振动与冲击理论基础-单自由度系统支座激励系统的受迫振动

2.2单自由度系统支座激励系统的受迫振动

单元二振动与冲击理论基础①强迫振动包装件在运输过程中长时期受到不为0的激励F（t）时，将引起包装系统持续长时期振动，称之为强迫振动（或受迫振动）。②简谐激励力

F(t)=kAsinωt其中A是振幅，ω是驱动频率。

1、简谐激励力的强迫振动③系统的运动微分方程及运动规律将激励力代入包装件的运动微分方程

用m遍除各项，可得单自由度线性系统的强迫振动X称为强迫振动的振幅；φ为相位差。频率比λ=ω/ωn

，则：由稳态解求导后带入运动微分方程并整理得到：X和φ的表达式表明X和φ只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动初始条件无关。于是得到通解为：X2(t)表示有阻尼系统对干扰力的响应，只要激振函数继续作用，此运动就会持续存在，通常只考虑稳态解。④传递率Tr令传递率Tr=X/A即响应的振幅X与静力偏移A（力幅的静力作用下系统的偏移）之比，则1）当λ《1时，即ω《ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值接近于1，即强迫振动的振幅X接近于静力偏移A，即缓慢变化的干扰力的动力作用接近于其静力作用。2）当λ》1时，即ω》ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振动体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。以ζ为参变量，可得出不同ζ的一系列Tr-λ曲线，称为幅频特性曲线或共振曲线。曲线分析如下：幅频特性曲线/共振曲线幅频特性曲线：3）当ζ＜0.707时，各条曲线都存在传递率最大值由dTr/dλ=0，可以求得共振点的λ0和Trmax为：许多实际问题中，ζ的值都很小，因此可以近似地认为λ0=1，即ω=ωn，也就是干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振。Trmax≈1/2ξ，可见阻尼在共振区对振幅的影响极为显著，加大阻尼，可以减小共振时的振幅。当ζ＞0.707时，传递率曲线无极值，不存在共振现象。4）当ζ=0时，即无阻尼情况，当λ=1时，Tr趋于无穷大。虽然无阻尼系统在实际中并不存在，但把它作为小阻尼的极限情况来看还是有实际意义的。当λ＜0.75和λ＞1.25，即激振频率远离共振频率时，阻尼的影响不大，不论ζ值如何，各曲线彼此很靠近。这时的小阻尼系统和无阻尼系统的响应几乎没有差别，可以按无阻尼系统来计算Tr值。2、简谐位移激励的强迫振动运输过程中的包装件受到的激振，常常是运输工具传给包装件的位移激励。假设基座做简谐振动，即若包装件的位移坐标为x，向下为正，则包装件偏离平衡位置的距离为x时弹簧的变形为（x－y），包装件与基座的相对速度为。这个方程是非齐次的，解由两部分组成。但一般不考虑瞬态解，只考虑稳态解。系统的微分方程为

X和a分别为响应的振幅和相位差，它们只与系统本身及支座激励性质有关，与运动的初始条件无关。幅频特性曲线1）λ=0时，Tr=1各条曲线有共同的起点。λ=1.414时，Tr=1各条曲线相交于这个公共点。

2）当λ《1时，即ω《ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值接近于1，没有什么隔振效果。3）当λ＜1.414时，Tr＞1，振幅被放大；当λ≈1时，传递率达到最大值，出现共振。（放大区）4）当λ＞1.414时，Tr＜1，系统有隔振效果，振幅被衰减。当λ》1时，即ω》ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振动体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。（隔振区）随着λ增加，隔振效果增大，在实用中取λ=2.5——5已经足够。3、周期激振下的强迫振动前面讨论的都是简谐激励力或简谐激励位移条件下振动系统的响应。在实际工程问题中，包装件在流通过程中受到的激励一般都是非简谐的复杂波形，它的响应可以应用谐波分析法进行分析。对于周期激励力f（t），可以展开成由不同频率的简谐激励力组成的傅里叶级数，即将此式代入微分方程可得：

