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刘蒋巍：2021年江苏高考数学极值点偏移压轴题出题背景及命题推广(2021年江苏新高考数学第22题)，设、为两个不相等的正数，且，证明： 关于“出题背景”的一点思考 我们知道是的上凸函数。不妨设，等分区间，设记，则。由琴生不等式，得：又因为则即：由定积分的定义，可得：③又因为，所以③式可化为：化简得：④这里取，即：，④式即为：，可得：于是生成如下试题：设、为两个不相等的正数，且，证明：命题推广（命题推广）已知，对于连续函数，有由于在上连续，所以，我们知道是的上凸函数。不妨设，等分区间，设记，则。由琴生不等式，得：又因为则，即：根据的连续性，两边取极限，得：即：即：，证毕！上式中的“”可以取任意大于0的连续函数，有了上述“命题推广”中的不等式，可以构造出很多不等式。譬如：，则即：，这里取，即：，可得：再如：，则即：，这里取，即：，可得：，又由对数平均值不等式，可得：，，即：（改编题）设、为两个不相等的正数，且，证明：请读者自作（编题训练）请你根据下面的命题，选取大于0的连续函数，命制一道“函数与不等式”的综合题。命题：已知，对于连续函数，有那么，同学们会怎么做呢？下面介绍常规的通性通法之“构造函数法”。构造函数法第一步：简化问题由，得：，，为变换得出欲证不等式中的“，”，分子分母同除以，整理得：，即：令，，则原问题等价于：已知，且，，证明：第二步：确定所在区间令，得为的极值点。易得：在单调递增，在单调递减。同时，。所以，不妨设，可得：“”与“”第三步：运用“分析法+单调性”完成证明①运用“分析法”对欲证不等式化归与转化：要证“”，只要证：“”，即证：不等式“”；只要证：只要证：，其中②变换到同一单调区间，运用单调性脱“”而，在上单调递增。（注：不存在，故转而研究）所以，，即：，其中，，即：“、”在同一单调区间；由单调性脱“”，得：，即：————————①则，令，则，即：，解得：（，故舍去）易得：当时，，，同理，当时，所以，在上单调递减，在上单调递增。故，（因为在单调递减，所以）。注意到：（此处，用到洛必达公式，如何避免？请读者自行思考。）故，，即：，“、”在同一单调区间；由单调性脱“”，得：，即：————————②综合①、②可得：，证毕！作者简介：刘蒋巍，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，中学数学创新思维联盟公益大使。在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇，著有《命题转换的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导：学思堂教研成果集》、《教学之道28篇》、《中考数学解题策略》、《江苏高考数学复习指南》、《升学考试数学试卷的命制》、《数学题的命制与改编设计》、《中高考数学命题技术研究》等书籍20余本。拥有《学生成绩改善问题及干预措施》、《LSMF教学法、EBASV教学法与渐进式提问》等版权课程，拥有《师生成长高

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