中考数学能力提升(典型的几何问题一)

专题六：几种典型的几何问题（一）一、旋转变换在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。旋转变换不改变图形的形状和大。通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度。旋转变换前后的图形有以下性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。下列情形，常实施旋转变换：图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点旋转相等线段的夹角后与另一相等线段重合。图形变换能把分散的线段、角相对集中起来，将已知条件集中在一个熟悉的基本图形中，促使问题的解决。【典型例题】【例1】在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD，把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0<m<180°）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=【例2】如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（）A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.不确定【例3】点B、C、E在同一条直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F。（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是。请你任选其中一个结论证明。【例4】如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠ABC=90°。将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE、PF分别与AC、AB相交于点N、M，，连MN，AP，交于D点。求证：PN=PM；设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式；当三角板旋转到时，求AM的长。【例5】已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC中点M，连接DM和BM。若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；如图②中的△ADE绕A点逆时针转小于45°的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。【例6】如图，正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。二、圆的基本性质圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形，用圆的基本性质解题应注意：熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；了解弧的特性及中介作用；善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化。熟悉以下基本图形，基本结论：【例1】在半径为1的中，弦AB、AC的长分别为，则∠BAC的度数为【例2】如图，已知点A、B、C、D顺次在上，弧AB=弧BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM.【例3】如图①，的直径为AB，过半径OA的中点G做弦CE⊥AB，在弧CB上取一点D，分别作直线CD、CE，交直线AB于点F、M.求∠COA和∠FDM的度数；求证：△FDM∽△COM；如图②，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在弧EB上，仍作直线CD、ED分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM？证明你的结论。【例4】如图，半径为2的中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连接OP，若OP=1，求的值。【例5】（1）如图①，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边△ABC和正方形BDEC组成，过A、D、E三点，求的半径.（2）如图②，若多边形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，过A、D、E三点，问的半径是否改变？【例6】（1）如图①，已知PA、PB为的弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB；（2）如图②，已知PA、PB为的弦，C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，问：AE、PE、PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。【例7】如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M点，过M作AB的垂线MN交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径.三、圆中比例线段（圆幂定理）【例1】如图，已知AB是的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若，D为EF的中点，则AB=【例2】如图，在中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为【例3】如图，是△ABC的外接圆，BC是的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E。（1）求证：;（2）若，求DE.【例4】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。求证：；若，求弦AB和直径BC的长。【例5】如图，AB是半圆O的直径，AB=2，射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC，过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F，过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q。求证：△ABC∽△OFB；求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。四、几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值得具体数据，再进行一般情形下的推证；几何定理法：应用几何中的不等量性质、定理；数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。【例1】如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是【例2】如图，在△ABC中，AB=1，AC=8，BC=6，经过点C且与AB边相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是【例3】如图，正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为x，CQ的长为y.求点P在BC上运动的过程中y的最大值；当时，求x的值.【例4】如图已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b），P为AB上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q点，求AP+PQ的最小值。【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC、AD的延长线相交于P，求的最小值。【例6】在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？专题六：几种典型的几何问题（二）五、辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常常要借助于圆的性质，问题才得以解决。而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用得圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1.利用圆的定义添补辅助圆；2.作三角形的外接圆；3.运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。（2）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆。（3）若四边形的对角线相交于，且，则它的四个顶点共圆。（4）若四边形的一组对边、的延长线相交于，且,则它的四个顶点共圆。例题求解【例1】如图，四边形中，,是的中点，。,,则。【例2】如图，若，,与交于点，且，，则等于（）【例3】如图，在中，，任意延长到，再延长到，使,求证:的外心与、、四点共圆。【例4】如图，,垂足分别为、。（1）当，，时，在线段上是否存在点，使若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；（2）设，，，那么当、、之间满足什么关系时，在直线上存在点，使【例5】如图，是外一点，切于，是的割线，于。求证：。六、几何定值几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。【例1】（1）如图，圆内接中，,、为的半径，于点，于点,求证：阴影部分四边形的面积是面积的；（2）如图，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的。【例2】如图，和外切于点A，BC是和的公切线，B、C为切点.求证：AB⊥AC；过A的直线分别交、于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F，请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？所垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（D、E不与点A、B、C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。【例3】如图，定长的弦在一个以为直径的半圆上滑动，是的中点，是对作垂线的垂足。求证：不管滑到什么位置，是一定角。【例4】如图，扇形的半径，圆心角，点是上异于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点、在线段上，且。（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点在上运动时，在、、中，是否存在长度不变的线段若存在，请求出该线段的长度。（3）求证：是定值。【例5】如图，已知等边内接于圆，在劣弧上取异于、的点,设直线与相交于点,直线与相交于点。证明：线段和的积与点的选择无关。【例6】如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于、两点，交轴于、两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为，。（1）求点的坐标；（2）连接、，求证：；（3）如图，过点作的切线，交轴于点。动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化若不变，求出比值；若变化，说明变化规律。【例7】如图，已知等边三角形的周长为，为其内在任一点，于，于,于。求证：（1）为定值；（2）为定值。【例8】如图，内接于的四边形的对角线与垂直相交于点，设的半径为。求证：（1）是定值。（2）是定值。【例9】如图，已知为正方形的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值。七、三角形的四心重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。（1）重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设是的重心，则；（2）外心三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设是的外心，则；，，。（3