单自由度系统在简谐激励力作用下强迫振动的稳态响应为：根据线性系统的叠加原理，可对方程右边每一项分别单独地求方程的特解，然后将所有特解叠加起来，就可以得到系统在周期激励力作用下的稳态响应为

①强迫振动包装件在运输过程中长时期受到不为0的激励F（t）时，将引起包装系统持续长时期振动，称之为强迫振动（或受迫振动）。②简谐激励力

F(t)=kAsinωt其中A是振幅，ω是驱动频率。

1、简谐激励力的强迫振动③系统的运动微分方程及运动规律将激励力代入包装件的运动微分方程

用m遍除各项，可得单自由度线性系统的强迫振动

X称为强迫振动的振幅；φ为相位差。频率比λ=ω/ωn

，则：由稳态解求导后带入运动微分方程并整理得到：

X和φ的表达式表明X和φ只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动初始条件无关。于是得到通解为：X2(t)表示有阻尼系统对干扰力的响应，只要激振函数继续作用，此运动就会持续存在，通常只考虑稳态解。④传递率Tr令传递率Tr=X/A即响应的振幅X与静力偏移A（力幅的静力作用下系统的偏移）之比，则

1）当λ《1时，即ω《ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值接近于1，即强迫振动的振幅X接近于静力偏移A，即缓慢变化的干扰力的动力作用接近于其静力作用。2）当λ》1时，即ω》ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振动体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。以ζ为参变量，可得出不同ζ的一系列Tr-λ曲线，称为幅频特性曲线或共振曲线。曲线分析如下：幅频特性曲线/共振曲线幅频特性曲线：

3）当ζ＜0.707时，各条曲线都存在传递率最大值由dTr/dλ=0，可以求得共振点的λ0和Trmax为：许多实际问题中，ζ的值都很小，因此可以近似地认为λ0=1，即ω=ωn，也就是干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振。Trmax≈1/2ξ，可见阻尼在共振区对振幅的影响极为显著，加大阻尼，可以减小共振时的振幅。当ζ＞0.707时，传递率曲线无极值，不存在共振现象。

4）当ζ=0时，即无阻尼情况，当λ=1时，Tr趋于无穷大。虽然无阻尼系统在实际中并不存在，但把它作为小阻尼的极限情况来看还是有实际意义的。当λ＜0.75和λ＞1.25，即激振频率远离共振频率时，阻尼的影响不大，不论ζ值如何，各曲线彼此很靠近。这时的小阻尼系统和无阻尼系统的响应几乎没有差别，可以按无阻尼系统来计算Tr值。第三章振动与冲击理论基础第二节单自由度系统支座激励系统的受迫振动一、简谐激振力的强迫振动当包装件在运输过程中长时期受到不为零的激励f(t)时，将引起包装系统长时期振动，称之为受迫振动kmcF(t)mkx受力情况分析1、运动微分方程及其解以静平衡位置为坐标原点，x坐标向下为正，则该系统的运动微分方程是：由于激励是谐波形式，响应也必然是谐波形式，并具有相同的频率，即：激励频率与固有频率之比为频率比传递率（动力放大因子）Tr=X/A结论（1）当λ远小于1时，即ω远小于ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值均接近于1，即强迫振动的振幅X接近于静力偏移A，即缓慢变化的干扰力的动力作用接近于其静力作用。（2）当λ远大于1时，即ω远大于ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值均接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。（3）当ζ<0.707时，各条曲线都存在传递率最大值，由dTr/dλ=0可求得共振点的λ0和Trmax为：例题：已知单自由度有阻尼强迫振动系统的弹簧刚度k=4.38N/mm，物体质量m=18.2kg，阻尼因子c=0.149N·s/mm，激振力幅值F0=44.5N，激振频率ω=15rad/s。试求物体的强迫振动响应。二、简谐激振位移的强迫振动运输过程中包装件受到的激励，常常是运输工具传给包装件的位移激振。简谐激振位移的动力学模型假设基座作简谐振动，即y=asinωt。若包装件的位移坐标为x，向下为正，则包装件偏离平衡位置的距离为x时弹簧的变形为x-y，包装件与基座的相对速度为mcmk(x-y)xy简谐激振位移的动力学微分方程及求解结论（1）当λ远小于1时，即ω远小于ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值均接近于1，即强迫振动的振幅X接近于静力偏移a，即缓慢变化的激振位移的动力作用接近于其静力作用，系统无隔振效果。（2）当ζ<0.707时，各条曲线的传递率大于1，振幅被放大；当λ≈1时，传递率达到最大值，出现共振。（3）当ζ>0.707时，传递率均小于1，系统有隔振效果，振动被衰减。当λ远大于1时，即ω远大于ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值均接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振动体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。例题已知包装件内装物在静平衡时压缩缓冲垫的静变形δst为5.08cm，阻尼可以忽略不计；如果运输包装件的汽车底板的激振频率为15.7rad/s，激振加速度幅值为0.1g，试求内装物的最大位移与加速度。

