数论中的组合恒等式及其应用

Vaughan恒等式Vaughan恒等式解析方法推导对函数取对数，并用对数的幂级数展开，得 则对上式左右两侧对求导，得 (3-1-1)对(3-1-1)级数进行分解，令，则(3-1-1)等于 (3-1-2)将(3-1-2)展开后，得到，与(3-1-1)式相等。根据引理1，,我们能得到Vaughan恒等式 (3-1-3)式中：，，。其中也能写作将代入(3-1-1)，得到一个Dirichlet级数， (3-1-4)比较(3-1-2)与(3-1-4)，根据引理1，发现这是同一种Dirichlet级数的两种表达形式，4部分对应相等，其中, (3-1-5), (3-1-6)， (3-1-7)， (3-1-8)(3-1-5)是显然的，对于(3-1-6)，令，则上式得，于是(3-1-6)成立。对于(3-1-7），，令，则上式得，(3-1-7)成立。对于(3-1-8)，根据(3-1-3)可得，，即，则，，上式中，令，得(3-1-8)成立。立刻可以发现，不考虑的情况，否则，，矛盾。因此，如果，我们让。我们有I型和+II型和 (3-1-9)假设我们令。则I型和及II型和如下：其中,对于一些，系数明确的由除数函数界定。因此我们需要分解。根据(3-1-3)可得根据(3-1-9)，上式右边四部分就是、一型和及二型和。我们要证明各项是三种形式的哪一种。第一项：由函数及性质可知由上式可以看出，项是。第二项：令，则上式变为这是I型和形式，其中由函数定义及引理2可得第三项：这是I型和形式。根据引理7推论，因为对数单调递增，所以第四项：其中，，将区间划分成小区间，即，可得，可认为，这是II型和的形式，其中且根据引理8，。根据的表达式，观察(3-1-3)的形式，我们可以看到，Vaughan的定义是下列公式的重新排列 (3-2-1)Vaughan恒等式初等方法推导在3.1中我们是通过解析数论的方法证明Vaughan恒等式的，现在可以通过初等数论的办法，从(3-2-1)中直接得到。我们假定U和V是已经给定了的，这样就能解决所产生的I型和及II型和。假定。第一个显而易见的举措是取出的部分，因为这给了我们一个已经是正确形状的总和。因此，我们有 (3-2-2)我们马上发现就是上面的。接下来，我们把处理为全区间加和减部分区间加和的形式，如下，重新令我们发现是上面的。现在和中的，因此消除。将剩余部分的和式写作，，根据函数性质及在中取值范围，可以给出简单重排给出。在的情况下，不存在，这种截断方法是没有意义的。就仅仅是，也就是。这样通过初等数论方法，(3-2-1)也就与(3-2-2)相等了。4Heath-Brown恒等式Heath-Brown恒等式Heath-Brown的广义Vaughan恒等式Vaughan恒等式将化为两个函数的乘积和Heath-Brown从二项式定理出发，获得了更为灵活的数论函数乘积和的结果，即他所谓的广义Vaughan恒等式，将化为更多个函数的乘积和（尽管他在介绍该想法的文章中承认它不是严格的泛化）。即设，对所有和任意函数： (4-1-1)该公式立即从应用于（4-1-1）右侧第二项的二项式定理得出，即因为让成为的部分和：对于给定的，让。那么令，则上式为从处截断，分为两部分令则对(4-1-1)中来说令，则上式为其中，只要取足够大，则可以足够小，即(4-1-1)右侧第二部分的贡献可以忽略，是次要部分，而右侧第一部分可以近似表达，是主要部分。现在来看（4-1-1）右侧第一部分，使用引理1， (4-1-2)其中因此，我们可以将两个变量加权和转换为多达2k个变量的多重和。这样做我们获得进步的是，即通过取k足够大，可以取到我们想要的尽可能小,且每个可以被约束在一个很小的范围内。数论函数本身取值是复杂的，但如果把自变量约束在一个较小的范围内，那么与对数函数的加和是可以近似得出的。这种感觉就像是数论函数取值难以具体写出，转而求其加权均值。Heath-Brown恒等式的优缺点及改进要看到Heath-Brown恒等式的优缺点，我们要先回忆从这个表示可以看出，乘以因子的效果是从的Dirichlet序列中筛选出所有的倍数。所以，因子则用于筛选出所有小于的素数。因此在上式的右侧，1之后的第一个非零项是在范围上的。我们现在看到这是Eratosthenes的筛子的zeta函数当量.在Zeta函数形式中,Heath-Brown恒等式有以下派生形式 (4-2-1)当然这不过是的幂级数，其中。因此该公式只对有效，但是这是一个半平面，所以我们仍然可以使用函数的线性独立性,即引理1，来产生一个算术的定义。因子与(4-1-1)中的有类似的作用，只是删除小的n，它消除了所有的小素数的贡献。从技术的角度来看，它和处理难度相当。利用(4-2-1)，我们记做使用引理1，我们能得到下列恒等式，我们假设： (4-2-2)其中现在我们与Vaughan恒等式有几个不同之处。首先，我们是对素数进行求和，而不是对用vonMangoldt函数加权的整数求和。更重要的是，所产生的总和具有固定的符号。这是通过把作为集合的特征函数而产生的，所以，(4-2-2)也能写做 (4-2-3)其中5结论与展望结论与展望Vaughan恒等式作为数论研究的一个重要工具，在计算变量指数和的过程中可以发挥重大作用。利用Vaughan恒等式及它的推广，将在无限序列上的两个函数的乘积分成多个有限序列上的数论函数的乘积，虽然这些数论函数本身确定取值比较困难，但是如果序列的大小合适，它们在每个小区间的指数和是能大致得到的，或者得到一个指数和的上界。例如，我根据R.C.Vaughan的文章，简要介绍Vaughan恒等式的一个应用。首先先写两个不加证明的不等式：对任意给定的函数满足，我们有 (5-1) (5-2)定理假设，有整数，且，这样，对于所有，我们有 (5-3)证明：在中，我们