专题几何法求解空间角及点到面的距离解析版

专项03几何法求解空间角及点到面的距离题型一、异面直线的夹角1、在正方体中，与相交于点，则异面直线与所成的角的大小为（）A． B． C． D．答案：A解析：连结，，是异面直线与所成角或补角，由此运用余弦定理能求出成果.详解：连结，∵，∴是异面直线与所成角或补角，设正方体中棱长为2，则，，，∴，∴．∴异面直线与所成角的大小为，故选：A.2、如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则由于C是圆柱下底面弧的中点，因此，因此直线与所成角等于异面直线与所成角.由于是圆柱上底面弧的中点，因此圆柱下底面，因此.由于圆柱的轴截面是正方形，因此，因此直线与所成角的正切值为.因此异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.3、如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角。【答案】【解析】是圆的直径，.∵点是弧的中点，.在中，分别为的中点，，与所成的角为.故答案为：4、如图，在正四周体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.【答案】【解析】如图，连接取其中点，连接，∵是中点，∴，∴异面直线AN，CM所成的角就是（或其补角），设正四周体的棱长为1，则，，在中，，在中，．异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．二、线面角1、面外一点P，两两互相垂直，过的中点D作面，且，连，多面体的体积是．（1）画出面与面的交线，阐明理由；（2）求与面所成的角正切值．答案：（1）直线BC即为面与面的交线，理由见解析；（2）.试题分析：（1）延长PE交AC于点F，可证F与C重叠，故直线BC即为面与面的交线；（2）连接AE，则为所需求的角，根据棱锥的体积计算AB，运用勾股定理计算AE，则.详解：（1）延长PE交AC于点F，直线BC即为面与面的交线，理由以下：，且平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，又平面，，D为AC的中点，且，平面，平面，，,，，因此，D为AC的中点，且，，则F与C重叠，平面PBE，平面ABC，是平面PBE与平面ABC的公共点，又B是平面PBE与平面ABC的公共点，BC是平面PBE与平面ABC的交线；（2）平面APC，平面APC，平面APC，，解得，，，与面所成的角正切值为.2、如图，在四棱锥中中，，，，，是正三角形.（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：∵是正三角形，，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴；（2）设点E是的中点，连接，延长交于点H，连接.∵是正三角形，∴，由（1）得平面，∴平面平面，∴平面，∴与平面所成角为，∵，∴∴∴与平面所成角的余弦值3、等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）．（1）求证：平面；（2）在线段上与否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请阐明理由．答案：（1）证明见解析；（2）存在，.试题分析：（1）等边中，依题意可得，由余弦定理算出，从而得到，因此．结合题意得平面平面，运用面面垂直的性质定理，可证出平面；（2）作于点，连接、，由平面得，因此平面，可得是直线与平面所成的角，即．设，分别在△、△和△中运用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得，解之得，从而得到在上存在点且当时，直线与平面所成的角为．详解：证明：（1）由于，，．由余弦定理得．由于，因此．折叠后有．由于二面角是直二面角，因此平面平面．又平面平面，平面，，因此平面．（2）假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．如图，作于点，连结、．由（1）有平面，而平面，因此．又，因此平面．因此是直线与平面所成的角．设，则，在中，，因此．在中，，．由，得．解得，满足，符合题意．因此在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．二面角1、如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面平面且.（1）求证：；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，则，由于平面平面，平面平面，平面，则平面，因此，又由于，则平面平面，则.（2）过作交于点，由（1）知，，因此平面，平面，则，所觉得二面角的平面角.由于三角形为等边三角形，令，则，，则.2、如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，底面是正方形，.底面，平面，.，平面.平面，.又，点是的中点，，，平面.平面，；（2）过引直线，使得，则，平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱．由条件知，，，已知，则平面．