2022年河南省三门峡市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年河南省三门峡市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的．1．（3分）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．2．（3分）根据三门峡市统计局2月11日公布的数据：2021年度三门峡市GDP（国民生产总值）约为1582亿元，同比增长约7.5%．数据“1582亿”用科学记数法表示是（）A．15.82×1010 B．0.1582×1012 C．1.582×1011 D．158.2×1093．（3分）已知a2﹣3a＝2，则﹣3a2+9a﹣1的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．34．（3分）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，PE＝5，则两条平行线AD与BC间的距离为（）A．5 B．8 C．9 D．106．（3分）下列运算正确的是（）A．m2+n3＝n5 B．（m3）2＝m6 C．+＝ D．（m+n）2＝m2+n27．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线垂直、平分且相等8．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2且m≠1 D．m≤29．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣8010．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为（）A．8 B．12 C．9 D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个小于的正整数．12．（3分）满足不等式组的整数解是．13．（3分）小明和小强本学期在延时服务选课中都喜欢篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课，但是因时间冲突，每人只能选这4门课中的一种，假设每门课被选中的机会均等，那么小明和小强选中同一门课的概率是．14．（3分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中．17．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．a．初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）；b．初一年级学生竞赛成绩在80≤x＜90这一组的是：808181828284868686888889c．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：成绩平均数中位数众数初一年级学生82m86初二年级学生838584根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是（填“初一”或“初二”），理由是．（3）已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数．18．（9分）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，可证：AB＝AD．受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法．（1）请你帮她完善下面作图步骤：已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OP．作法：①在OA上任取一点C；②在∠AOB内作∠ACD，使∠ACD＝∠AOB；③在CD上截取CP＝；④作射线OP，射线OP即为所求．（2）补全作图．（保留作图痕迹）（3）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程．已知：如图，C是∠AOB边OA上任意一点，∠ACD＝∠AOB，P是CD上的点，且＝，作射线OP．求证：OP平分∠AOB．19．（9分）如图，图②是图①秋千的侧面示意图，秋千的静止状态为OC．已知AB与地面平行，OD、OE是其在摆动过程中的两个位置，从O处测的D，E两点的角分别为65°和40°（即∠AOD＝65°，∠BOE＝40°），这时点E相对于点D秋千升高了30cm（即EN﹣DM＝30cm，其中DM⊥MN于M，EN⊥MN于N）．求该秋千摆绳OC的长度．（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77．计算结果精确到0.1cm）20．（9分）请阅读材料，并完成相应的任务．在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角∠APB的顶点P的位置，可以得到类似∠AP1B和∠AP2B这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，∠AP1B和∠AP2B分别是AB所对的圆外角和圆内角．如图2，点A，B在⊙O上，∠APB为所对的一个圆外角．AP，BP分别交⊙O于点C，D．若∠AOB＝120°，所对的圆心角为50°，求∠APB的度数．探索小组的解题过程（部分）如下：解：如图2，连接AD，OC，OD．∵∠ADB是所对的圆周角，且∠AOB＝120°，∴∠ADB＝∠AOB＝60°…任务：（1）将探索小组的解题过程补充完整；（2）如图3，当点P在⊙O内时，∠APB是所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB＝m°，所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为．21．（10分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表：车型纯电动汽车A（续航600千米）插电混动汽车B进价（万元/辆）2512售价（万元/辆）2816新能源积分（分/辆）0.012R+0.8（其中R表示续航里程）2购进数量（辆）1025（1）3月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，则x，y分别为多少？（2）因汽车供不应求，该“4S”店4月份决定购进A，B两种车型共50辆，应环保的要求，所进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分，已知每个新能源积分可获得3000元的补贴，那么4月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）22．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．23．（11分）综合与实践问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD．取AB中点E，CD中点F，连接EF．猜想验证：（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；延伸探究：（2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AB＝2cm，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．

