甘肃省白银市会宁一中高三上学期第三次月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年甘肃省白银市会宁一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=｛x∈N｜x2+2x﹣3≤0｝，B=｛C|C⊆A},则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，则｜z｜=（）A．25 B．7 C．5 D．13．命题p：“非零向量，，若•＜0，则，的夹角为钝角”，命题q:“对函数f（x）,若f′（x0)=0,则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）4．等比数列{an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A． B．﹣ C．2 D．﹣25．已知非零向量，满足4｜｜=3｜｜,cos＜，＞=．若⊥（t+)，则实数t的值为()A．4 B．﹣4 C． D．﹣6．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A． B． C． D．7．若一个α角的终边上有一点P（﹣4，a）且sinα•cosα=，则a的值为（)A．4 B．±4 C．﹣4或﹣ D．8．已知f(x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A． B． C． D．9．已知函数:y=anx2（an≠0，n∈N*)的图象在x=1处的切线斜率为2an﹣1+1（n≥2,n∈N＊）,且当n=1时其图象过点（2,8）,则a7的值为（）A． B．7 C．5 D．610．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间［﹣3,2]上的任意x1,x2都有|f（x1）﹣f（x2）｜≤t,则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．011．已知f（x）=则f(﹣2016）的值为（）A．810 B．809 C．808 D．80612．f（x），g（x)（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x)g（x)＜f（x）g′（x)，且f（﹣3）=0，＜0的解集为（）A．（﹣∞,﹣3）∪(3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3) C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题:本大题共四小题，每小题5分．13．若tan(α+）=2,则sin2α的值为．14．定义行列式运算:=a1a4﹣a2a3．若将函数f（x)=的图象向左平移m（m＞0）个单位后,所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f(+x）=﹣f（﹣x），若f（1）=2，则f(2）+f（3)=．16．已知函数f（x)=｜x﹣2|+1,g(x）=kx．若方程f（x）=g(x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知=（2cosx+2sinx，1）,=（y，cosx），且∥．（1）将y表示成x的函数f（x），并求f(x)的最小正周期；（2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若f（B）=3，•=,且a+c=3+，求边长b．18．设函数f(x）=x3﹣x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=1．（1)求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间;（3）设已知函数g（x）=f（x)+2x，且g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A,B（假设A,B,C，D在同一水平面上)，且AB=80米，当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号）20．设数列{an｝的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．（Ⅰ)求证:{lgan｝是等差数列；(Ⅱ)设Tn是数列｛}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn＞（m2﹣5m）对所有的n∈N＊恒成立的整数m的取值集合．21．已知函数f(x）=x﹣1﹣alnx(其中a为参数）．（1)求函数f（x）的单调区间;（2）若对任意x∈（0，+∞)，都有f（x）≥0成立,求实数a的取值集合；（3)证明：(1+)n＜e＜（1+）n+1（其中n∈N*，e为自然对数的底数）．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．［选修4—4:极坐标系与参数方程］22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．［选修4-5：不等式选讲］23．（1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a,b，c都是正数，求证：≥abc．

2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高三(上）第三次月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=｛x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B=｛C｜C⊆A｝，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案．【解答】解：∵集合A=｛x∈N|x2+2x﹣3≤0｝={x|﹣3≤x≤1，x∈N｝={0，1｝，B=｛C|C⊆A｝，故集合B中元素的个数为22=4；故选C．2．已知i为虚数单位,复数z满足iz=3+4i，则|z｜=（)A．25 B．7 C．5 D．1【考点】复数求模．【分析】复数两边直接求模，即可得到结果．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，|iz｜=｜3+4i|==5．则|z|=5．故选:C．3．命题p：“非零向量，，若•＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′(x0)=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q） D．（￢p)∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：当向量，的夹角为180°时，•＜0，∴非零向量，,若•＜0,则，的夹角不一定为钝角,命题p是假命题；关于命题q:譬如函数y=x3，它的导数在x=0时为0，但x=0不是它的极值点，∴命题q是假命题，故￢p是真命题，￢q是真命题，故选:D．4．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=()A． B．﹣ C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{an｝的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2,得,解得:．∴．故选：A．5．已知非零向量，满足4｜|=3||，cos＜，＞=．若⊥(t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】若⊥（t+）,则•（t+)=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4|｜=3｜|，cos＜,＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t｜|•｜｜•+|｜2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选:B．6．