第10章 简单回归与相关分析

第10章简单回归与相关分析10.1变量间关系的度量10.2一元线性回归10.3利用回归方程进行估计和预测10.4残差分析学习目标1. 相关系数的分析方法一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差，而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解10.1变量间关系的度量10.1.1变量间的关系10.1.2相关关系的描述与测度10.1.3相关系数的显著性检验怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题变量之间是否存在关系？如果存在，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？相关关系

(correlation)变量间关系不能用函数关系精确表达（不确定的数量关系）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy相关关系

(几个例子)

相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食亩产量y与施肥量x1

、降雨量x2

、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系

(特点)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个。无法用函数关系描述变量的不确定关系有规律可循，便两间存在一定客观规律相关与回归分析正是描述与探索这类变量之间关系及其规律的统计方法。相关分析对两个变量之间线性关系的描述与度量，它要解决的问题包括变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？相关关系

(类型)相关关系的描述与测度

(散点图)散点图

(scatterdiagram)

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关完全正线性相关

散点图

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据散点图

(例题分析)散点图

(例题分析)相关关系的描述与测度

(相关系数)相关系数

(correlationcoefficient)对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r相关系数

(计算公式)

样本相关系数的计算公式或化简为相关系数

(取值及其意义)

r

的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系

-1

r<0，为负相关

0<r

1，为正相关

|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切相关系数

(取值及其意义)

r

具有对称性，rxy=ryx。

r数值大小与x和y的原点及尺度无关。

r仅仅是x和y之间线性关系的度量，不能用于描述非线性关系。

r虽然是两个变量之间线性关系的度量，却不一定意味着x和y一定有因果关系。相关系数

(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数

(例题分析)

用Excel计算相关系数相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验

1. r的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数

很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当

远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态。当

为较大的正值时，r呈现左偏分布；当

为较小的负值时，r呈现右偏分布。只有当

接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量(r的抽样分布)相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验采用R.A.Fisher提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：

；H1：

0计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策若t>t

，拒绝H0

若t<t

，不能拒绝H0相关系数的显著性检验

(例题分析)

对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(

0.05)提出假设：H0：

；H1：

0计算检验的统计量3.根据显著性水平

＝0.05，查t分布表得t

(n-2)=2.069由于t=7.5344>t

(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验

(例题分析)各相关系数检验的统计量10.2一元线性回归10.2.1一元线性回归模型10.2.2参数的最小二乘估计10.2.3回归直线的拟合优度10.2.4显著性检验什么是回归分析？

(Regression)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度回归一词是怎么来的?？回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制

回归模型的类型一元线性回归模型一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示（不良贷款）用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示（贷款余额等）因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型

(regressionmodel)回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1个数值型因变量(响应变量)被预测的变量1个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3. 主要用于预测和估计一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性

0和

1称为模型的参数一元线性回归模型

e

误差项e是未包括在模型中而影响y的全部变量的替代物，为什么不把这些变量都引进到模型中来呢？即，为什么不构造一个含有尽可能多个变量的回归模型？理论的含糊性。即使有决定y的行为理论，但常常是不完全的，影响y的变量不是无所知就是知而不确。数据的欠缺。明知被忽略变量中的一些变量，但也不一定能得到关于这些变量的数量信息。核心变量与周边变量。影响y的某些变量，合起来的影响太小，把它们一一引入模型是不合算的。一元线性回归模型

e人类行为的内在随机性。糟糕的替代变量。实际观测数据受到测量误差的扰乱，误差项e用来代表测量误差。节省原则。在基本上解释y的行为的基础上，模型应尽可能简单。错误的函数形式。考虑多变量关系时，无法从图形上想象一个多维散点图，不容易决定适当的函数形式。一元线性回归模型

(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=

0+

1x（重复抽样中，x是非随机的）对于所有的x值，ε的方差σ2都相同误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0,σ2)独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下

E(y)=

0+

1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程

0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值

1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值估计的回归方程

(estimatedregressionequation)一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值

参数的最小二乘估计最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小可知

0和

1的估计量的抽样分布

0和

1具有较小的标准差最小二乘估计

(图示)xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法的要求，可得求解和的公式如下估计方程的求法

(例题分析)【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：y=-0.8295

+0.037895

x回归系数=0.037895表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元

^估计方程的求法

(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示用Excel进行回归分析第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时

在“Y值输入区域”设置框内键入Y的数据区域在“X值输入区域”设置框内键入X的数据区域在“置信度”选项中给出所需的数值在“输出选项”中选择输出区域在“残差”分析选项中选择所需的选项

用Excel进行回归分析回归直线的拟合优度变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示变差的分解

(图示)xyy{}}

离差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R2

1，说明回归方程拟合的越好；R2

0，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2＝r2判定系数r2

(例题分析)【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系(r=0.843571).估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项

的标准差

的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为注：例题的计算结果为1.9799显著性检验线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设H0：

1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平

，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F

作出决策：若F>F

,拒绝H0；若F<F

,不拒绝H0线性关系的检验

(例题分析)提出假设H0：

1=0不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平

=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F

=4.28作出决策：若F>F

,拒绝H0，线性关系显著线性关系的检验

(方差分析表)Excel输出的方差分析表回归系数的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布回归系数的检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于

未知，需用其估计量sy来代替得到的估计的标准差回归系数的检验

(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平

，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不拒绝H0回归系数的检验

(例题分析)

对例题的回归系数进行显著性检验(

＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=7.533515>t

=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系回归系数的检验

(例题分析)

P值的应用P=0.000000<

=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有线性关系回归分析结果的评价用判定系数回答回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异。考察关于误差项

的正态性是否成立？所估计的回归系数的符号是否与理论或事先预期的一致，在不良贷款与贷款余额回归中，回归系数为正。如果理论上认为y与x之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也该如此。10.3利用回归方程进行估计和预测10.3.1点估计10.3.2区间估计利用回归方程进行估计和预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计点估计点估计2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值

y的平均值的点估计

利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得y的个别值的点估计

利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得区间估计区间估计点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间

，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-

置信水平下的置信区间为式中：se为均方残差=(MSE)0.5置信区间估计

(例题分析)

【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间

解：根据前面的计算结果，已知n=25，sy=1.9799，t

(25-2)=2.069置信区间为当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-

置信水平下的预测区间为注意！预测区间估计

(例题分析)【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间

解：根据前面的计算结果，已知n=25，sy=1.9799，t

(25-2)=2.069预测区间为贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间影响区间宽度的因素置信水平(1-

)区间宽度随置信水平的增大而增大数据的离散程度s区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的xp与