2022年河南省三门峡市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的．1．（3分）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．【解答】解：﹣5的相反数是5．故选：B．2．（3分）根据三门峡市统计局2月11日公布的数据：2021年度三门峡市GDP（国民生产总值）约为1582亿元，同比增长约7.5%．数据“1582亿”用科学记数法表示是（）A．15.82×1010 B．0.1582×1012 C．1.582×1011 D．158.2×109【解答】解：1582亿＝1582×108＝1.582×1011．故选：C．3．（3分）已知a2﹣3a＝2，则﹣3a2+9a﹣1的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3【解答】解：∵a2﹣3a＝2，∴原式＝﹣3（a2﹣3a）﹣1＝﹣3×2﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7．故选：A．4．（3分）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，故选：B．5．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，PE＝5，则两条平行线AD与BC间的距离为（）A．5 B．8 C．9 D．10【解答】解：过点P作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，∵AD∥BC，∴GH⊥BC，∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PG⊥AD，∴PG＝PE＝5，同理可得，PH＝PE＝5，∴GH＝PG+PH＝10，即两平行线AD与BC间的距离为10，故选：D．6．（3分）下列运算正确的是（）A．m2+n3＝n5 B．（m3）2＝m6 C．+＝ D．（m+n）2＝m2+n2【解答】解：m2与n3不是同类项，不能合并，故选项A运算错误；（m3）2＝m3×2＝m6，故选项B运算正确；与不是同类二次根式，不能合并，故选项C运算错误；（m+n）2＝m2+2mn+n2≠m2+n2，故选项D运算错误．故选：B．7．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线垂直、平分且相等【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，故选：C．8．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2且m≠1 D．m≤2【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2且m≠1．故选：C．9．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣80【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，过点C作CD⊥y轴于点D，则∠CDB＝∠BOA＝90°，∵BC⊥AB，∴∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∴△CDB∽△BOA，∴＝＝＝2，∴CD＝8，BD＝6，∴OD＝BD+OB＝6+4＝10，∴C（8，10），∵△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴经过旋转2022次后点C'落在第三象限，∴C'（﹣8，﹣10），∵点C'在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣8×（﹣10）＝80，故选：C．10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为（）A．8 B．12 C．9 D．【解答】解：由图②可知，当x＝6时，y＝，即当BP＝6时，BM＝，连接PM，如图所示：∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，∴PM＝＝＝，∵MN是AP的垂直平分线，∴AM＝PM＝，∴AB＝AM+BM＝+＝9，当点P与B重合时，∵MN是AP的垂直平分线，∴M是AB的中点，∴BM＝AB＝，∴当BP＝0时，BM＝，则当x＝0时，y＝a＝，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个小于的正整数1（答案不唯一）．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∴比小的正整数有1．故答案为：1（答案不唯一）．12．（3分）满足不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0．【解答】解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．故答案为：﹣2，﹣1，0．13．（3分）小明和小强本学期在延时服务选课中都喜欢篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课，但是因时间冲突，每人只能选这4门课中的一种，假设每门课被选中的机会均等，那么小明和小强选中同一门课的概率是．【解答】解：将篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课分别记作A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中小明和小强选中同一门课的有4种结果，所以小明和小强选中同一门课的概率为＝，故答案为：．14．（3分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为．（结果保留π）【解答】解：如图：连接OB，由题意可得：OD＝OB＝OA＝1，∴OC＝OD＝，BC⊥OD，∴BC＝＝，∵cos∠BOC＝＝＝，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°，∴S阴影＝S△BOC+S扇形AOB＝××+＝．故答案为：．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是＜AD＜．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，当点A'落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，∴∠ADB＝∠A'DB＝90°，∵cosA＝，∴AD＝＝，当点A'落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB＝∠HBD＝45°，∴BH＝DH，∵tanA＝＝2，∴HD＝2AH＝BH，∵AB＝AH+BH＝2AH+AH＝2，∴AH＝，BH＝＝DH，∴AD＝＝＝，∴当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为＜AD＜．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝÷（）＝×＝，当x＝﹣3时，原式＝＝．17．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．