简谐位移激励的强迫振动

简谐位移激励的强迫振动运输过程中的包装件受到的激振，常常是运输工具传给包装件的位移激励。假设基座做简谐振动，即若包装件的位移坐标为x，向下为正，则包装件偏离平衡位置的距离为x时弹簧的变形为（x－y），包装件与基座的相对速度为。

这个方程是非齐次的，解由两部分组成。但一般不考虑瞬态解，只考虑稳态解。系统的微分方程为

X和a分别为响应的振幅和相位差，它们只与系统本身及支座激励性质有关，与运动的初始条件无关。

幅频特性曲线1）λ=0时，Tr=1各条曲线有共同的起点。λ=1.414时，Tr=1各条曲线相交于这个公共点。

2）当λ《1时，即ω《ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值接近于1，没有什么隔振效果。3）当λ＜1.414时，Tr＞1，振幅被放大；当λ≈1时，传递率达到最大值，出现共振。（放大区）4）当λ＞1.414时，Tr＜1，系统有隔振效果，振幅被衰减。当λ》1时，即ω》ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振动体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。（隔振区）随着λ增加，隔振效果增大，在实用中取λ=2.5——5已经足够。第三章振动与冲击理论基础第二节单自由度系统支座激励系统的受迫振动一、简谐激振力的强迫振动当包装件在运输过程中长时期受到不为零的激励f(t)时，将引起包装系统长时期振动，称之为受迫振动kmcF(t)mkx受力情况分析1、运动微分方程及其解以静平衡位置为坐标原点，x坐标向下为正，则该系统的运动微分方程是：由于激励是谐波形式，响应也必然是谐波形式，并具有相同的频率，即：激励频率与固有频率之比为频率比传递率（动力放大因子）Tr=X/A结论（1）当λ远小于1时，即ω远小于ωn的低频段情况，各条曲线的Tr值均接近于1，即强迫振动的振幅X接近于静力偏移A，即缓慢变化的干扰力的动力作用接近于其静力作用。（2）当λ远大于1时，即ω远大于ωn的高频段情况，各条曲线的Tr值均接近于0，即高速变化的干扰力的动力作用下，振体由于惯性影响，几乎来不及响应，所以几乎不振动。（3）当ζ<0.707时，各条曲线都存在传递率最大值，由dTr/dλ=0可求得共振点的λ0和Trmax为：例题：已知单自由度有阻尼强迫振动系统的弹簧刚度k=4.38N/mm，物体质量m=18.2kg，阻尼因子c=0.149N·s/mm，激振力幅值F0=44.5N，激振频率ω=15rad/s。试求物体