构造法解决抽象函数问题

I三

1=1导数的综合问题构造法解决抽象函数问题在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数fx)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度.下面总结其基本类型及其处理方法.0^0只含f(x)型刖1定义在R上的函数fx)满足f(1)=1，且对任意x£R都有f(x)<2则不等式fx2)>x2字的解集为()B.(0,1)AB.(0,1)C.(1,+呵D.(-C.(1,+呵【解析】构造函数g(x)二fx)-2x+c(c为常数)，则g'(x)vO，即函数g(x)在R上单调递减，11x2+111且g(1)=A1)-2+c~2+c.fx2)>厂-2x2+2，即fx2)-fx2+C>2+c,即g(x2)>g(1),即X2<1，即-1<xv1.故选D.利用fx)+kx+by二f(x)+k，根据导数符号，可得出函数g(x)=f(x)+kx+b的单调性，利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等.@@@含fx)±r(x)a为常数)型個(1)已知fx)为R上的可导函数，且xWR,均有f(x)>f(x)，贝惰()e2015f(-2015)<f(0),f(2015)>e2O15f(0)e2015f(-2015)<f(0),f(2015)Ve201f(0)e201f(-2015)>f(0),f(2015)>e201f(0)e201f(-2015)>f(0),f(2015)<e201f(0)⑵已知定义在R上的函数fx)满足fx)+2f(x)>0恒成立，且f(2)=e(e为自然对数的底数),

I三1=1xTOC\o"1-5"\h\z则不等式efx)—e2>0的解集为.【解析】(1)仅从fx)#(x)这个条件，无从着手，此时我们必须要借助于选择题中的选项的提示功能，结合所学知识进行分析•构造函数h(x)二"门，则h(x)丿*)<0，即xexf(_2015)f(0)h(x)在R上单调递减，故h(-2015)>h(0)，即>=oe2oi5f(-2015)>f(0)；同e-2015e0理，h(2015)<h(0)，即f(2015)<e2。15汽0)，故选D.⑵由f(x)+2f(x)>0n2|Jf(x)+f(x)_|>0,可构造h(x)二efx)曲(x)二|e2[f(x)+fx)]>0,所以函数h(x)二efx)在R上单调递增且h(2)二ef(2)二1•不等式efx)-e2>0等价于efx)>1,即h(x)>h⑵nx>2，所以不等式efx)-e2>0的解集为(2,+^).【答案】(1)D(2)(2,+-)(1)由于ex>0,故[exf(x)]'二[f(x)+f(x)]ex，其符号由f(x)+f(x)的符号确定，卩"")I-Lex_f(x)-f(x)，其符号由f(x)-fx)的符号确定•含有fx)±f(x)类的问题可以考虑构造上述ex两个函数.(2)A(f)+f(x)>0o[e入Xfx)]>0.@@@含xf(x)±nf(x)型別3(1)已知偶函数fx)是定义在｛xWRIxMO｝上的可导函数，其导函数为f(x).当x<0时,f,f(x)一亠、5一—4mf(m+1)”-l一lb,c的大小关系为()则a,m+1(x)>~x恒成立.设m>1，记a=m+1，b=2讨mf(2\｝m),b,c的大小关系为()则a,m+1B.a>b>cAB.a>b>cC.b<a<cD.b>a>c⑵设函数f(x)在R上的导函数为f(x),且2fx)+f(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<xf(x)【解析】(1)当x<0时，f(x)>-of(x)-f(x)<0.

I=j1=1构造函数g(x)二3x贝gg(贝gg(x)x-/(x)X2<0,即g(x)在(-°°,0)上单调递减.函数fx)为偶函数，故g(x)为奇函数，得g(x)在(0，+a)上单调递减.'4m'Am+1>c二4m4mm+1因为m>1，所以m+1>2诉,4m二2而,'m+12pm、所以m+1>2\：亦>4m.'m+1—(4m\1)<4mg(2如)<4mg(~—(4m\1)<4mg(2如)<4mg(~所以4mg(m+即a<b<c.故选A.⑵构造函数g(x)=x2f(x),则其导数为g'(x)二2xf(x)+xf(x).当x>0时，由2f(x)+fx)>x2,得g'(x)二2xf(x)+xf(x)>x3>0,即函数g(x)=xfx)在区间(0，+g)上递增，故g(x)二xfx)>g(0)二0抑x)>0；当x<0时，有g'(x)二2xf(x)+xf(x)<n<0,即函数g(x)=xfx)在区间(-g,0)上递减，故g(x)二xfx)>g(0)二0抑x)>0；当x二0时，

I三1=1由2fx)+xf(x)>X2，得fx)>0.综上，对任意xWR,有fx)>0,应选A.【答案】(1)A(2)A名师点评⑴对于xf(x)+nf(x)>0型，构造F(x)二xnf(x)，则F'(x)=xn-1[xf(x~)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf(x)+f(x)>0，构造F(x)=xf(x)，则Ff(x)=xf(x)+f(x)>0；f(x)eif(x)-nf(x)⑵对于xf(x)-nf(x)>0型，且xMO,构造F(x)=丁，则F'(x)二(亦需注xnxn+1意对xn+1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf(x)-f(x)>0，构造F(x)=f"x)，则F(x)x=xf=xf(x)-f(x)x2>0.@®®含f(x)±f(@®®含f(x)±f(x)tanx型倒」已知函数f(x)的导函数f(x),当xw(o,(x)sin2x<fx)(1+cos2x)成立,不等式一定成立的是(不等式一定成立的是(【解析】f(x)sin2x<f(x)(1+cos2x)f(x)sinx-f(x)cosx<0.令g(x)=常，g'(x)=f(x)sinx-f(x)COsx<0可知g(x)在(0,勺上单调递减，所以g(n)>g(f)，即)•故选B.【答案】B名师点评由于在(0由于在(0，2)上[sinxf(x)]'=cosxf(x)+sinxf(x)，其符号与f(x