由作法知，则平面，因此，，就是平面与平面所成锐二面角的平面角．在中，，平面与平面所成锐二面角的大小等于．3、如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．（1）证明：；（2）若，，，求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）．试题分析：（1）根据菱形性质可知，根据线面垂直性质可得，由线面垂直的鉴定定理可知平面；由线面垂直性质可证得结论.（2）作，由线面垂直的鉴定可证得平面，进而得到；根据二面角平面角的定义可知即为所求二面角的平面角；在中，运用长度关系求得成果.详解：（1）连接四边形为菱形，且平面，平面平面，平面平面（2）作，垂足为，连接四边形为菱形，为等边三角形又，平面，平面又，平面，平面平面二面角的平面角为，为中点二面角的余弦值为4、如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.（1）在棱上取一点使直线∥平面并证明；（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为时，求二面角的余弦值.答案：（1）上取中点，证明见详解；（2）试题分析：（1）找上取中点，由线线平行推证线面平行；（2）根据线面角的大小找到棱长的等量关系，再根据三垂线定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.【详解】（1）在上取中点，在上取中点，连接，作图以下：由于平行且等于，平行且等于，因此平行且等于，因此四边形是平行四边形，因此∥.直线，，因此∥平面.（2）取中点，连接，由于为正三角形∴又∵平面平面，平面平面∴平面，连接，四边形为正方形。∵平面，∴平面平面而平面平面过作，垂足为∴平面∴为与平面所成角，∴在中，，∴，设，，，∴，∴在中，，∴∴，，过点H作HN垂直于CD，垂足为N，连接MN，HN由于MH平面ABCD,则即为所求二面角的平面角,在中，由于，HN=FC=，由勾股定理解得故故二面角的余弦值为点到面的距离1、在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上.（1）若为的中点，证明：.（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离.答案：（1）见解析；（2）试题分析：（1）取的中点，连接，，根据，得到，由平面平面，得到平面，，再运用，得到，根据为的中点证明.（2）由（1）得到，根据三棱锥的体积为，得到，再由等体积法求解.详解：（1）如图所示：取的中点，连接，，由于，因此.又由于平面平面，且相交于，因此平面，因此.由于，因此，因此，因此，因此，且为的中点，因此.（2），因此.在中，，设到平面的距离为，则，解得.因此到平面的距离为.2、如图，在四周体ABCD中，，，，且．（1）证明：平面平面BCD；（2）求点D到平面ABC的距离．答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）取BD的中点E，连接AE，CE，易知AE⊥BD，而BD⊥AC，由线面垂直的鉴定定理与性质定理可分别得到BD⊥平面ACE，BD⊥CE；再在△ABD和△BCD中，通过勾股定理可求得AE＝CE＝4，从而推出AE⊥CE；最后由线面垂直的鉴定定理和面面垂直的鉴定定理即可得证．（2）由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，根据VA﹣BCD＝？S△BCD？AE可求得四周体ABCD的体积，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求得S△ABC，设点D到平面ABC的距离为h，由等体积法VD﹣ABC＝VA﹣BCD，求出h的值即可得解．详解：（1）证明：取BD的中点E，连接AE，CE，∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵BD⊥AC，AE∩AC＝A，AE、AC平面ACE，∴BD⊥平面ACE，∵CE平面ACE，∴BD⊥CE．∵AB＝BC＝5，BE＝BD＝3，∴AE＝＝4，CE＝＝4，∵AC＝，∴AC2＝AE2+CE2，即AE⊥CE，∵AE⊥BD，CE∩BD＝E，CE、BD平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．（2）在△BCD中，BD＝6，CE＝4，且CE⊥BD，∴S△BCD＝×BD×CE＝12.由（1）知，AE⊥平面BCD，且AE＝4，∴三棱锥A﹣BCD的体积VA﹣BCD＝？S△BCD？AE＝×12×4＝16，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，∴S△ABC＝×AC×＝.设点D到平面ABC的距离为h，∵VD﹣ABC＝VA﹣BCD，∴×h×S△ABC＝VA﹣BCD，即×h×＝16，解得h＝．故点D到平面ABC的距离为．3、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.答案：（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）连接BD交AC于点H，连接EH，可证出，进而得出平面即可；（2）先证，又，因此可证平面，因此CF就是三棱锥的高，分别求得线段AE，EF，CF的长度，最后根据棱锥体积公式计算即可得解.