第五章 随机变量及其概率分布

第五章随机变量及其分布第一节离散型随机变量的分布第二节正态分布第三节随机变量的数字特征第四节独立随机变量和的均值和方差第五节中心极限定理第五章随机变量及其分布随机变量是随机试验结果的数量化。随机变量按其可能取值全体的性质，区分为两大类：离散型随机变量和连续型随机变量。研究随机事件就是要研究随机事件发生的概率，因此要研究随机变量取这些值的概率，这些概率的全体称为随机变量的分布或分布律。第一节离散型随机变量的分布定义：设离散型随机变量X的所有可能取值是x1,x2,…,xn,…，且P(X=xi)=Pi,则这组概率｛Pi｝为该随机变量X的概率分布（或概率函数），其中Pi（i=1，2，…）满足：Pi≥0(i=1，2，…）∑Pi=1.第一节离散型随机变量的分布一、离散均匀分布P（X=xi）=1/n，(i=1,2,…，n）【例1】掷一个均匀骰子，以X=i表示骰子向上这一事件，则X为随机变量，且P（X=i）=1/6，(i=1,2,…，6）第一节离散型随机变量的分布二、二项分布(B,n)n重贝努里试验：一种常见的随机模型（1）贝努里试验：只有两个结果的试验（2）在一次贝努里试验中，设成功的概率为P，即P（A）=P，P（）=1-P（3）n重贝努里试验由n个（次）相同的、独立的贝努里试验组成的随机试验。第一节离散型随机变量的分布n重贝努里试验有如下几个特点：重复进行n次相互独立的试验；每次试验只可能有两个结果：成功和失败；每次出现成功的概率相同，皆为P。第一节离散型随机变量的分布定义：设一个随机变量只取两个值，以X表示n个人回答“是”的人数，其中回答“是”的概率为P，且每人的回答与别人无关，则X为随机变量，设，则这一分布称为二项分布。

特别地，当n=1时，二项分布（1，P）化为P（X=K）=pkq1-k(k=0,1)，又称为两点分布或0-1分布。这是二项分布当n=1场合下的的特例。第一节离散型随机变量的分布

【例2】产量质量控制中，我们关心抽取样本中的次品数X，如果次品率为10%，则抽出的10个样品中有2个次品的概率是多少？有至少2个次品的概率是多少？第一节离散型随机变量的分布小概率事件：如果一个事件发生的概率小于0.05，则该事件称为小概率事件。实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能出现，如果事件发生了，则说明该事件发生的前提不对。第一节离散型随机变量的分布三、泊松分布设离散型随机变量X的分布为：P（X=k)=e-λ*λk/k!,(λ＞0,k=0,1,2…),则称X服从参数为λ的泊松分布。它常常被用来描述稀有事件发生的概率。在实际中，人们常把在一次试验中出现概率很小（如小于0.05）的事件称为稀有事件。泊松分布的另一应用是所谓的泊松逼近定理。第一节离散型随机变量的分布【例】假设平均而言，在中午12点到下午1点期间，每分钟有3位顾客来银行？那么在给定的1分钟内正好有2位客户来银行的概率是多少？在给定的1分钟内，有2位以上客户来银行的概率又是多少？当n很大，p很小时，二项式分布趋向于泊松分布第一节离散型随机变量的分布【例2】产品质量控制中，我们关心抽取样本中的次品数X，如果次品率为10%，则抽出的10个样品中有2个次品的概率是多少？有至少2个次品的概率是多少？【例3】在第二次世界大战中，苏联因缺少高射炮而用步枪打飞机。现设有100人同时向一架飞机射击，设每人打中飞机的概率为0.02。问至少有两人打中飞机的概率。第二节正态分布正态分布是最重要、最常见的一种连续型分布一、分布函数与概率密度函数（一）分布函数设X为一随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概率是x的函数，记为：F(x)=P（X≤x），这个函数称谓X的累积概率分布函数，简称分布函数。第二节正态分布分布函数的基本性质：0≤F（x）≤1（分布函数是特定形式事件“X≤x”的概率，而概率总在0与1之间）；对任何a＜b，有P(a＜X≤b)=F(b)-F(a)；F（x）是非降函数（单调增函数），即对任意x1＜x2,F(x1)≤F(x2)；F(-∞)=lim

