步入七年级话几何

PAGEPAGE3步入七年级话几何河北艾荣增董运河同学们，当你满怀喜悦的心情跨入初中校园的时候，你已告别儿童时代的小学，成为一名中学生了．又当你第一次手捧七年级数学课本（北京师范大学出版社），首先映入眼帘的是一幅幅多姿多彩的几何图形，对于这些既迷人又似曾相识的几何图形，你一定会与小学阶段的图形联系起来，与日常生活中所见图形联系起来，你一定很想知道这些图形的形成过程，和其中的一些奥秘，本文中蚂蚁的“表演”会让你在有趣惊叹之中如愿以偿．一、聪明的蚂蚁ABB1C1D1ABB1C1D1A1CD图1E沿直线到达顶点C1．同学们想一想，在正方体的侧面上，从A到C1的路径AE+EC1是侧面上的最短路径吗？AEFAEFCDGB图2但在空间图形中，这个事实结论却无能为力．然而我们是否可以作一个实验：ABABCC1B1C1D1A1CD图3E然后将矩形对折后（使CF与GA重合），再将折叠后的两个正方形绕折痕ED转动，使∠AEF=∠GDC=，这两个正方形组成的空间图形中的AB+BC=AC，不正是图1中蚂蚁爬过的路径吗？因此，聪明的蚂蚁在正方体的表面上爬过的路径最短（如图3中的AC1）．上述矩形纸片折叠成正方体的两个相邻侧面的试验方法给了我们什么启示：将正方体的一些棱剪开后，可将正方体的侧面展在同一个平面内；空间图形侧面上的最短路径问题仍可化为我们熟悉的平面问题来解决．想一想：1图1中正方体的侧面上从A到C1的最短路径还有哪些？2圆柱、圆锥侧面上两点间的最短路径怎么样画出？二、蚂蚁觅食的联想图4图6图5在上述图1中，蚂蚁可以用四种不同的最短路径从A到C获取食物图4图6图5图4是一个正方体的侧面展开图．其按顺时针方向转动，就是图5；将图5再顺时针旋转又是图6．若规定，将一图7个展开图无论怎样旋转，翻动后，仍可视为同一个图形，那么图4、图5、图6是同一个图形，在此约定下，正方体的侧面展开图有以下几种情形：１.开图中的六个正方形排成两排，只有一种情形如图7．图7图8２.小正方形分成上、中、下三排，又可成分以下三类：图8①当中间一排有4个小正方形时，图形有6种，如图8；②当中间一排有3个小正方形时，图形有3种，如图9；③当中间一排有2个小正方形时，图形仅有1种，如图10；图10图9图10图9由此得正方体侧面展开图共有11种．想一想做一做：上述11种情形，正方体侧面展开图是如何展开的？反之，怎样的六个大小相同的正方形拼接才能成为正方体的侧面展开图？三、蚂蚁智分蛋糕话说蚂蚁食品库存放着若干大小相同的正方体形状的蛋糕，蚂蚁王欲想把其中一堆摆放成几何形状的蛋糕分发给众蚁，但有一个条件：谁能答对蚁王提出的问题或圆满解决自己提出的问题，谁才能得到一块蛋糕．问题如下：⒈谁能尽快算出这堆蛋糕的个数，谁首先得到一块蛋糕．正视图A左视图B正视图A左视图B俯视图C图1112行近距离观察后发现，第一横排各码放2个和1个，如图C，于是它立即得到蛋糕的个数为12个．同学们想一想，这只蚂蚁能得到一块蛋糕吗？如果这只蚂蚁不细心观察第一横排码放的2个和1个蛋糕，只根据三视图A、B、C又能得到哪些答案呢？（写出两种即可）．⒉蚂蚁王取出一把平面形状的刀，对众蚁说，谁能一刀把一块正方体形的蛋糕分成完全相同的两部分，又可得到一块蛋糕，但前后不能重复同一种切法．有2只蚂蚁先后用平面刀将蛋糕切成了满足条件的两部分，图12⑴、图12⑵（阴影部分为截面），又有两只蚂蚁似乎胸有成竹，举起平面刀先后又将蛋糕切成图12⑶、图12⑷．⑴⑵⑶⑴⑵⑶⑷图12蚂蚁王将图⑴、图⑵分别按顺时针旋转后，果然分别就是图⑶和图⑷．⒊众蚁积极开动脑筋，更有一些同自己的伙伴讨论起来，试图找到与图⑴、图⑵不同的切法。图13一只蚂蚁走到蛋糕前，又观察片刻，找出正方体相对面的中心，拿起平面刀将蛋糕切成如图13的形状。众蚁测量比较后发现，这两块蛋糕的形状大小果然相同。同学们想一想：类似于图13的切法且蛋糕形状不同于图13的切法还有多少种？你能说明理由吗？图13图14切成图13形状的蚂蚁顺利得到了一块蛋糕，有一只善于总结规律的蚂蚁在观察图12⑴、图12⑵、图13的切法，试图再找到一种新的截面。它比较了这三个截面的特点，这些截面或是过某些棱的中点，或过某些顶点，但都过正方体的中心，它根据这三个截面的特点，果然发现了新的截面图14图14截面14的形状确实不同于图12、图13的截面，既不是正方形，也不是矩形，而是两组对边分别平行且相等的截面，这使众蚁又兴奋起来，还有其它形状的截面吗？图15图15一蚂蚁眼前一亮，有了，于是它找到了正方体六条棱的中点，操起平面刀，果然把正方体切成了大小相同的两部分（图1