详解：（1）以下图，连接BD交AC于点H，连接EH，由于点是的中点，点H是BD的中点，因此，又平面，因此平面；（2）由于，因此平面PAB，又平面PAB，因此，由于，且是的中点，因此，且，由于，因此平面，又平面，因此，由于，且，因此平面，在中，，，则，由于，因此，则，，故三棱锥的体积为.强化训练1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.【答案】【解析】连接,则异面直线与所成角为与所成角即.又,.故，故答案为：2．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为。【答案】【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不不小于.取DD1中点F，则为所求角,.3、如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面，则四周体中，下列结论不对的的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为答案：C解析：运用线面平行的鉴定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．【详解】对于A：由于，是，中点，因此，即平面，平面，故A对的；对于B：由于平面平面，交线为，且，因此平面，即，故异面直线与所成的角为，故B对的；对于C：取边中点，连接，，如图：则，所觉得异面直线与所成角，又，，，即，故C错误；对于D：连接，可得，由面面垂直的性质定理可得平面，连接，可得为与平面所成角，由，则直线与平面所成的角为，故D对的.故选：C.4、已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，.则下列命题中对的的有（）①平面平面PAE；②；③直线CD与PF所成角的余弦值为；④直线PD与平面ABC所成的角为45°；⑤平面PAE.A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤答案：B解析：①要判断面面垂直，需先判断与否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；②由条件可知若，可推出平面，则，判断与否有矛盾；③异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据，转化为求；④根据线面角的定义直接求解；⑤若平面，则，由正六边形的性质判断与否有矛盾.详解：∵平面ABC，∴，在正六边形ABCDEF中，，，∴平面PAE，且面PAB，∴平面平面PAE，故①成立；由条件可知若，平面，则，，可推出平面，则，这与不垂直矛盾，故②不成立；∵，直线CD与PF所成角为，在中，，∴，∴③成立.在中，，∴，故④成立.若平面，平面平面则，这与不平行矛盾，故⑤不成立.因此对的的是①③④故选：B5、如图，矩形中，，E为边的中点，将沿直线翻转成（平面）.若M、O分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面垂直的直线必与直线垂直；B．异面直线与所成角是定值；C．一定存在某个位置，使；D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值；答案：C解析：对A，由面面平行可知对的；对B，取的中点为，作出异面直线所成的角，并证明为定值；对C，运用反证法证明，与已知矛盾；对D，拟定为三棱锥的外接球球心，即可得证.详解：取中点，连接.为的中点，.又为的中点，且，∴四边形为平行四边形，.，∴平面平面平面，∴与平面垂直的直线必与直线垂直，故A对的.取的中点为，连接，则且，∴四边形是平行四边形，，为异面直线与所成的角.设，则，，，故异面直线与所成的角为定值，故B对的.连接.为等腰直角三角形且为斜边中点，.若，则平面，又，.又平面，，与已知矛盾，故C错误.，为三棱锥的外接球球心，又为定值，故D对的.故选：C6、如图，在长方体中，，，，是棱上的一条线段，且，是的中点，是棱上的动点，则①四周体的体积为定值②直线到平面的距离为定值③点到直线的距离为定值④直线与平面所成的角为定值其中对的结论的编号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案：A解析：根据锥体体积公式阐明高与底面面积均为定值，即可判断①；根据定直线与定平面关系可判断②；根据两平行直线关系可判断③；分别计算在端点时直线与平面所成的角，即可判断④.详解：由于,因此平面即为平面，因此到平面的距离（设为）等于到平面的距离，即为定值；由于,因此到直线的距离等于直线到直线的距离,为定值；因此③对的；而，因此面积为定值，因此四周体的体积等于,为定值，即①对的；由于,因此直线与平面（即平面）平行，从而直线到平面的距离等于定直线与定平面之间距离，为定值，即②对的；当与重叠时，过作交延长线于,则由长方体性质得平面,即得,由于平面,从而平面,因此为直线与平面所成的角，，当与重叠时，由于平面，因此到平面的距离相等，过作，则为点到到平面的距离连,则为直线与平面所成的角，,即④错误；故选：A（多选）7、如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法对的的是（）A．