F(x)=0；F(∞)=lim

F(x)=1；F(x)是右连续函数；若X为离散型随机变量，则F（x）为一阶梯函数。第二节正态分布

【例4】取暖器有二种：一种是用电作动力的（记为E），另一种用煤气作动力的（记为G），有三位顾客到大型商场去各购买一台取暖器，若定义如下一个随机变量：X=三位顾客共购买煤气取暖器的台数；若从市场调研，在欲购取暖器的顾客中60%要购电取暖器，40%要购买煤气取暖器，假如三位顾客购置取暖器是相互独立的，求X的分布函数。XX＝0X＝1X＝2X＝3P0.633×0.62×0.413*0.61×0.420.43F(X)F(X=0)F(X<=1)F(X<=2)F(X<=3)例240名工人生产零件个数101919093919089899092919595909090898885889393789190909092929089889095919288899185例240名工人生产零件个数产量人数产量人数78191685292488493389595390111011第二节正态分布（二）概率密度函数定义：设随机变量的分布函数为F(x)，若f(x)是定义在整个实数轴上的非负可积函数（满足两个条件：f(x)≥0，∫∞-∞f(x)dx=1，即f(x)与横轴所夹面积为1）使得F(x)=∫x-∞f(t)dt,则称f(x)为随机变量X的概率密度函数（或密度函数）。第二节正态分布概率密度函数的性质：f(x)≥0（-∞≤x≤∞)∫+∞-∞f(x)dx=F(+∞)=1F’(x)=f(x),即概率密度函数是分布函数导数对任意两个实数a与b，其中a≤b，有P(a≤X≤b)=P(a＜X＜b)=P(a＜X≤b)=P(a≤X＜b)=F(b)-F(a)=∫baf(x)dx第二节正态分布二、正态分布（一）定义正态分布在概率论和数理统计的理论与应用中都是最重要最常用的分布，因为：很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；许多分布可用正态分布作近似计算；从正态分布可导出一些有用分布；

可以说，概率论和数理统计的基础部分就是以正态分布为中心建立起来的。第二节正态分布（二）正态分布的数学期望和标准差正态分布由期望值和标准差唯一确定，期望值决定其位置，标准差决定其散布大小。（三）标准正态分布N（0，1）期望值为0和标准差为1的正态分布N（0，1）称为标准正态分布，相应的随机变量叫标准正态变量。

标准正态分布函数是正态分布计算的基础。第二节正态分布（四）正态变量的线性变换标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。可把随机械变量减去自己的均值，再除以自己的标准差所得到的新变量称为原变量X的标准化变换。正态分布的重要性质

第二节正态分布（五）正态分布的计算【例5】设X服从X～N（100，100），求F（115）=P（X≤115）的值。第三节随机变量的数字特征

以数字表达的随机变量取值规律的特征称为随机变量的数字特征。常见的有期望、方差、协方差和相关系数。一、数学期望（均值）

数学期望的概念起源于赌博：分赌本问题：17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼已久的分赌本问题：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎，当甲赢了二次，乙只赢一次时，他们都不愿再赌下去，问赌本应如何分呢？第三节随机变量的数字特征定义：设离散随机变量X的分布列为P（X=xi）=P（xi），i=1，2，…，n，则E（X）=∑xiP(xi)为X的（或分布的）数学期望。【例6】某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人员按他的经验认为，一箱货物按期无损地运到目的地有60%的把握，不按期到达占20%，货物有损占10%，不按期又有损的占10%。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得多少？

E＝10*0.6-2*0.2-5*0.1-16*0.1＝3.5第三节随机变量的数字特征定义：设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则E(x)=∫+∞-∞xf(x)dx为X的数学期望。连续型随机变量X的数学期望E（X）是在连续场合下的一种加权平均，权数就是密度函数。从分布观点看，数学期望是分布的中心位置，它是分布的位置特征。第三节随机变量的数字特征几个常见的随机变量期望和方差见下表：期望方差0-1分布pp(1-p)二项分布npnp(1-p)泊松分布λλ正态分布μσ2第三节随机变量的数字特征二、方差和标准差

