环保工程师-公共基础-高等数学-概率与数理统计

环保工程师-公共基础-高等数学-概率与数理统计[单选题]1.设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是()。[2017年真题]A.B.C.B＋AD.A（B＋C）正确答案：B参考解析：若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容或互斥，记作AB＝∅。A项，由图1-7-1（1）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为A。B项，由图1-7-1（2）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为∅，与事件A互斥。C项，由图1-7-1（3）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为A。D项，A（B＋C）与A相交为A（B＋C）。图1-7-1（1）图1-7-1（2）图1-7-1（3）[单选题]2.设有事件A和B，已知P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，且P（A|B）＝0.8，则下列结论中正确的是()。[2016年真题]A.A与B独立B.A与B互斥C.B⊃AD.P（A∪B）＝P（A）＋P（B）正确答案：A参考解析：条件概率的计算公式为：P（A|B）＝P（AB）/P（B），代入数据，解得：P（AB）＝0.56＝P（A）P（B），所以事件A和B相互独立。[单选题]3.设A与B是互不相容的事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子一定成立的是()。[2014年真题]A.P（A）＝1－P（B）B.P（A｜B）＝0C.P（A｜）＝1D.P（）＝0正确答案：B参考解析：A与B是互不相容的事件，则P（AB）＝0，所以P（A｜B）＝P（AB）/P（B）＝0。[单选题]4.已知事件A与B相互独立，P（）＝0.4，P（）＝0.5，则P（A∪B）等于()。[2018年真题]A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9正确答案：C参考解析：因为A、B相互独立，得P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝（1－0.4）＋（1－0.5）－（1－0.4）×（1－0.5）＝0.8。[单选题]5.设A、B为两个事件，且，，，则等于()。[2019年真题]A.1/9B.2/9C.1/3D.4/9正确答案：B参考解析：设A、B为两个事件，P（A）＞0，则称P（B|A）＝P（AB）/P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的概率。因此，P（AB）＝P（A）P（B|A）＝P（B）P（A|B），P（A|B）＝P（A）P（B|A）/P（B）＝（1/3）×（1/6）/（1/4）＝2/9。[单选题]6.设事件A、B互不相容，且P（A）＝p，P（B）＝q，则等于()。[2012年真题]A.1－pB.1－qC.1－（p＋q）D.1＋p＋q正确答案：C参考解析：由德摩根定律有：再由事件A、B互不相容得：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝p＋q。因此，[单选题]7.三个人独立地去破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为1/5，1/3，1/4，则这份密码被译出的概率为()。[2011年真题]A.1/3B.1/2C.2/5D.3/5正确答案：D参考解析：设这三个人独立译出密码的概率分别为：P（A）＝1/5，P（B）＝1/3，P（C）＝1/4，三个事件独立，则：P（A∪B∪C）＝1－P（）＝1－P（）P（）P（）＝1－（4/5）（2/3）（3/4）＝3/5。[单选题]8.设随机变量X的概率密度为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数，则P{Y＝2}＝()。[2011年真题]A.3/64B.9/64C.3/16D.9/16正确答案：B参考解析：Y～B（3，P），故[单选题]9.设事件A、B相互独立，且P（A）＝1/2，P（B）＝1/3，则P（B|A∪）等于()。[2010年真题]A.5/6B.1/6C.1/3D.1/5正确答案：D参考解析：由条件概率公式得：又A、B相互独立，从而得：P（A∪）＝P（A）＋P（）－P（A）＝1/2＋2/3－（1/2）×（2/3）＝5/6。P（AB）＝（1/2）×（1/3）＝1/6，从而得：P（B|A∪）＝1/5。[单选题]10.设随机变量X的分布函数为则数学期望E（X）等于()。