与平面所成的最大角为B．存在某个位置，使得C．当二面角的大小为时，D．存在某个位置，使得到平面的距离为答案：BC解析：对A，能够举出反例；对B、C通过证明与计算可得；对D，可运用反证法；详解：如图所示：对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；对B，当时，取CD的中点N，可得因此平面PBN，因此，故B对的；对C，当二面角的大小为时，因此，因此，因此，故C对的；对D，由于，因此如果到平面的距离为，则平面PCD，则，因此，显然不可能，故D错误；故选：BC.（多选）8、如图，在正方体中，点是棱上的一种动点，给出下列结论，其中对的的有（）A．与所成的角为45°B．平面C．平面平面D．对于任意的点，四棱锥的体积均不变答案：BCD解析：由异面直线所成角的定义计算即可判断A；根据平面平面即可判断B；根据平面即可判断C；根据可判断D.详解：连接，∵，∴为与所成角，设正方体棱长为1，则，∴，故A错误；∵平面平面，平面，∴平面，故B对的；连接，则，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面，故C对的；设正方体棱长为1，则，故三棱锥的体积均不变，故D对的；故选：BCD.9、如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出下列四个结论：①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长为；③异面直线与所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.其中对的结论的序号是_______.（请写出全部对的结论的序号）答案：①②④解析：①平面，则可判断；②通过线段相等，可求出线段的长；②异面直线与所成角为，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而得到对的结论的序号.详解：如图，取的中点为，的中点为，连接，，，，则四边形为平行四边形，直线平面，因此①对的；，因此②对的；由于，异面直线与的所成角为，，因此③错误；当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，可计算出，，，因此，同理，因此三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，④对的.故答案为：①②④.10、在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范畴是；③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；④若，是线段上一动点，则的最小值为.其中对的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：作出三棱锥的图象，逐个判断各命题，即可求解．详解：作出三棱锥的图象，如图所示：．对于①，根据题意可知，平面，且，因此，①对的；对于②，在中，，而，因此，即的取值范畴是，②对的；对于③，由于，因此三棱锥外接球的球心为，半径为，其体积为，③不对的；对于④，当时，，因此，将平面沿翻折到平面上，则的最小值为线段的长，在展开后的中，，根据余弦定理可得，④对的．故选：C．11、如图，M，N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC？CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有下列结论：①异面直线AC与BD所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°．④三棱锥体积的最大值为．以上全部对的结论的有()个．A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：证得，由此判断①对的；证得，由此判断②错误；当平面与平面垂直时，求得直线与平面所成的角、三棱锥体积的最大值，由此判断③④的对的性.详解：设，①，折叠前，根据正方形的性质可知，折叠过程中成立，而，因此平面，因此，因此异面直线与所成角为定值，因此①对的.②，折叠前，，折叠过程中成立，假设，而，因此平面，因此.折叠过程中，在三角形中，，因此，这与矛盾，故假设不成立，因此②错误.③，在折叠过程中，当平面平面时，由于平面平面，，根据面面垂直的性质定理可知平面，因此是直线与平面所成的角，且.在中，因此三角形是等腰直角三角形，因此.由于分别是的中点，因此是三角形的中位线，因此，因此直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.因此③对的.④，在折叠过程中，三棱锥中，三角形的面积为定值，即.因此当到平面的距离最大时，三棱锥的体积获得最大值.当平面平面时，到平面的距离最大.此时，过作交于，根据面面垂直的性质定理可知平面.由于，因此是等腰直角三角形，因此.因此三棱锥的体积的最大值为.因此④对的.总而言之，对的的结论有个.故选：C12、直角中，，D为BC边上一点，沿AD将折起，使点C在平面ABD内的正投影H正好在AB上，若，则二面角的余弦值是（）A． B． C． D．答案：A解析：由平面ABD，可得，从而可求出的长，过作，则可得，为二面角的平面角，而，然后在和分别求出，即可求得成果.