张彤的自学报告

PAGEPAGE1上海大学2014～2015学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061题目:大数定理在生产生活中的应用学生姓名:张彤学号:12120899评语:成绩:任课教师:冯国瑞评阅日期:

大数定理在生产生活中的应用2014年10月22日摘要：这是《概率论与随机过程》课程的课外自学报告，本文主要是对自学内容的总体小结，以及大数定理在生产生活中的应用实际案例分析。一自学内容小结自学内容主要包括两方面，随机变量和随机过程中的随机序列。随机事件的研究从随机变量开始，随机变量是随机事件的数量表现，要完备的描述随机变量就必须包括两个方面，在不要求全面考察随机变量的变化情况时，可研究随机变量的一些数字特征。期望，方差，协方差和相关系数等。但要比较全面的描述实际过程，就要研究随机变量的分布函数和概率密度函数。但是分布函数不易求得，于是我们引进随机变量的特征函数来求解概率密度函数。1.随机变量的特征函数随机变量的特征函数实质就是概率论的傅里叶变换，我们通过构造特征函数，将陌生转变成熟悉，能方便的展现随机变量的分布,

利用特征函数的一些性质，往往能使问题得到简化，比如求分布的数学期望和方差等。求独立随机变量之和的概率密度函数时，特征函数是很有用的，它可以用来求随机变量的矩。特征函数定义为：其实质是概率密度函数的傅里叶变换。对应联合概率密度也有联合特征函数。其性质里面我认为最有用的就是随机变量的和的特征函数等于各随机变量特征函数的积，在求得新变量的特征函数后反演就得到新随机变量的概率密度。进而求得随机变量的分布函数。其次是求矩公式，N阶原点矩就对特征函数求N次导数。通过这个性质可以很方便的求出方差。特征函数的性质：性质1两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之和。性质2随机变量X的n阶原点矩可由其特征函数的n次导数求得。2.大数定理与中心极限定理大数定理（包括弱大数定理和伯努利大数定理）是确切的数学形式表达了大量重复出现的随机现象的统计规律性，即随机变量的前一些项的算术平均值收敛于这些项的均值的算术平均值。大数定理论证了频率的稳定性，从而可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，如多次抛硬币后每次正反面的概率趋于0.5，在看似偶然的事件中显示出规律。弱大数定理：设随机变量X1，X2，…，Xn，….相互独立，且具有相同的和，（k=1,2,……），则有：伯努利大数定理：设是是n次独立试验中事件A中发生的次数，p是A在每次试验中发生的概率，则有：独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布，和≠0，k=1,2,…,则随机变量的分布函数满足实际系统中，常会出现某些随机变量是由大量（重复次数n很大）的互相独立的随机变量综合影响而成的。大数定理告诉我们多次独立重复试验中事件发生的频率可代替该事件发生的概率。由中心极限定理，若已知均值及其方差，当抽取的n充分大时，其近似服从正态分布。这样给我们提供了一个计算分析大量重复随机变量的理论工具。在每次随机试验中出现的结果可能不同，但大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值，所以当研究的是N次独立的实验时，可以用事件发生的频率代替事件发生的概率，这就是大数定理。而中心极限定理就是将一些原本不是正态分布的一般相互独立的随机变量的总和的分布近似成正态分布。从而求得随机变量的概率密度函数。这些相互独立的随机变量都对总体造成的影响很小。从中心极限定理，可以很明显的感觉到正态分布的重要性。3.随机序列及其统计特性所谓随机序列就是将连续随机过程进行等间隔抽样。因为在实际研究中，连续随机过程处理起来很不方便，通过采样既可以获得我们要研究的内容又可以减少工作量，就像数字信号处理也是这个道理。对随机序列的研究过程也类似于连续随机过程，不过要用数字特征的描述方法，所以引入了均值向量、自相关矩阵和协方差矩阵。随机过程的重要性，就是研究随机序列的一些统计学特性，特别是“时相关”特性。