[2018年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由分布函数计算概率密度为：因此，数学期望为：【说明】设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为：[单选题]11.设（X，Y）的联合概率密度为则数学期望E（XY）等于()。[2014年真题]A.1/4B.1/3C.1/6D.1/2正确答案：A参考解析：由于原式代入，解得：k＝2。[单选题]12.设X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn都是来自正态分布X～N（μ，σ2）的样本，并且相互独立，与分别是其样本均值，则服从的分布是()。[2014年真题]A.t（n－1）B.F（n－1，n－1）C.χ2（n－1）D.N（μ，σ2）正确答案：B参考解析：设X、Y相互独立，且X～χ2（n1）、Y～χ2（n2），则称F＝（X/n1）/（Y/n2）服从F分布，记作F～F（n1，n2）。本题中，且相互独立，所以服从F（n－1，n－1）分布。[单选题]13.下列函数中，可以作为连续型随机变量的分布函数的是()。[2013年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：根据分布函数F（x）的性质，有：可知AC两项错误；又因为是连续型随机变量的分布函数，故H（x）必须单调不减，D项错误。[单选题]14.某店有7台电视机，其中2台次品。现从中随机地取3台，设X为其中的次品数，则数学期望E（X）等于()。[2016年真题]A.3/7B.4/7C.5/7D.6/7正确答案：D参考解析：随机变量X的取值为0、1、2，则相应的概率分别为：故E（X）＝0×2/7＋1×4/7＋2×1/7＝6/7。[单选题]15.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则常数a、b应满足的条件是()。[2017年真题]A.ab＝－1/2，且a＞0，b＜0B.ab＝1/2，且a＞0，b＞0C.ab＝－1/2，且a＜0，b＞0D.ab＝1/2，且a＜0，b＜0正确答案：A参考解析：由题意可得：分析知只有当a＞0，b＜0时，该积分可解，则有[0＋1/（2a）]·（0－1/b）＝－1/（2ab）＝1，解得：ab＝－1/2[单选题]16.若二维随机变量（X，Y）的分布规律为：且X与Y相互独立，则α、β取值为()。[2018年真题]A.α＝1/6，β＝1/6B.α＝0，β＝1/3C.α＝2/9，β＝1/9D.α＝1/9，β＝2/9正确答案：C参考解析：根据题干表中数据算得边缘分布率为：因为X与Y相互独立，所以P{X＝2，Y＝1}＝P{X＝2}P{Y＝1}，得1/9＝（1/9＋α）×（1/3），计算得α＝2/9。同理，P{X＝3，Y＝1}＝P{X＝3}P{Y＝1}，得1/18＝（1/18＋β）×（1/3），计算得β＝1/9。[单选题]17.若随机变量X与Y相互独立，且X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为3的指数分布，则数学期望E（XY）的等于()。[2012年真题]A.4/3B.1C.2/3D.1/3正确答案：D参考解析：X与Y独立，E（XY）＝E（X）E（Y）。又X在[a，b]上服从均匀分布，E（X）＝（a＋b）/2，即有E（X）＝1。当Y服从参数为λ的指数分布时，E（Y）＝1/λ，即有E（Y）＝1/3，故E（XY）＝E（X）E（Y）＝1/3。[单选题]18.设随机变量X和Y都服从N（0，1）分布，则下列叙述中正确的是()。[2011年真题]A.X＋Y服从正态分布B.X2＋Y2～χ2分布C.X2和Y2都服从χ2分布D.X2/Y2～F分布正确答案：C参考解析：当X～N（0，1）时，有X2～χ2，故C项正确；ABD三项，χ2分布与F分布都要求X与Y独立。[单选题]19.设是参数θ的一个无偏估计量，又方差D（）＞0，则下列结论中正确的是()。[2017年真题]A.（）2是θ2的无偏估计量B.（）2不是θ2的无偏估计量C.不能确定（）2是还是不是θ2的无偏估计量D.（）2不是θ2的估计量正确答案：B参考解析：若E（）＝θ则称是θ的无偏估计量。由D（）＞0可得D（）＝E（2）－E2（）＞0，即E（2）＞E2（）＝θ2，所以（）2不是θ2的无偏估计量。[单选题]20.设总体X～N（0，σ2），X1，X2，…，Xn，是来自总体的样本，则下面结论中正确的是()。[2016年真题]A.2不是σ2的无偏估计量B.2是σ2的无偏估计量C.2不一定是σ2的无偏估计量D.2不是σ2的估计量正确答案：B参考解析：若E（）＝θ则称是θ的无偏估计量。样本X1，X2，…Xn与总体X同分布，Xi～N（0，σ2），故2是σ2的无偏估计量。[单选题]21.设总体X服从均匀分布U（1，θ），，则θ的矩估计为()。[2019年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：均匀分布U（a，b）的概率密度为：，则当1≤x≤θ时，期望，用替换E（X），解得：。