应变推知位移的方法

结构变形分析近年来高空长航时(High-AltitudeLong-Endurance)无人预警机越来越受重视，这类飞机普遍具有大展弦比柔性机翼，机翼同时是一部长基线天线。图1大展弦比柔性机翼大展弦比柔性机翼在飞行载荷作用下，会产生很大的弯曲和扭转变形图2图2机翼变形示意图结构变形估计为保障机翼的安全性及机翼长基线天线的电性能，要求对机翼的变形进行实时测量，目前主要的实时测量方法有两种：一是模态法；二是Ko位移理论。模态法在仅考虑Y轴方向弯曲变形时，可以将机翼简化为悬臂梁，如图3所示，长为l，半径为c的圆截面悬臂梁。图3模态法应变测量点与位移示例xy图3模态法应变测量点与位移示例xy由结构动力学可知，对于分布参数系统，理论上需要采用偏微分方程描述其变形。但实际上，往往采用有限元方法对其离散化。将结构离散化后，整体结构有限元节点总数为NUE，在外载荷作用P下的变形y可以由下面的运动方程来描述。My+Cy+Ky=P式中，M，C，K，P分别表示结构的质量阵，阻尼阵，刚度阵以及外载荷向量。对于线性系统，可以由相应振型方程得各阶模态振型。（K-s2M）｛①｝=｛0｝式中，s表示结构固有频率；｛①｝表示结构模态振型向量。通过特征值和特征向量的求解，可得各阶模态振型如下所示。©1©1•••©112NUE①2©2•••©21••2••••NUE••①NUE©NUE•••©NUE12NUE^式中，®i表示第i阶固有频率所对应的模态振型向量；oj表示第i阶模态振型的第j个模态位移。根据模态叠加原理，结构的变形可以表示成NUE工

y=>①qiii=1结构位移模态反映的是结构的固有振型，应变是位移的一阶导数。因此，对应于每一阶位移位移模态，则必有其对应的固有应变分布，这种与位移模态相对应的固有应变分布状态称之为应变模态。中=D(①)式中，中,表示第i阶应变模态向量；①,表示第i阶位移模态向量；D表示位移到应变的线性微分算子。由应变模态的定义可知，结构在载荷作用下的变形所对应的应变分布也可以由各阶应变模态的线性组合来表示，且有相同的线性组合系数，即有相同的广义模态坐标｛0｝。取前n阶弯曲模态，在Xj处的测量应变ej可以表示为(6)j.=^中j.q.(6)i=1式中，中j表示第i阶应变模态在Xj处的分量。那么m个测量应变的矩阵形式如下'jj12中'jj12中11中21中12中22中1n中2nqq2|=[T] {q}mxn nx1条件下，人y1人y2①条件下，人y1人y2①11中21①12中22①1n中2nq1q2项{q}=[①]m[w])皿{e}Nxn nx1 mxn nxm^ mx1 V [dst]Nxm由模态分析得到［W］，由测量得到也｝］，在m>n时就可以求出｛q｝］，如下所{q}=

nx1（wk［中］）】前{q}=

nx1在求得前n阶弯曲模态所对应的广义模态坐标｛q｝，并且已知前n阶弯曲位移模态的所有参与评价位移估计精度的节点的估计位移就可以表示为简写为(10)｛y｝N广赢］nx,“｛七1(10)式中，N表示参与评价位移估计精度的节点总数。Ko位移理论从整个机翼来看，变形量很大，但是逐段分析发现，段内变形量仍是一个小量，并且满足线弹性假设。因此将整个梁沿X轴方向划分为多个小段，在每个小段上分别应用经典梁理论的线弹性小变形假设来推导位移。在测得第，段段首推和段尾牟+1位置的应变ej和ej+1之后，通过一次插值函数得到第j段内任意位置的应变(12)£(x)=e一G-e》~;A/=xe-xe；xe<x<xejj j+1 Al j j+1 jj+1 j(12)由欧拉-伯努利梁理论可知，梁表面的弯曲应变e（x）与梁变形后的扰度yG）之间的关系式为(x)(x)=-cdx2(13)由此，在已知第J段段首x；和段尾x；+1位置的转角七和扰度ye的条件下，通过一次积分得到第j段内任意点的转角#(x)TOC\o"1-5"\h\ztan0(x)-jx'2卜(X)dx+tan0篇x一°(X)dx+tan0e；Xe<X<Xe (14)梦dx2 j xe c jj j+1j j通过两次积分得到第j段内任意点的扰度.y(x)y(x)=jxtan0(x^x+ye=\xfx-!(x)dxdx+jxtan0edx+ye；xe<x<xe(15)xe j xexe C xe j jj j+1j jj j显然上述积分过程是一般意义上的积分过程，但是必须是在已知0e和ye的前提下，而jj这在没有完成第j-1段的转角和扰度的计算之前是未知的，即第j段的位移估计必须建立在第j-1段的基础上。另外，由悬臂梁的边界条件可知，在第1段内，转角0j=0，扰度ye=0，由此可知要完成整个梁的扰度估计，必须从第1段开始依次完成各个小段内的扰度估计，如此可得第j段内任意点的转角(16)tan0(x)=fx一^")dx+tan0e；xe<x