分∠AOC．求：∠COD的度数．解：∵O是直线AB上一点∴∠AOB＝________．∵∠BOC＝130°∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝________．∵OD平分∠AOC∴．例题6、如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．（1）若∠AOC=36°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=______．（用含α的代数式表示）例题7、如图，，点为内部一点，平分，平分（1）如果，依题意补全图形；（2）在（1）的条件下，求的度数；（3）如果，直接用含的代数式表示的度数．例题8、下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如图①，若点A．O．B在一条直线上，∠EOF=_______；（2）如图②，若点A．O．B不在一条直线上，∠AOB=140°，则∠EOF=________；（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF=_____________；（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；随练随练1、如图，O是直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠BOC=40°，求∠EOF的度数．（2）当OD平分∠AOF时，求∠BOC的度数．随练2、如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝58°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明：OE是否平分∠BOC．随练3、如图，已知∠AOB=120°，∠COD是∠AOB内的一个角，OE是∠AOC的平分线，OF是∠BOD的平分线．（1）如果∠AOE=20°，∠BOF=25°，那么∠COD是多少度？（2）如果∠COD=40°，那么能否求出∠EOF的大小？若能，则求出∠EOF的度数；若不能，请说明理由．拓展拓展1、如图，点O是直线AB上一点，图中共有个小于平角的角．拓展2、下列说法中正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线A.①②B.①③C.②④D.②③拓展3、图中共有（）个角A.3B.4C.5D.6拓展4、已知∠A＝110.32°，用度、分、秒表示为∠A＝________．拓展5、已知∠α＝25°34′20″，则∠α的余角度数是________．拓展6、计算________．拓展7、计算：（1）；（2）．拓展8、___________′____″．拓展9、计算：．拓展10、计算：＝_________．拓展11、计算：176°51′÷3=________．拓展12、计算：″___．拓展13、若一个角比它的补角大36°，则这个角为________°．拓展14、如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数是（）A.1B.2C.3D.4拓展15、如图，下列说法中错误的是（）A.OA的方向是东北方向B.OB的方向是北偏西60°C.OC的方向是南偏西60°D.OD的方向是南偏东60°拓展16、如图，直线与直线相交于点，射线表示正北方向，射线表示正东方向，已知射线的方向是南偏东，射线在内，且与互余，射线平分，图中与互余的角是________．拓展17、已知：∠AOB=60°，OC为∠AOB内部一条射线，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的度数为（）A.30°B.40°C.45°D.50°拓展18、如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD=110°，∠BOE=100°，求∠AOE的度数．拓展19、如图，∠AOC=∠BOD=90°，OE是∠AOB的平分线，且∠COE=75°．（1）∠AOE与∠DOC有什么关系？（2）求∠AOD的度数．拓展20、如图，OE平分∠AOB，OD平分∠AOC，∠DOE=40°，