随机过程是依赖于时间t的一族随机变量，而随机序列是一种特殊的随机过程，它是连续随机过程在时间轴上抽样生成。在我们数字信号处理过程中研究的就是随机序列。一般用矩阵的形式表示随机序列，一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机列向量，与分析随机变量一样，其数字特征有均值，自相关函数和自协方差函数等。其中均值表示随机过程的全部样本在同一时刻(n点)随机变量的统计平均值。自相关函数和协方差函数表示同一随机序列在不同时刻取值的关联程度和偏离中心值的关联程，互相关和互协方差表示的是两个随机序列在不同时刻取值的关联程度和不同时刻取值偏离中心值的关联程度。其中任何独立随机序列的协方差矩阵均为对角阵，对角元素为随机序列的方差。4.随机序列的功率谱密度对随机过程的频域分析，只能引入功率谱密度，因为随机过程的样本函数的总能量在时间轴上无限，不满足傅氏变换的绝对可积条件，但其平均功率是有限值。所以讨论平均功率。随机序列的功率谱密度定义为： 它是以2为周期的函数，其描述了信号功率在各个不同频率上的分布情况。任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有限功率等于无限的功率谱密度。借助δ函数，维纳-辛钦定理可推广至含有直流或周期性成分的平稳过程中去。随机序列x(n)的功率谱密度函数与其的自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱密度也是从频率角度描述统计规律的最主要的数字特征，在学完功率谱密度我可以有两种计算随机过程平均功率的方法，求均方值和对功率谱密度的在内奎斯特区间上的积分。这也可以理解成自相关函数的傅里叶变换。不过我们主要关注其在奈奎斯特间隔上的值。我觉得这一方面的应用主要在于分析信号功率的分布，根据主要功率集中在哪个频段，便可确定信号带宽，从而考虑信道带宽和传输网络的传输函数等等。5.随机序列通过离散线性系统实际通信系统运用中，经常会处理信号通过离散线性系统的响应问题。典型的，我们可以探讨当一个随即序列通过数字滤波器（离散线性系统）后自相关函数及功率谱的变化，再通过自相关函数的性质得到相应的各数字特征变化。随机序列通过离散线性系统后输出随机序列的方差减小，即输出值出现在均值附近的可能性增大。这一特点在信号处理方面有重要的应用价值，例如当随机噪声与信号通过系统后噪声的功率减小，提高了信噪比，也就是有了去噪的效果。见下图。当一均匀分布的随机序列通过平均器后，输出序列和输入序列的期望相等，而其方差减小为输入序列的一半，表明通过平均器的随机序列围绕均值的起伏减少，分布更加集中。这一特性用于增加3dB的信噪比。q阶非递归滤波器一阶递归滤波器当0当当k>0当k=0二专题应用范例大数定理在误差方面的应用问题描述：某种仪器测量已知量A时，设n次独立得到的测量数据为如果仪器无系统误差，问：当n充分大时，是否可取作为仪器测量误差的方差的近似值？原理：随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐趋于某常数。大量测量值的算术平均值，随测量次数的增加也具有稳定性。当试验次数很大时，可用事件发生的频率代替事件的概率。根据大数定律,对于随机误差,应有.这说明当测量次数较多时,实测数据的平均值和预测真值的差值能以很大概率趋于0,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的.分析：把视作n个独立同分布的随机变量(i=1,2,⋯,n)的观察值,则仪器第i次测量的误差的数学期望和方差分别为：设,i=l,2,⋯,n,则也相互独立服从同一分布。在仪器无系统误差时,即有（i=1,2…n）由切比雪夫定律,可得：即从而确定,当时,随机变量依概率收敛于,即当n充分大时,可以取作为仪器测量误差的方差.大数定律在生活中还有许许多多的应用，其中一个重要应用是在保险学方面.基本原理是一系列相互独立随机变量的平均值几乎恒等于一个常数,这个常数就是它的数学期望,或者说一系列相互独立随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.可以广泛应用于保险精算、资源配置等方面.参考文献