重难点专题14 导数压轴小题十四大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

题型1恒成立问题之直接求导型 1题型2恒成立问题之分离参数型 7题型3恒成立问题之隐零点型 题型4恒成立问题之洛必达法则 ◆类型1同变量型 ◆类型2不同变量型 ◆类型3函数相等型 题型10函数凹凸性问题 题型11倍函数问题 题型13嵌套函数问题 题型1恒成立问题之直接求导型无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的,若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立，则a的取值范且当xo=1时，0=lna-2⇔a=e²x0+7x3+07,,所以的最大值为则m(a)<m(2)=e²-3e=e(e-3)<题型2恒成立问题之分离参数型【详解】不等式xe*+1-x≥1nx+2m+3对Vx∈(0,+o)恒成立，即xe*+1-x-lnx≥A.AB.BC.CD.DA.AC.CBBDD12,解决.故h(x)=2x²e²x+lnx在(0,+o)上单调递增，且h(1)=2e²>0,,故m+2≤2,解得m≤0.题型3恒成立问题之隐零点型划重点划重点【例题3】(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知函数,g(x)=【答案】[0,+],【详解】解：设f(x)=ex-a-lnx-a(x>0),则f(x)≥0对一切正实数x恒成立，即范围.题意.所以m(x)>m(0)=0,即e×>x+1,,(1)恒成立：Vx∈D,f(x)>0⇔f(x)min>0;Vx∈D,f(x)<max(2)能成立：3x∈D,f(x)>0⇔f(x)max>0;3x∈D,f(x)<0⇔f(x)min<0.(2)能成立：a>f(x)⇔a>f(x)min;a<f(x)⇔a<f(x)max.2,g'(x)≥0,则g(x)在[1,+]上单调递增,令h(x)=x³-x-2xlnx,可得h'(x)=3x²-1-2lnx-2=3x²-2lnx-3,【解析】将条件(a-1)x²+1<e×-x对Vx>0恒成立转化为对Vx>0有【详解】将条件(a-1)x²+1<e×-x对Vx>0恒成立转化为是()g(x)>0,g(x)在(0,单调递增，划重点划重点(3)若3x₁∈[a,b],3x₂∈[c,d],◆类型1同变量型则m'(x)=e*-1,,其中x>0,取m=e²∈(7,8),φ(e²)=8-e²>0,(2.7<e<2.8,∴7<2.7²<e²<2.8²<8),.和>1讨论，利用【详解】因,所以f'(x)=ax²+bx+c,f"(x)=2ax+b,即g(x)=2ax+b.(b-2a)x+c-b≥0恒成立，所以△=(b-2a)²-4a(c-b)≤0且a>0,即b²≤4ac-类型2不同变量型小值为(),即xo=-lnx₀).,利用,(x>0),令f'(x)>0,解得0<x<e;令f'(x)<0,解得x>e,故答案为：[2,+]所以有-a>a+1,得,故a的取值范围类型3函数相等型51A.0,B.DD(-1,+0),则a=0,图象对称轴,在x>0C.CD.D,满足条A.f(x₁)<g(x₁)B.2x₁Inx令h(x)=e*-x-1(x>0),则h(2x₁)=2h(Inx₂),且h'(x)=e×-1>0在(0,+)上恒成所以h(2x1)=2h(Inx₂)>h(Inx₂),即h(2x1)>Inxx²+2x+a-8ln(x+1),x∈(0,3),题目条件可转化为函数p(x)在(0,3)上有两个零故选B项.题型6恒成立问题之构造函数划重点划重点数值的大小，CDCDa的取值范围是(-9,+o).则实数a的取值范围是()..A.B...∵f(2021)>0,·设0<a<2021<b,题型7零点问题划重点划重点键【变式7-1】1.(2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-k|x+2|有三个零点，则实数k的取值范围是()k的值，利用数形结合思想可求得k的取值范围.