人教版九年级数学下册 （相似三角形的判定）相似教学课件

相似三角形的判定

复习回顾全等三角形的判定相似三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL三边成比例的两个三角形相似．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．定义法预备定理复习回顾相似三角形的判定“A”型

“X”型DEABCABCDE

∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC相似三角形的（预备）定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.合作交流BCAC′B′A′在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′，求证△ABC∽△A′B′C′.判定定理BCAC′B′A′两角分别相等的两个三角形相似.几何语言：∵∠A=∠A′,∠B=∠B′

∴△ABC∽△A′B′C′.典例精析例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△

DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）.AFECBD典例精析例2

如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P,

求证:PA·PB=PC·PD.证明:连接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角∴∠A=∠D同理∠C=∠B∴△PAC∽△PDB∴即PA·PB=PC·PD巩固练习1.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC

,∠DAE=∠3+∠DAC，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，

∠E=180°－∠3－∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.

∴△ABC∽△ADE巩固练习2.如图，△ABC的三个顶点都在O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交O于点E，则与△ABD相似的三角形有（）A.3个B.2个C.1个D.0个B巩固练习3.如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°，BD是△ABC的角平分线.判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由.基本模型模型典例C模型典例D模型典例B课堂小结三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似.定义法平行于三角形一边的直线与其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.预备定理三边成比例的两个三角形相似．判定定理1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定定理2两角分别相等的两个三角形相似.判定定理3C′B′A′ABC作业布置1、全效2、学以致用在一次数学活动课上，为了测量河宽AB.学以致用在一次数学活动课上，为了测量河宽AB,小明采用了如下方法（如图）：从A处沿与AB垂直的直线方向走45米到达C处，插一根旗杆，然后沿同方向继续走15米到达D处，再右转90°走到E处，使B，C，E三点恰好在一条直线上.量得DE=20米，这样就可以求出河宽AB.请你说说理由，并算出结果.复习回顾相似三角形的判定C′B′A′ABC第二十七章相似27.2相似三角形相似三角形应用举例

1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.(重点)2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.(难点)上海中心大厦四川乐山大佛黄河今天我们就来学习利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.知识点1建筑物高度测量

例1

据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴=134(m).因此金字塔的高度为134m.表达式：物1高：物2高=影1长：影2长

测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.方法总结：

小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米

C.90米

D.80米A知识点2河流宽度的测量

例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ。解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.∴即

，,

PQ×90=（PQ+45）×60.

解得PQ=90（m）.因此，河宽大约为90m.

测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.方法总结：如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为

m.ABEDC20知识点3有遮挡物问题

例3如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.

由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E

与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.即解得：EH=8（m)

已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度.

而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.

又∵CD=7cm，∴AB=21cm.由题意和图易知25-2x=21,∴x=2(cm).∴此零件的厚度为2cm.练习1在某一时刻，测得一根长为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度为多少？x=54m解:设这栋高楼的高度为x.练习2如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.

练习3

如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2