三角函数图像学案

三角函数图像学案适用学科数学适用年级高一适用区域人教版课时时长（分钟）60（一对一）知识点三角函数的图形及基本性质教学目标了解三角函数的图像及性质，理解三角函数周期性，单调性教学重点三角函数的周期性，对称性及单调性教学难点三角函数单调性应用

三角函数的图象及性质一、三角函数的图象与性质A.基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0k∈Z))无对称轴对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)))，2kπ＋eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))(k∈Z)；单调减区间eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))，2kπ＋eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)))，kπ＋eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))(k∈Z)奇偶性奇偶奇B.方法与要点1、两条性质(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．2、三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈R()．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定义域为()．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)))，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ－\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))3．已知k＜－4，则函数的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋14．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))5．函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期为________．D.考点解析考点一三角函数的定义域与值域【例1－1】►(1)求函数y＝lgsin2x＋eq\r(9－x2)的定义域．求函数y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值与最小值．(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：=1\*GB3①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；③形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；④形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】（1）求函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域．（2）（06年辽宁卷）已知函数,则的值域是(A)(B)(C)(D)(3)（04年广东卷）当时,函数的最小值是()A.4B.C.2D.考点二三角函数的奇偶性与周期性【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期.（1）（2）（3）（4）求三角函数的最小正周期的一般方法：=1\*GB3①先化为，在由公式求之；=2\*GB3②由周期函数的定义：求得=3\*GB3③一般地，或的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半【例2－2】►设有函数和，若它们的最小正周期的和为，且，，求和的解析式。【例2－3】►已知函数．（1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．【训练2】1、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为A. B. C. D.2、函数的最小正周期是ABC2D4xxxxxxxxOOOOyyyyABCD4、给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （） A．B．C． D．考点三三角函数的单调性【例3－1】►已知，求的单调递增区间．【例3－2】►(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）[来源:（1）求三角函数的单调区间的一般方法是：=1\*GB3①首先化为；=2\*GB3②再解不等式：（增函数区间）或（减函数区间）（也可先解（增）或，然后再在区间端点前面加上周期的倍）（2）如果题目中还限制了自变量的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。【训练3】1、的单调减区间是（）A． B．C． D．2、（2011年全国新课标卷）设函数的最小正周期为，且，则A.在单调递减B.在单调递减C.在单调递增D.在单调递增考点四三角函数的对称性【例4－1】►(1)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－eq\f(π,6)B．x＝－eq\f(π,12)C．x＝eq\f(π,6)D．x＝eq\f(π,12)(2)若0＜α＜eq\f(π,2)，g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋α))是偶函数，则α的值为________．（3）（2009全国卷Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)【例4－2】►已知函数，若，则与的大小关系是A、>B、<C、=D大小与a、有关（1）正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记住它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．（2）三角函数的对称性及其应用：=1\*GB3①对称中心图象上的平衡点，对称轴图象上的极值点；=2\*GB3②三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜\f(π,2)))的一条对称轴为x＝eq\f(π,12)，则φ＝________.(2)如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)（3）的图象关于x＝对称，它的周期是，则（）A、f（x）的图象过点（0，B、f（x）在区间上是减函数C、f（x）的图象的一个对称中心是点（D、f（x）的最大值是A（4）已知,且在区间有最小值,无最大值,则__________.二、正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用A.基础梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．B.方法与要点1、一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝eq\f(M－m,2)，k＝eq\f(M＋m,2)，ω由周期T确定，即由eq\f(2π,ω)＝T求出，φ由特殊点确定．2、一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3、两个注意作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为()．A．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,4)B．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,8)D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6π，φ＝eq\f(π,6)B．T＝6π，φ＝eq\f(π,3)C．T＝6，φ＝eq\f(π,6)D．T＝6，φ＝eq\f(π,3)3．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为()．