如图所示，(3)导数即为切线斜率的几何应用；(4)数形结合的思想的应用.A.1,eeB.ee,eeC.ee,+00D.ee,+oo范围.,其中x>0,所以,a²+b²的最小值之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想. 上有2个解，取得极大值，也是最大值，,求导,令φ'(x)=0,解得x=e由图象可知，满足条件，【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.划重点划重点②比商型，如ea<b可以同构,进而构造函Inb'CC所以函数f(x)=x·3*在(0,+)为增函数，A.-1B.范围为()可知该函数在R上为增函数，由此可得出lna≥ln(t-1)-t,利用导数求出h(x)=,利用导数,题型9整数解问题A.AB.BC.)D.f(1)<g(1)f(3)≥g(3),且f(6)=f(2),答案.【详解】解法1(全分离):解法2(半分离):故选D,由g'(x)=0,可(舍),A.ACCB.BDx>e时g'(x)<0,即g(x)递减，值域为(0,;题型10函数凹凸性问题划重点,所22,,,此题无解，,,lnm-e"≥m-n-2,1nm-m≥e"题型11倍函数问题划重点划重点范围为(),,即实数L的取值范围f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围kx的两个根，转化为13有两个根，,用导数法求解.【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，所以a,b是方程e×+3x=kx的两个根，显然x=0不是方程的根，,所以实数k的取值范围是(e+3,+oo),【变式11-1】2.(2022·全国·高三专题练习)如果存在x₁,x₂∈[a,b]且x₁≠x₂,使,(减函数)是否有解.【详解】①函数f(x)=x²(x≥0)为增函数，若函数f(x)=x²(x≥0)存在“倍值区则则,(参考公式及数据：1²+2²+3²+…+n²= =(3×1²-3×1+1)+(3×2²-方法一：同理有c1o>C₁₁>Ciz>…,小王最想购买第10层住宅.,(x≥1),.题型12二次型函数问题划重点【例题12】(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)已知函数f(x)=tttttttt,令f(x)=t,要想关于x的方程有6个不同的实数解，函数值为负，据此转化为只需f(x)=t,t有两个不同的符合条件的值，可使得原方程有64个根，其次方程t²-2nt+=0要有两个位于4方程系数进行分析得出n的范围是第二个关键点.方程[f(x)]²+af(x)-1=0有3个不同的实数根，则a的取值范围为有3个不同的实数根，转化为t²+at-1=0必有时，设h(m)=m²+am-1,则h(3)<0,得所以,解得4又因为5,所以整数m的值为5,,,,或对应，取-1<t₂<0,,有y∈(-,-4),题型13嵌套函数问题划重点划重点即h'(x)>0=即h'(x)>0=或b=0,有2个根，在t>1时，有1个根；0<t≤1时，有2个根，,有2个根，,有1个根，当A.(4-2ln2,+)B.[1+√e,+o]C.[4-2ln2,1+√e]D.得范围.实数解.图3再作出直线y=a,则方程f(f(x))=a有两个不等实根，当且仅当直线y=a与函数y=且x₂+1=ee⁴-1且x₂+1=ee⁴-1,In2≤x<1,题型14切线放缩法【例题14】(2022高三专题练习)已知a,b∈R,若关于x的不等式2x-alnx+a-b≥0恒即得所求.当a=0时不等式为2x≥b对于x>0恒成立，需要b≤0,此时ab=0,x3∴g(a)max=g2ez=2e³,综上，ab的最大值为：2e3故答案为：2e3.,再构造函数，利用导数求最大值.立，则ab的最大值是【分析】由a≠0,x>0,原不等式可化.再利用导数研究函数f(x)=到答案.x∈(e²,+o),f'(x)<0,f(x)递所以，f(x)在x=e²处取得极大值，且为最大由此推得"的最小值a(4)若Vx∈[a,b],使得f(x)>k成立，则f(x)max>kA.[-o,1]B.[-o,e²-1]C