方差是概率分布（也是随机变量）的最重要、最常用的特征数之一，在金融中降低风险、在生产中提高产品质量、在测量中提高精度等都是通过减少方差表现出来的。方差是反映随机变量波动程度的一个量，一般定义为：Var(X)=E(X-EX)2若X为离散型随机变量，则Var(X)=∑(xi-EX)2Pi若X为连续型随机变量，则Var(X)=∫+∞-∞(x-EX)2f(x)dx第三节随机变量的数字特征在计算方差时，一个常用的简化公式是：Var(X)=EX2-（EX）2【例7】假定在英语考试中每题有4个答案可供现在，其中只有一个是正确的，如果答对得3分；答错扣1分；不答为零分。设你对该题的回答无把握，问你是选择回答还是不回答？第三节随机变量的数字特征三、协方差和相关系数协方差是反映两个随机变量相互之间的关系，定义为：COV（X，Y）=E〔（X-EX）（Y-EY）〕=E（XY）-E（X）E（Y）若X与Y独立，E（XY）=E（X）E（Y）则COV（X，Y）=0定义：设Var（X）＞0，Var（Y）＞0，称ρxy=COV（X，Y）/√Var(X)Var(Y)为两个随机变量X与Y的线性相关系数，简称相关系数。第四节独立随机变量和（差）的均值和方差一、数学期望的性质若C是常数，则E（C）=C若C是常数，则E（CX）=CE（X）E（X+Y）=E（X）+E（Y）最一般地，E（a1X1+a2X2+…+anXn)=∑aiE(Xi)设X、Y相互独立，则E（XY）=E（X）E（Y）可推广到n个随机变量相互独立E（X1X2…Xn）=E（X1）E（X2）…E（Xn）第四节独立随机变量和（差）的均值和方差二、方差的性质若C是常数，则Var（C）=0若C是常数，则Var（CX）=C2Var（X）设X、Y相互独立，则Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）

可推广到n个随机变量相互独立Var（a1X1+a2X2+…+anXn)=∑ai2

Var(Xi)第四节独立随机变量和（差）的均值和方差【例8】一产品由两个独立的部分组成，每部分的中立（吨）X和Y分别服从正态分布N（16，42）和N（25，52）。问该产品重量超过28吨的概率有多大？

W＝X＋Y，E（W）＝E(X)+E(Y)=41Var（W）＝Var(X)+Var(Y)=41第四节独立随机变量和（差）的均值和方差【例9】某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60～84分之间的概率。表中Φ(X)是标准正态分布函数。X00.51.01.52.02.53.0Φ(X)0.50.6920.8410.9330.9770.9970.999解：设考生的外语成绩为X，X～N(μ,σ2)第五节中心极限定理中心极限定理是概率论中最著名的结论之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率分布的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实。设X1，X2，

…

，Xn独立同分布，其中E（Xi）=μ，Var(Xi)=σ2,记X=（X1+X2+…+，Xn）/n，则有X～N（μ，σ2/n)且（X-μ）/σ√n～N（0，1)。第五节中心极限定理定理表明：当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。当总体是正态分布时，从该总体中抽取n个个体，用这n个个体的指标的平均值来估计总体指标的均值；当n很大时，样本平均值围绕总体均值波动，且随n增大波动逐渐减少。当总体不是正态时，当n≥30时，样本平均数近似服从正态分布。第五节中心极限定理

独立同分布定理表明：当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。设X1，X2，

…

，Xn独立同分布，其中E（Xi）=μ，Var(Xi)=σ2,记X=（X1+X2+…+，Xn）/n，则有X～N（μ，σ2/n)且（X-μ）/σ√n～N（0，1)。这一步是对的。请同学思考为什么？解：假设出事人的个数为X,则X～B(n,p)E(X)=np=500000*4×10-5＝20D(X)=npq=20*(1-4×10-5)＝20，√20＝4.47赔钱概率P{X>=50}=1-P{X<50}=1-P{(X-20)/4.47<=30/4.47}=1-Φ(6.71)=0赚600概率P{X<=20}=P{(X-20)/4.47<=0}=Φ(0)=0.5第五节中心极限定理【例