《平行四边形的判定》3

返回首页问题：如图（1），将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条作为对边.在转动过程中它一直是平行四边形吗？如图（2）将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD,在转动过程中，四边形ABCD一直是平行四边形吗？问题：你能证明这两个结论吗？平行四边形的判定（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。如图，连接AC，因为AD=BC,AB=CD,又AC是公共边，所以△ABC≌△CDA,所以∠ACB=∠CAD,所以AD∥BC,同理AB∥CD。问题：如图，取两根相等的木条AB,CD，将他们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？问题：如上图，四边形ABCD,AB∥CD,且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。问题：如上图，四边形ABCD,AB∥CD,且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。分析：如图，连接AC，证明△ABC≌△CDA,再利用前面结论证明。结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.问题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC且【例1】如图1所示，过□ABCD的对角线的交点O作直线EF,分别交AD于E,交BC于F,G、H分别为OD、OB的中点,求证：四边形EHFG为平行四边形.【答案】证明：因为四边形ABCD是平行四边形所以AD∥BC,OA＝OC,OB＝OD，所以∠１＝∠２在ΔAOE与ΔCOF中，图1所以ΔAOE≌ΔCOF，所以OE=OF.又因为G、H分别为OD、OB的中点,所以OG=OH.所以四边形EHFG为平行四边形。【例2】如图2所示，已知：在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC,点E在BC上，点F在AD上，AF=CE,EF与对角线BD相交于点O,求证：点O是BD的中点.【答案】连接BF、DE，因为AB=DC,AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C,又AF=CE,AB=CD.所以ΔABF≌ΔCDE,所以BF=DE.

又因为AD=BC,AF=CE,所以DF=BE,所以四边形BFDE是平行四边形,所以OB=OD，即点O是BD的中点.【例3】已知：如图3，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形。【答案】证明：连接BD,交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO,BO=DO.ΔABE≌ΔCDE,所以即AE=CF,所以EO=FO,所以四边形BEDF是平行四边形.图3（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，四边形ABCD为平行四边形.1.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=___cm时，四边形ABCD为平行四边形；84543.已知：如图2，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF图22.已知：如图1，□ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：EO=OF.图14.已知：如图3，□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.求证：(1)△AFD≌CEB；(2)四边形AECF是平行四边形.图34.判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；()√(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(

)(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；(

)(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(

)(5)对角线相等的四边形是平行四边形；(

)(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(

)√×√×√5.已知：如图4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.AEDBC图56.如图5，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE.课堂总结