人教版八年级数学下册 （勾股定理的逆定理）勾股定理教育课件

勾股定理的逆定理

1、理解勾股定理的逆定理。2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。学习目标学习目标1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3.利用勾股定理逆定理解决实际问题重点运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。难点勾股定理逆定理的证明。探索与思考已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．bacABC分析：1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠B=______°2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。3.如果△ABC____△A’B’C’，则△ABC是直角三角形。90≌bacA’B’C’AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？∵32+42=52，∴满足.a2+b2=c2新知讲解命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。猜想：这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。

2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。命题2是正确的吗？你能试着证明吗？利用勾股定理逆定理判断直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？1）a=15，b=8，c=172）a=13，b=14，c=15解：∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证一证:新知讲解证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.则ACaBbc新知讲解定理与逆定理一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。判断勾股数下列各组数中是勾股数的为（

）A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9【详解】解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．新知讲解根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

例2：某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？RSQPEN解：根据题意画图，如图所示：PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30。∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°。由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。

∴∠RPS=45°，即“海天”号沿西北方向航行。RSQPEN利用勾股定理逆定理判断直角三角形

例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．

解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.新知讲解利用勾股定理逆定理解决实际问题如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

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QR12

同学们，再见勾股定理的应用

1．学会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题．2．能熟练将实际问题转化为数学模型进行计算．波平如镜一湖面，半尺高处出红莲．婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲．请你动动脑筋看，湖水在此多深浅．这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题：上面的问题可以归结为：如图，AC长为0.5尺，BC长为2尺，OA＝OB，求OC长为几尺．请你解答这个问题．ACOB解：OA＝OB＝OC＋0.5，在Rt△OBC中，根据勾股定理，OB2＝OC2＋BC2，即(OC＋0.5)2＝OC2＋22，OC＝3.75．所以OC长为3.75尺．应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？AB（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条

路线最短？ABABAB

方案①

方案②

方案③（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？

你画对了吗？ABABAB∵两点之间线段最短，∴方案③的路线最短．（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是

多少？

ABC高12cm，底面周长18cm．求立体图形中最短路径问题的一般步骤：（1）展平：将立体图形表面展开为平面图形，只需展开包含相关点的面（可能存在多种展法）．（2）定点：确定相关点的位置．（3）连线：连接相关点，构造直角三角形．（4）计算：利用勾股定理求解．例1如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅楼8m（车尾AE距住宅楼墙面CD）处，升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17m，云梯底部距地面的高AE＝1.5m，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.

根据勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），

∴BC＝15m．∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5m．例2有一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好建到A点的正上方B

点，问梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）ABABA′B′解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB′为梯子的最短距离．AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），A′B′＝5m，由勾股定理，得AB′2＝

AA′2＋

A′B′

2

＝122＋52

＝169．所以AB′＝13．即梯子最短需13m．AB展开利用勾股定理解应用题的三步骤123根据题意，画出图形分析题目中的数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图形中在适当的直角三角形中应用勾股定理进行计算或建立等量关系，列出方程，解决问题勾股定理应用的常见类型1．已知直角三角形的任意两边求第三边；2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；4．求解几何体表面上的最短路径问题；5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、

生活中的实际问题．

ABB2．有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树

的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8mB．10mC．12mD．14m3．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当

他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为_____m．B124．如图，学校有一块长方形花园，有极少数