A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx解析由图象的平移得g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx.4．设ω＞0，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()．A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D．35．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.D.考点解析考点一函数的图象题型1：给出函数作图象【例1－1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜0))的最小正周期为π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[审题视点](1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))来确定平移单位．【训练1－1】已知函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？题型2：给出图象求函数【例1－2】►（1）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．（2）（07年江西卷）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点A，点P是该函数图象上的一点，点Q是PA的中点，当时，求的值。给出图象求函数一般有两种方法，方法1：待定系数法，即找出图象上两个已知点的坐标，代入函数式中联解方程组求出、的值；方法2：先由函数图象上的三个平衡点及两个极值点求出函数的周期（三个平衡点和两个极值点把函数的一个周期分为四等分，所以只要知道这五个点其中的两个就可以求出周期T）再由求出；再找出图象其中一个周期中的起始点的坐标（注意，这里的不一定是）然后用代入函数中得整理即得。（特别注意：是而不是）。至于振幅A的值则有图象上的最高点或最低点的纵坐标而求得。（如果最高点和最低点的纵坐标不关于轴对称，则函数式应是的形式）【训练1－2】1、（05年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A）（B）（C）（D）2、（2005天津卷文）函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（A）（B）（C）（D）1o-13、（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）1o-1（>0,-<）的图像如图所示，则=________________.4、（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（A）(B)(C)－(D)考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换题型1：给定原函数和变换过程求变换后的函数【例2－1】►（1）（2009全国卷Ⅱ理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A． B. C. D.【例2－1】►（2）函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为()(A)y=3cos(x+)(B)y=3cos(2x+)(C)y=3cos(2x+)(D)y=cos(x+)（3）若改为：“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位”其他不变呢？给定原函数和变换过程求变换后的函数时，=1\*GB3①左右平移变换：用替换，得，其中，左移用“＋”，右移用“－”；=2\*GB3②横坐标伸缩变换：用替换，得；=3\*GB3③纵坐标伸缩变换（即振幅变换）：；=4\*GB3④注意先后顺序：若先平移再左右伸缩，则；若先左右伸缩再平移，则⑤振幅变换无需考虑顺序（但须看其最大值与最小值是否关于x轴对称）【训练2－1】（1）(2012年高考浙江卷理科4)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（2）先将函数y＝f（x）的图象向右移个单位，再将所得的图象作关于直线x＝的对称变换，得到的函数图象，则f（x）的解析式是（）A、B、C、D、（3）把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,再将横坐标缩小为原来的,则其解析式为.题型2：给定变换前后函数求变换过程【例2－2】►（1）其图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变换得到?【例2－2】►（2）（05年天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（C）(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度给定变换前后函数求变换过程，一般用待定系数法，即设左右平移了个单位及横坐标伸长或缩短到原来的倍（1）若仅有初相位不同而相同，则只作平移变化；例如：把经过怎样的变化得到的图象？解：设左右平移了，则函数变为∵，∴，解得，∴向右平移（2）若仅有频率不同而初相位相同；则只作周期变化。例如：把经过怎样的变化得到的图象？解：设横坐标伸长或缩短到原来的倍，由变为，∵，∴由解得，∴横坐标缩短到原来的倍（3）若频率和初相位均不同，例如：把经过怎样的变化得到的图象？则又分两种情况：①若先平移再伸缩，则先设平移了，得，由解得；然后在设伸缩到原来的倍，由解得；结论：先向左平移，然后横坐标在伸长到原来的倍。②若先伸缩再平移，则先设伸缩到原来的倍，由解得，函数式变为；然后再设平移了，函数式变为，由解得，结论：先横坐标在伸长到原来的倍，然后向左平移。（4）若所给的原函数与变化后的新函数不是同名函数；则需用诱导公式先化为同名函数：，或（5）仔细审题，分清楚那个是原函数，那个是变化后的函数。【训练2－2】（1）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移个单位 B、向右平移个单位C、向左平移个单位 D、向右平移个单位2）将的图象变为，其变换方法是______________________（3）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度（4）有下列四种变换方式:①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的；其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（）A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④（5、）写出函数y=4sin2x(x∈R)的图像可以由函数y=cosx通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)2m8mhP考点三2m8mhP【例3】►一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式.【训练3】设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y12经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.根据上述数据，函数的解析式为（）A．B．C．D．自我检测题一，选择题1、（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）．A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．一定是奇函数D．一定是偶函2、函数y=tg（）在一个周期内的图象（） A、B、C、D、3、（2005福建卷理）函数的部分图象如图，则 A． B．C． D．4、函数的部分图象如图所示，则的值是（）A、0B、－1C、2＋2D、2－25、函数，给出下列三个命题：①函数在区间上是减函数；②直线是函数的图象的一条对称；③函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。其中正确的是（）A．①③ B①② C．②③ D．①②③6、函数的部分图