a．初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）；b．初一年级学生竞赛成绩在80≤x＜90这一组的是：808181828284868686888889c．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：成绩平均数中位数众数初一年级学生82m86初二年级学生838584根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二（填“初一”或“初二”），理由是初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识．（3）已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数．【解答】解：（1）m＝（82+84）÷2＝83；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二．理由如下：初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；故答案为：初二，初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；（3）解：（人）．18．（9分）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，可证：AB＝AD．受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法．（1）请你帮她完善下面作图步骤：已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OP．作法：①在OA上任取一点C；②在∠AOB内作∠ACD，使∠ACD＝∠AOB；③在CD上截取CP＝CO；④作射线OP，射线OP即为所求．（2）补全作图．（保留作图痕迹）（3）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程．已知：如图，C是∠AOB边OA上任意一点，∠ACD＝∠AOB，P是CD上的点，且OC＝CP，作射线OP．求证：OP平分∠AOB．【解答】（1）解：作法：①在OA上任取一点C；②在∠AOB内作∠ACD，使∠ACD＝∠AOB；③在CD上截取CP＝CO；④作射线OP，射线OP即为所求．故答案为：CO；（2）解：如图，即为补全的图形；（3）已知：如图，C是∠AOB边OA上任意一点，∠ACD＝∠AOB，P是CD上的点，且CP＝OC，作射线OP．求证：OP平分∠AOB．故答案为：CP，CO．证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB，∴∠CPO＝∠POB，∵CO＝CP，∴∠COP＝∠CPO，∴∠AOP＝∠BOP，∴OP平分∠AOB．故答案为：OC＝CP．19．（9分）如图，图②是图①秋千的侧面示意图，秋千的静止状态为OC．已知AB与地面平行，OD、OE是其在摆动过程中的两个位置，从O处测的D，E两点的角分别为65°和40°（即∠AOD＝65°，∠BOE＝40°），这时点E相对于点D秋千升高了30cm（即EN﹣DM＝30cm，其中DM⊥MN于M，EN⊥MN于N）．求该秋千摆绳OC的长度．（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77．计算结果精确到0.1cm）【解答】解：作DF⊥OC于点F，作EH⊥OC于点H，如右图所示，由题意可得，HF＝30cm，∵∠AOD＝65°，∠BOE＝40°，∴∠FOD＝25°，∠HOE＝50°，∴OF＝OD•cos∠FOD，OH＝OE•cos∠HOE，∵HF＝OF﹣OH，∴30＝OD•cos∠FOD﹣OE•cos∠HOE，∵OD＝OE＝OC，∴30＝OC•cos25°﹣OC•cos50°，解得OC≈111.1cm，即该秋千摆绳OC的长度是111.1cm．20．（9分）请阅读材料，并完成相应的任务．在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角∠APB的顶点P的位置，可以得到类似∠AP1B和∠AP2B这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，∠AP1B和∠AP2B分别是AB所对的圆外角和圆内角．如图2，点A，B在⊙O上，∠APB为所对的一个圆外角．AP，BP分别交⊙O于点C，D．若∠AOB＝120°，所对的圆心角为50°，求∠APB的度数．探索小组的解题过程（部分）如下：解：如图2，连接AD，OC，OD．∵∠ADB是所对的圆周角，且∠AOB＝120°，∴∠ADB＝∠AOB＝60°…任务：（1）将探索小组的解题过程补充完整；（2）如图3，当点P在⊙O内时，∠APB是所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB＝m°，所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为（m°+n°）．【解答】解：（1）如图2，连接AD，OC，OD，∵∠ADB是所对的圆周角，且∠AOB＝120°，∴∠ADB＝∠AOB＝60°，∵所对的圆心角为50°，∴∠COD＝50°，∴∠PAD＝∠COD＝×50°＝25°，∵∠ADB为△ADP的外角，∴∠APB+∠PAD＝∠ADB，∴∠APB＝∠ADB﹣∠PAD＝60°﹣25°＝35°；（2）如图3，连接AD，OC，OD，∵∠ADB是所对的圆周角，且∠AOB＝m°，∴∠ADB＝∠AOB＝m°，∵所对的圆心角为n°，∴∠COD＝n°，∴∠PAD＝∠COD＝×n°＝n°，∵∠APB为△ADP的外角，∴∠APB＝∠ADB+∠PAD＝（m°+n°）．故答案为：（m°+n°）．21．（10分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表：车型纯电动汽车A（续航600千米）插电混动汽车B进价（万元/辆）2512售价（万元/辆）2816新能源积分（分/辆）0.012R+0.8（其中R表示续航里程）2购进数量（辆）1025（1）3月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，则x，y分别为多少？（2）因汽车供不应求，该“4S”店4月份决定购进A，B两种车型共50辆，应环保的要求，所进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分，已知每个新能源积分可获得3000元的补贴，那么4月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）【解答】解：（1）依题意得：，解得：．答：x的值为10，y的值为25．（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，依题意得：，解得：≤m＜50．设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，则w＝（28﹣25）m+（16﹣12）（50﹣m）+0.3[（0.012×600+0.8）m+2（50﹣m）]＝0.8m+230，∵0.8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝49时，即购进A型车49辆，B型车1辆时获利最大．22．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，