[单选题]22.设x1，x2，…xn是来自总体N（μ，σ2）的样本，μ，σ2未知，则检验假设H0∶μ＝0时应选取的统计量是()。[2012年真题]A.B.C.D.正确答案：A参考解析：当σ2未知时检验假设H0∶μ＝μ0，应选取统计量为：所以选取的统计量为：[单选题]23.设A，B是两个事件，P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，则当P（A∪B）为最小值时，P（AB）＝()。[2011年真题]A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：C参考解析：由于P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），当P（A∪B）为最小值时，P（AB）为最大值，此时P（AB）＝0.3。[单选题]24.设事件A与B互不相容，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论正确的是()。A.P（A｜B）＝P（A）B.P（A｜B）＝0C.P（AB）＝P（A）P（B）D.P（B｜A）＞0正确答案：B参考解析：因为事件A与B互不相容，所以P（AB）＝0，又因为P（A）＞0，P（B）＞0，所以P（AB）＝P（B）·P（A｜B），由P（AB）＝0，P（B）＞0易得P（A｜B）＝0。[单选题]25.将3个球随机地放入4个杯子中，则杯中球的最大个数为2的概率为()。A.1/16B.3/16C.9/16D.4/27正确答案：C参考解析：把3个球放到4个杯子，每个球都有4种方法，共43种放法。杯中球的最大个数为2的放法为：从4个杯子中选两个杯子，从3个球中取2球放入其中的一个杯子，剩下的一个球放入到另外的一个杯子中，共有2C32C42＝36种放法。根据古典型概率，杯中球的最大个数为2的概率为：36/43＝9/16。[单选题]26.已知随机变量X服从二项分布，且EX＝2.4，DX＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()。A.n＝4；p＝0.6B.n＝6；p＝0.4C.n＝8；p＝0.3D.n＝24；p＝0.1正确答案：B参考解析：依题意得X～B（n，p），于是EX＝np，DX＝np（1－p），于是可得方程组：解得：n＝6，p＝0.4。[单选题]27.设随机变量X的概率密度为则P（0≤X≤3）等于()。A.1/3B.2/3C.1/2D.1/4正确答案：B参考解析：由题得：[单选题]28.设随机变量X的密度函数为f（x），且f（－x）＝f（x），F（x）是X的分布函数，则对任意实数a有()。A.B.C.F（－a）＝F（a）D.F（－a）＝2F（a）－1正确答案：B参考解析：已知f（－x）＝f（x），当a≥0时，当a＜0时，[单选题]29.设随机变量X的二阶矩存在，则()。A.E（X2）＜E（X）B.E（X2）≥E（X）C.E（X2）＜（EX）2D.E（X2）≥（EX）2正确答案：D参考解析：由于D（X）＝E（X2）－（EX）2≥0，故E（X2）≥（EX）2。AB两项对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立。例如，随机变量X在区间[0，1]上服从均匀分布，则E（X）＝1/2，D（X）＝1/12，E（X2）＝D（X）＋E2（X）＝1/12＋1/2＝1/3＜1/2＝E（X），A项成立，此时B项不成立。又如X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2，E（X2）＝σ2＋μ2，取σ≥μ＝1/2，则E（X2）≥2μ2＝2×（1/4）＝1/2＝E（X），即B项成立，此时A项不成立。[单选题]30.设总体X的概率分布为：其中θ（0＜θ＜1/2）是未知参数，利用样本值3，1，3，0，3，1，2，3，所得θ的矩估计值是()。A.1/4B.1/2C.2D.0正确答案：A参考解析：根据题意，总体X的期望为：E（X）＝2θ（1－θ）＋2θ2＋3（1－2θ）＝3－4θ，利用样本值可得到其平均值为：（3＋1＋3＋0＋3＋1＋2＋3）/8＝2由：解得：[单选题]31.设总体X的概率密度为其中θ＞－1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，则θ的矩估计量是()。A.1B.（2－1）/（1－）C.2D.－1正确答案：B参考解析：矩估计中用样本均值X作为总体参数E（X）的无偏估计量，即：因此，[单选题]32.设总体X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），检验假设H0：σ12＝σ22；H1：σ12≠σ22；α＝0.10，从X中抽取容量为n1＝12的样本，从Y中抽取容量为n2＝10的样本，算得s12＝118.4，s22＝31.93，正确的检验方法与结论是()。A.用t检验法，临界值t0.05（17）＝