详解：解：如图，过作，垂足为，连接，由于平面ABD，因此，，因此平面，因此，因此，为二面角的平面角，由于，若设，则，在中，，，则，在中，，在中，，在中，由得，，解得，因此，因此,故选：A13、如图，已知四棱锥，底面为菱形，，侧面为边长等于2的正三角形，侧面与底面所成的二面角为．（1）求四棱锥的体积；（2）求面与面所成二面角的正切值．答案：（1）4；（2）.试题分析：（1）过点P作平面，垂足为点O，连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE，AC，BD，AC交BD于点F，易得和，为面与面ABCD所成二面角的平面角，然后分别求得点P到平面ABCD的距离和菱形ABCD的面积，最后套用棱锥体积公式计算即可得解；（2）取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，易得是所求二面角的平面角，先求得，再根据计算的值即可.详解：（1）如图，过点P作平面，垂足为点O，连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE，AC，BD，AC交BD于点F，∵，∴，∵，∴，于是OB平分AD，点E为AD的中点，因此，由此知为面与面ABCD所成二面角的平面角，∴，，由已知可求得，∴，即点P到平面ABCD的距离为，又，由题知，在中可得，因此，，因此；（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，则，，，∵，∴，，∴是所求二面角的平面角，∵面，∴，又∵，∴，且，在中，，，于是，又，因此.14、在平行四边形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使AB⊥DC，连接AC，得到三棱锥A﹣BCD.(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.答案：(1)证明见解析；(2)60°.试题分析：（1）通过证明AB⊥平面BCD，得面面垂直；（2）取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，证明∠DFE为所求二面角，即可计算求解.【详解】(1)证明：∵AB=1，AD，且∠BAD=45°，∴BD=1，则AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，又AB⊥DC，BD∩DC=D，且都在平面BCD内，∴AB⊥平面BCD，∵AB在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面BCD；(2)取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，∵BD=CD=1，∴DE⊥BC，∵AB⊥平面BCD，DE？平面BCD，∴AB⊥DE，∵AB∩BC=B，且都在平面ABC内，∴DE⊥平面ABC，∵AC？平面ABC，∴AC⊥DE，又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF内，∴AC⊥平面DEF，∴∠DFE为所求二面角，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，，，∴，∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小为60°.15、已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.（1）求证:;（2）求与平面所成角的正弦值;（3）求二面角的大小.答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）推导出,从而平面,进而,由此能证明平面,即可求得答案;（2）由（1）可得:平面,所觉得与平面所成角,求出长,即可求得答案;（3）连结,交于点,,从而平面平面,进而平面,过作于点,连结,则,则为二面角的平面角,即可求得答案.【详解】（1）取中点为,连接,底面是直角梯形,∥,即∥又四边形是平行四边形可得,中点为,根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且又平面平面平面（2）由（1）可得:平面为与平面所成角为直角三角形,,又,为等腰直角三角形在中,与平面所成角的正弦值.（3）连结,交于点,,如图:平面,平面平面,平面过作于点,连结,则,为二面角的平面角,在中,在中,在中,二面角的大小为.16、如图1，平面四边形中，，为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥（1）证明：平面平面；（2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）证明平面，平面平面即得证；（2）先由题可知即为直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，再解三角形求解即可.详解：（1）证明：在三棱锥中，由于，，因此平面，又平面，因此，由于，为中点，因此，又，因此平面，又平面，因此平面平面．