基于hilmann变换的非平稳地震动信号分析

基于hilmann变换的非平稳地震动信号分析

在强地震记录的地面运动中，地震波是不稳定的，包括地表土层和其他介质的非线性信息。在传统的不规则地震记录处理方法中，frr可以在频域中获得非常高的分辨率，但fower谱不能反映信号的瞬态信息。因此，时域失去了区分能力。短期frr可以在一定程度上描述信号的瞬时频率含量，但不受不确定性原则的限制，因此无法同时获得高的时间和频率范围。小波变换是一种多分辨率信号治理方法，可以同时在时间和频率范围内获得较高的分辨率，但其分辨率仍然受到一定的限制。基于Hilbert变换的Hilbert谱分析,在处理某些特殊的非平稳信号时,能够获得非常好的结果;但是,Hilbert谱分析所面临的问题是:对于大部分非平稳的信号,Hilbert谱分析失去了本来的物理意义.为此,1998年Huang提出了一种新的信号处理技术,其基本的思路是:为了将Hilbert变换应用到任意非平稳信号,首先利用Huang提出的经验模态分解(empiricalmodedecomposition,EMD)方法,将给定信号分解成若干个本征模函数(intrinsicmodefunction,IMF);然后,再对每个IMF进行Hilbert谱分析(Hilbertspectralanalysis,HSA),得到每个IMF的Hilbert谱;最后,汇总所有IMF的Hilbert谱,得到原始非平稳信号的Hilbert谱.这种新的信号处理方法被称为Hilbert-Huangtransform,简称HHT.在EMD方法中,信号两端的边界效应所带来的误差会向内传播,进而“污染”整个数据序列,使得最后的结果失去意义,尤其对于低频的IMF分量来说,这种边界效应所引起的误差更加严重.Huang针对这个问题,提出用“特征波”对原始信号进行延拓的方法,但并未公开具体的处理方法,并且已将该方法在美国申请了专利.此外,Huang指出,EMD方法所面临的边界延拓问题还没有完全解决.因此,解决边界延拓问题对于HHT理论、以致对其他信号处理,都具有理论和实际意义.邓拥军等提出了使用神经网络方法对原始信号进行延拓来解决EMD中的边界问题.本文针对同一问题,应用传统的自回归(auto-regressive,AR)模型对原始数据进行延拓,提出了“边筛分,边延拓”的边界处理方法,计算结果表明,该方法对于EMD的准确分解非常有效,对于低频IMF分量也得到了很好的结果.1hhd的信号处理在EMD方法中,Huang将具有如下性质的信号定义为本征模函数:(1)该信号的极值点的数目与零交点的数目相等或至多相差一个;(2)该信号的极大值点与极小值点关于零轴对称.Huang认为Hilbert变换作用到具有上述性质的信号上时,便能给出物理意义明确的结果来,即能将IMF中所蕴涵的波内调解机制(intra-wavemodulation)提取出来,所得到的Hilbert谱与小波谱以及其他基于Fourier变换时变频谱相比,具有非常高的时频分辨率.EMD方法通过一种被Huang成为“筛分”(sifting)的过程,对数据逐步进行分解,最后得到一系列IMF分量.具体处理方法是:给定实信号x(t),找出x(t)所有的极大值点并将其用三次样条函数拟合成原始信号的上包络线;找出x(t)所有的极小值点并将其用三次样条函数拟合成原始信号的下包络线;上下包络线的均值为原始信号的平均包络线m1(t);将原始信号x(t)减去m1(t)后即可得到一个新的信号h1(t):这个过程称为筛分,原始信号x(t)经过一次筛分后变为h1(t).一般说来,h1(t)仍然不是一个IMF,为此需要对它重复上述筛分处理.重复处理k次后,若最后所得到的信号满足IMF条件,就得到了原始信号的第1个IMF分量c1(t):c1(t)代表原始信号中最高频的IMF分量.将原始信号x(t)减去c1(t)就可以得到去除高频成分的残余信号r1(t);对r1(t)进行上述筛分处理后可以得到第2个IMF分量c2(t),然后将r1(t)减去c2(t)后可以得到r3(t);如此重复下去直到最后一个残余信号rn(t)不可再分解为止.最后,原始信号x(t)可以表示成通常,原始信号x(t)经过上述EMD方法分解后所得到的IMF分量的数目是很少的,这说明EMD方法的效率是很高的.原始信号x(t)经过EMD分解后,分别对每个IMF分量进行Hilbert谱分析(HSA)得到每个IMF分量的Hilbert谱,汇总所有IMF分量的Hilbert谱就得到了原始信号x(t)的Hilbert谱.即给定任意一个IMF,c(t),其Hilbert变换定义为其中P表示Cauchy主值.c(t)与y(t)可以合成解析信号z(t):从而,可以定义时变的幅值a(t)和相位θ(t)如下:进一步可以定义瞬时频率ω(t):时变幅值a(t)的时频分布就定义为分量c(t)的Hilbert谱:最后,汇总所有分量的Hilbert谱,就得到原始信号的Hilbert谱:综上所述,HHT对信号的处理可用下面的流程图来表示:式中HS(t,ω)表示时变Hilbert谱(Hilbertspectrum).上述基于Hilbert变换及经验模态分解的HHT方法在处理非平稳信号时,得到的Hilbert谱由于不受不确定性原理的制约,它能同时在时域和频域内获得很高的分辨率.但是,困扰EMD方法的一个大问题就是数字信号的边界问题.下面举一个简单的例子说明.通常我们所处理的信号都局限在有限区间.为此,考虑下式给出的模拟信号:图1给出了限定在指定区间的原始模拟信号.