《张丘建算经》中女子织布问题为:某女子善于织布，一天比一天织得快,且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布,则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A． B． C． D．【考点】数列的应用．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，则30×5+d=390,解得d=，故选：D．7．若一个α角的终边上有一点P（﹣4，a)且sinα•cosα=,则a的值为（)A．4 B．±4 C．﹣4或﹣ D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义,结合sinα•cosα=，可得方程，解方程，即可求得a的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣4，a），∴sinα=,cosα=，∵sinα•cosα=,∴•=，∴3a2+16a+48=0∴a=﹣4或a=﹣故选：C．8．已知f（x）=x2+sin,f′（x）为f（x)的导函数，则f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f(x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数,得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣,）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解:由f（x)=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x)=x﹣sinx,它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,D．又f″（x)=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间(﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．9．已知函数:y=anx2(an≠0,n∈N＊）的图象在x=1处的切线斜率为2an﹣1+1（n≥2,n∈N＊），且当n=1时其图象过点（2,8），则a7的值为（）A． B．7 C．5 D．6【考点】数列递推式；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数,利用y=anx2（an≠0，n∈N＊)的图象在x=1处的切线斜率为2an﹣1+1，可得数列相邻项的关系，进而利用等差数列的通项公式可求a7的值．【解答】解：求导函数，可得y′=2anx,∵函数：y=anx2（an≠0,n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2an﹣1+1(n≥2,n∈N＊），∴2an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N＊）,∴an﹣an﹣1=（n≥2,n∈N＊），∵当n=1时其图象过点(2，8），∴8=4a1,∴a1=2∴数列{an}是以2为首项,为公差的等差数列∴a7=a1+6×=5故选C．10．函数f(x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2］上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】对于区间［﹣3,2］上的任意x1，x2都有|f(x1）﹣f(x2)｜≤t，等价于对于区间[﹣3，2］上的任意x，都有f（x）max﹣f(x）min≤t，利用导数确定函数的单调性,求最值，即可得出结论．【解答】解:对于区间［﹣3，2]上的任意x1,x2都有|f（x1）﹣f（x2)|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x)max﹣f（x）min≤t,∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′(x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在［﹣1，1］上单调递减∴f(x)max=f(2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f(﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f(x）min=20,∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选A．11．已知f(x）=则f（﹣2016)的值为（）A．810 B．809 C．808 D．806【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，利用递推法进行递推即可．【解答】解:∵f（﹣2016）=f(﹣2011）+2=f（﹣2006）+4=…=f（﹣1)+403×2=f（4)+404×2=808+sin（）=808+sin=808+1=809，故选B．12．f（x),g（x）（g(x)≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x）＜f（x）g′（x),且f(﹣3）=0，＜0的解集为（)A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞) B．（﹣3,0）∪（0,3） C．（﹣3,0）∪（3，+∞) D．(﹣∞，﹣3）∪(0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令h（x）=，利用f（x），g(x)（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,即可判断出h（x)的奇偶性,再利用导数即可得出h（x）的单调性．【解答】解：令h（x）=，∵f（x），g(x)（g（x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴h(﹣x）=，∴h（x）为R上的奇函数．∵当x＜0时,f′(x)g(x)＜f（x）g′（x)，∴＜0，∴h（x）在（﹣∞，0)上单调递减，又∵h（x)为R上的奇函数，∴h（x）在（0，+∞)上单调递减．当x＜0时,由f（﹣3）=0，由h（x）单调递减可得＜0的解集为{x|﹣3＜x＜0｝；当x＞0时，由f(﹣3）=﹣f（3）=0，由h（x）单调递减可得＜0的解集为{x｜3＜x}．综上可知:＜0的解集为｛x|﹣3＜x＜0，或x＞3}．故选C．二、填空题:本大题共四小题，每小题5分．13．若tan（α+）=2，则sin2α的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值可求tanα的值，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可化简所求，即可得解．【解答】解：∵tan（α+）==2，解得：tanα=，∴sin2α====．故答案为：．14．定义行列式运算：=a1a4﹣a2a3．若将函数f（x）=的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是．【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式,再根据正弦函数的图象的奇偶性求得m的最小值．【解答】解：将函数f（x）==sinx﹣cosx=2sin(x﹣)的图象向左平移m(m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为y=2sin（x+m﹣）为奇函数，∴m﹣=kπ，k∈Z，∴m的最小值为,故答案为：．15．设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f（+x）=﹣f（﹣x)，若f（1)=2,则f（2）+f(3）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由已知分析出函数的对称性，进而分析出函数的周期性，可得答案．