（2）由（1）可知即为直线与平面所成的角，因此，故；由（1）知平面，过作于，连接，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角．由，得，即得，因此，故，因此二面角的余弦值为．17、如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的鉴定定理能够证明.（2）根据棱锥的特性可知，过作于点，连接，则，所觉得二面角的平面角.由三棱锥的体积可求出顶点究竟面的距离，根据二面角的余弦值可计算出正弦值，进而计算的长，通过勾股定理可知边、的长，再通过三角形面积相等计算和的值，从而通过余弦定理计算所求.详解：（1）为等边三角形，为的中点，因此有，又平面平面，平面平面，，因此平面（面面垂直的性质定理），又平面，因此平面平面（线面垂直的鉴定定理），得证.（2）由于，，，因此过作于点，连接，则，所觉得二面角的平面角.即即为所求.设三棱锥的高为，则有，得.由（1）可知，为二面角的平面角，因此，则，则，因此.由余弦定理可得：，.在中，由余弦定理可知：，则有，因此，同理，又，因此由余弦定理可知.18、在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，E为线段BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）已知，且二面角A－BD－P的大小为，求AD与平面BDP所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）根据几何特性，先证平面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据已知条件，作出辅助线找到线面角，再解三角形即可求得成果.详解：（1）证明：依题意△ABC为等边三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC又PB＝PC，∴PE⊥BC，而平面，∴BC⊥平面PAE，又BC平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC（2）由（1）知BC⊥PA，又PA⊥AB，AB∩BC＝B∴PA⊥平面ABCD，平面，则，连接AC，设AC∩BD＝M由菱形ABCD知，AC⊥BD，，平面，∴BD⊥平面PAM，∴∠PMA为二面角A—BD—P的平面角，且∠PMA＝∴AM＝PA，不妨设菱形ABCD边长为2，∴AM＝PA＝1，AD＝2由BD⊥平面PAM，BD平面PBD知平面PAM⊥平面PBD且交线为PM过A作AN⊥PM，N为垂足，∴AN⊥平面PBD∴∠ADN为直线AD与平面PBD所成角，在Rt△APM中AN，在Rt△ADN中，AD与平面PBD所成角正弦值为.19、矩形中，，，E、F分别为线段、上的点，且，现将沿翻折成四棱锥，且二面角的大小为.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）连接，根据四边形为正方形，可得，，然后根据线面垂直的鉴定定理可得面，最后可得成果.（2）根据二面角的大小为，计算点F到平面的距离，然后根据，计算点到平面的距离，同时计算，最后计算即可.详解：（1）由题旨在矩形中，，，∴四边形为边长为2的正方形.连结，交于点M，如图则，且.在四棱锥中，，，∴面，又面，∴（2）设点F到平面的距离为，点到平面的距离为由（1）就是二面角的平面角，∴.∵面，∴面面，过F作于H，∵面面，∴面.又∵在中，，∴，，∴，∵，∴.由题意可得，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.20、在平行六面体中，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线AC与平面所成角的大小.答案：（1）证明见解析；（2）试题分析：（1）先证明线面垂直，再运用面面垂直的鉴定定理，即可得答案；（2）作出线面角的平面角，再求正弦值，即可得答案；详解：（1）四边形为菱形，，又，，，，平面，平面，平面平面；（2）设交于点，连结，则为直线AC与平面所成角，设，则，，，直线AC与平面所成角的大小为.21、如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？阐明理由.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.试题分析：（1）由平面平面，可得平面，从而证明；（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，因此，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，拟定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.详解：（1）由平面平面，平面平面，且，因此平面，又平面，因此；（2）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，因此，同理可证，因此四边形是平行四边形；（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，由，，，因此平面，则平面，又，根据三垂线定理，得到，因此是二面角的平面角，若，则是等腰直角三角形，，又，因此中，由大角对大边知，因此，这与上面相矛盾，因此二面角的大小不能为.22、如图，在四