可以看出,在区间[0.3,1.0]内,信号x(t)存在3个极大值点、3个极小值点;利用三次样条插值分别连接极大值点和极小值点,所得到的样条曲线自然延拓到信号的边界处就得到了如图所示的上下包络线.图2中的真实包络线是按照如下方式得出的:首先,根据(13)式求出原始信号在区间[0.3,1.0]之外的部分;然后,利用三次样条插值分别连接所有极大值点和极小值点;最后取所得样条曲线在区间[0.3,1.0]内的部分.从图2中可以看出,如果事先不知道信号在所给定区间之外的部分,只是利用给定区间内的极大值和极小值通过三次样条插值来拟合信号的上下包络线,所得的三次样条包络线与真实样条包络线相比会出现严重失真.在本例中,上下包络线都出现了失真,尤其是上包络线,在信号两端出现了严重的失真.这种包络线失真引起的误差最初只会影响信号两端,但随着筛分过程的进行,边界处的误差会向内传播,进而“污染”到内部的数据,使得最后的结果失去意义.而我们实际处理的信号都是有限长度的离散信号x(n),(n=1,…N),而且,我们事先无法知道给定数据之外的信号.因此,在进行EMD处理时,我们就需要根据已知数据,按照一定规则加以延拓,进而在信号两端分别获得附加的极大值和极小值;然后根据信号自身的所有极大值点和两个附加的极大值点构造三次样条上包络线;根据信号自身的所有极小值点和两个附加的极小值点构造三次样条下包络线;这两条包络线如果与真实样条包络线接近,则我们就能有效地控制数据边界所带来的误差.本文提出“边筛分、边延拓”的边界处理方法,利用自回归模型(AR模型),通过线性预测对数据进行延拓.由于自回归模型最后所得到的线性方程组的系数矩阵是对称的Toeplitz矩阵,采用Levinson-Durbin递推算法能够快速地求得AR模型的系数,因此,在筛分的过程中,采用此算法对数据加以延拓,即“边筛分、边延拓”,能够有效地对数据进行筛分,而且也能获得较高的计算速度.2种边端误差的消除设x(n)之前的p个数据{x(n-p),x(n-p+1),…,x(n-1)}已知,我们希望利用这p个数据的线性组合来预测x(n)的值.记(n)是对真实值x(n)的预测,则有根据线性预测方法,通过使得预测值(n)与真实值x(n)之间总的预测误差功率最小,系数{αk}可以求出.系数{αk}求出后,根据(14)式求出x(n)的预测值(n),然后根据新的数据序列{x(n-p+1),…,x(n-1),(n)}来预测n+1时刻x(n+1)的值(n+1),依次类推,可以求出x(n-1)以后任意时刻离散信号的预测值.当然,距离x(n-1)越远的预测值与真实值之间的误差也就越大,但是我们所要预测的是已知数据外最近的极大值和极小值,因此需要预测的数据点不会离已知数据的边界太远,从而预测的样条包络线能够具有较好的精度.利用同样的方法可以对同一数据序列进行反向预测.图3给出了利用线性预测得出的(13)式信号的样条上下包络线及真实的包络线,从中可以看出,两者之间误差非常小.图4给出了相应的预测平均包络线与真实平均包络线,同样可以看出,两者非常接近.图4所给出的平均包络线参加最后的筛分运算,就可以得到物理意义明确的结果.在对一个给定信号(它可以为原始信号x(t),也可以为前一次筛分处理所得的残余信号hij(t),见(2)式)进行筛分处理之前,首先利用AR模型对其进行线性预测,得出上下三次样条包络,然后再对其进行筛分,这种计算方法即为“边筛分,边延拓”的算法.按照此算法,对(13)式所给出的模拟信号进行经验模态分解,所得结果与原始的两个简谐波信号如图5所示.从中可以看出,对于高频分量来说,按照本文所建议的算法,利用经验模态分解所得的结果与真实分量相差不大,边界效应仅在信号两端引起微小的误差,对中间大部分数据没有影响;对于低频分量来说,尽管数据边端所引起的误差传播到了数据内部,但是,按照本文算法所得的低频分量与真实分量之间非常接近,而且,此分量只有半个波存在,这种分解效果非常令人满意.通过上面模拟信号的结果可以看出:数据边端所引起的误差对低频分量的影响较大,对高频分量影响较小;按照“边筛分、边延拓”的算法,利用AR模型,通过线性预测对数据进行延拓,可以有效地抑制数据边端误差对EMD分解结果中低频分量的影响.下面,利用上述方法对一实际地震动记录ElCentro波的分解为例加以说明.图6给出了原始ElCentro波的加速度记录.在此,首先使用Huang的EMD程序,对此地震波加以分解,得到8个IMF分量;然后使用本文提出的“边筛分,边延拓”的计算方法对同一地震波加以分解,同样可以得到8个IMF分量;最后将两种结果加以比较,以验证本文方法的有效性.比较结果示于图7中,由于数据边端所引起的误差对高频分量影响不大,主要是影响低频分量,所以图中只给出了最后4个IMF分量的比较结果,对于前4个较高频IMF分量来说,两者几乎完全一致,在此不再给出.图7中,实线为本文所得结果;虚线为Huang的EMD软件计算所得结果.从图中可以看出,对于较高频分量,两者符合程度非常好;对于较低频分量,尽管两者存在一定误差,但相差不是很大;虽然最后一个分量在边界处相差较大,但是与高频分量相比,它的尺度非常小,它的误差可以忽略.3基于自回归线性模型的原始数据建模本文提出一个EMD方法中边界处理的“边筛分、边延拓”方法,利用AR模型,通过线性预测对信号两端加以延拓,分别获得附加的极大值点和极小值点,然后利用三次样条插值将附加的极值点与信号本身的极值点连接起来,从而拟合出原始信号的上下包络线