【解答】解:∵函数f（x）满足对任意x∈R有f(+x）=﹣f（﹣x），∴函数f（x)的图象关于（，0)点对称，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数,∴函数f（x）的图象关于（0,0）点对称，∴函数f（x）的最小正周期为3，∴f（2）=f(﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f(3)=f(0)=0,故f（2)+f(3）=﹣2，故答案为:﹣2．16．已知函数f(x）=｜x﹣2｜+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作图，由临界值求实数k的取值范围．【解答】解：由题意，作图如图，方程f（x）=g（x)有两个不等实数根可化为函数f(x）=|x﹣2|+1与g(x）=kx的图象有两个不同的交点，g（x）=kx表示过原点的直线，斜率为k，如图,当过点（2，1）时，k=,有一个交点，当平行时，即k=1是，有一个交点，结合图象可得，＜k＜1；故答案为:．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知=（2cosx+2sinx，1)，=（y，cosx）,且∥．（1)将y表示成x的函数f（x)，并求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=3，•=，且a+c=3+，求边长b．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【分析】（1）利用向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式及其三角函数的周期计算公式即可得出．(2）由f（B）=3，利用（1）可得B=．再利用数量积运算可得,即ac=3．再利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB即可得出．【解答】解：（1）∵,∴==cos2x+sin2x+1=+1，即+1，∴=π．即f(x）的最小正周期为π．(2）由f（B）=3,得+1=3，化为=1，∴，只能取k=0，解得B=．∵•=,∴，∴，化为ac=3．联立，解得或由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB==3，∴．18．设函数f（x)=x3﹣x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b,c的值；（2）若a＞0，求函数f（x)的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g(x)在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)由切点坐标及切点处导数值为0，列一方程组，解出即可；(2)在a＞0的条件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；（3)g（x)在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，即g′(x）＜0在区间（﹣2，﹣1）内有解，由此可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x)=x2﹣ax+b．由题意得，即．所以b=0,c=1．（2)由(1）得f′（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）．当x∈(﹣∞，0）时,f′（x）＞0，当x∈(0，a）时，f′（x)＜0，当x∈（a,+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为(﹣∞，0）,（a，+∞）；单调减区间为（0，a）．（3）g′（x）=x2﹣ax+2，依题意，存在x∈（﹣2，﹣1），使不等式g′（x）=x2﹣ax+2≤0成立．当x∈（﹣2，﹣1）时,a≤x+≤﹣2，所以满足要求的a的取值范围是a≤﹣2．19．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）【考点】解三角形的实际应用；正弦定理；余弦定理．【分析】通过直角三角形求出BD，在△ABC中利用正弦定理求出BC,在△BCD中利用余弦定理求出CD,然后求出航模的速度．【解答】解、由条件可知∠ACB=45°，∠CBD=60°．…在△ABD中∵∠BAD=90°,∠ABD=45°，AB=80∴…在△ABC中∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=80根据正弦定理有即…在△BCD中∴，，∠CBD=60°根据余弦定理有==…所以航模的速度米/秒．…20．设数列{an｝的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．(Ⅰ）求证:{lgan｝是等差数列；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn＞（m2﹣5m)对所有的n∈N＊恒成立的整数m的取值集合．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（I）根据等差数列的定义即可证明｛lgan｝是等差数列;（Ⅱ）求出{｝的通项公式，利用裂项法即可求Tn；（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论．【解答】解：（I)∵a1=10,an+1=9Sn+10．∴当n=1时，a2=9a1+10=100，故，当n≥1时，an+1=9Sn+10①，an+2=9Sn+1+10②，两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，即an+2=10an+1，即，即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，则数列｛an}的通项公式；则lgan=lg10n=n，则lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1,为常数,即{lgan｝是等差数列;（Ⅱ）∵lgan=n,则=(﹣），则Tn=3(1﹣+…+﹣)=3（1﹣）=3﹣,（Ⅲ）∵Tn=3﹣≥T1=，∴要使Tn＞（m2﹣5m）对所有的n∈N＊恒成立，则＞（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，解得﹣1＜m＜6，故整数m的取值集合｛0,1，2,3，4，5}．21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx(其中a为参数)．(1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（0,+∞）,都有f（x）≥0成立，求实数a的取值集合；(3)证明：（1+）n＜e＜(1+）n+1（其中n∈N＊，e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】(1）求出f′（x)，x∈（0，+∞），再讨论a的取值范围,从而求出其单调区间；(2)求出f（x）极小值=f（a)=a﹣1﹣alna．由此求出a≥；(3）设数列an=（1+）n,数列bn=（1+)n+1，由(1+）x=e,得：an=e，bn=e．由已知条件推导出数列｛an｝单调递增且数列{bn}单调递减，由此能证明结论成立．【解答】解:（1）f′(x）=，x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞），当a＞0时，令f′(x）=0，得x=a，x∈（0，a）时，f(x)单调递减,x∈（a，+∞）时,f（x）单调递增；综上：a≤0时，f(x)在(0，+∞）上递增，无减区间，当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a）,单调递增区间为(a，+∞)；(2）由(1）得：f（x）极小值=f（a）=a﹣1﹣alna．∵对任意x∈(0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，∴f(x）极小值=f（a）=a﹣1﹣alna≥0．∴a≥≥,解得a=1，∴实数a的取值集合为{1｝．(Ⅱ）证明：设数列an=（1+）n，数列bn=(1+）n+1,由（1+）x=e，得:an=e，bn=e，因此只需证数列{an｝单调递增且数列{bn｝单调递减，①证明数列{an}单调递增：an=（1+）n＜（）n+1=an+1，∴数列{an}单调递增．②证明数列｛bn｝