《经济应用数学》(谢金云 )教案 第22课-概率论基础（三）

22第22第课概率论基础（三）PAGE822概率论基础（三）22概率论基础（三）第课PAGE9

课题概率论基础（三）——随机变量的数字特征、利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望。（2）掌握方差的概念与计算方法。（2）学会利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差。思政育人目标：通过学习概率论的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：数学期望、方差、标准差的概念教学难点：方差的计算方法，利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（10min）数学实验（20min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入（5min）【教师】讲解引例1甲、乙两个学生的10次数学考试成绩如表7-4所示．试问哪个学生的数学考试成绩比较好？要比较两个学生数学考试成绩的好坏，不能单看某一次的数学考试成绩，可以通过分别计算甲、乙两个学生10次数学考试的平均成绩进行比较．甲学生的平均成绩

；乙学生的平均成绩

．由于乙学生的平均成绩比甲学生的高，说明乙学生的数学考试成绩比较好．若将学生的数学考试成绩理解成随机变量X，则上述计算过程与正是X的所有可能取值与其相应概率的乘积之和．【学生】聆听、思考、理解通过引例使学生了解概率论在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的知识讲解

（28min）【教师】讲解离散型随机变量的数学期望，并通过例题讲解介绍其应用离散型随机变量X的所有可能取值与其相应的概率的乘积之和，称为X的，简称或，记作，即．甲、乙两台机床的日生产能力相当，一天生产废品件数的概率分布如表7-6所示，问哪一台机床的性能比较好？；．甲机床日产废品的平均数为0.9件，少于乙机床日产废品的平均数1.3件，故甲机床的性能比较好。【学生】掌握离散型随机变量的数学期望【教师】讲解连续型随机变量的数学期望，并通过例题讲解介绍其应用设X是一个连续型随机变量，其概率密度为，当收敛时，称X的数学期望存在，且数学期望为，也记作，即．1．均匀分布的数学期望，其概率密度是数学期望为．2．标准正态分布的数学期望，其概率密度是，数学期望为．因为被积函数是奇函数，所以．【学生】掌握连续型随机变量的数学期望【教师】讲解方差的概念与计算方法引例2甲、乙两厂生产同一种规格的显像管，其显像管使

比较甲、乙两厂生产的显像管的质量．结果表明，甲、乙两厂生产的显像管的平均使用寿命相等．那么这是否可以说明显像管的质量完全相同呢？通过进一步分析题设数据会发现：甲厂40%的显像管的使用寿命为10000h，使用寿命在的显像管占了80%，使用寿命与均值偏离较小，质量比较稳定；而乙厂仅20%的显像管使用寿命为10000h，使用寿命在的显像管仅占了60%，使用寿命与均值偏离较大，分布比较分散，质量不够稳定．由此可见，要比较产品质量的优劣，只了解其均值是不够的，还必须了解它们的取值与均值之间的偏离程度．那么怎样描述随机变量X的取值与其均值的偏离程度呢？设是一个随机变量，若存在，则称为X的，记作．在实际使用中，为了使单位统一，通常将称为随机变量的标准差．下面利用方差公式计算引例2的方差．由于，所以类似地，可求得．由于，所以甲厂显像管的质量比乙厂稳定．该结论与上述分析结果一致．数学期望（均值）描述了随机变量的平均取值状况，而方差则描述了随机变量取值的分散程度．这两个量反映了随机变量的重要概率特征，称为．【学生】掌握方差的概念与计算方法学习离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望，方差的概念与计算方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（10min）【教师】讲解常用分布的数学期望与方差，并通过例题讲解介绍其应用数学期望和方差在概率统计中经常用到，为了便于记忆，将常用分布的数学期望和方差列成表，如表7-9所示．【学生】了解常用分布的数学期望与方差学习常用分布的数学期望与方差。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验（20min）【教师】讲解如何利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差1．利用MATLAB求离散型随机变量的数学期望与方差离散型随机变量的数学期望与方差需要综合利用数组的点运算与求和命令sum（）来计算．数组的点运算使用代数符号“*”“/”“\”“^”前加一点来表示，即为“.*”“./”“.\”“.^”．A.*B表示同维数的数组A和B每个元对应相乘而得到的新数组．例如，若已知数组，，则．其他点运算的规定与“.*”类似，应注意没有“.”“.”运算．设离散型随机变量X的概率分布如表7-11所示，求数学期望与方差．解在命令行窗口输入：>>X=[-461012];P=[0.150.20.40.25];>>EX=sum(X.*P)按回车键，输出结果为EX=7.6000继续在命令行窗口输入：>>EXm2=sum(X.^2.*P);>>DX=EXm2-EX^2按回车键，输出结果为DX=27.8400离散型随机变量X的数学期望为7.6，方差为27.84．2．利用MATLAB求连续型随机变量的数学期望与方差由连续型随机变量的数学期望与方差的定义可知，在MATLAB中利用定积分命令即可求得连续型随机变量的数学特征，现举例说明．例2已知随机变量X的概率密度为求数学期望与方差．解在命令行窗口输入：>>symsx>>f=2*x;>>EX=int(x*f,x,0,1)按回车键，输出结果为EX=2/3继续在命令行窗口输入：>>EXm2=int(x^2*f,x,0,1);>>DX=EXm2-EX^2按回车键，输出结果为DX=1/18连续型随机变量X的数学期望为，方差为．3．利用MATLAB求常用分布的数学期望和方差（1）求二项分布数学期望和方差的函数调用格式为[E,D]=binostat(n,p);（2）求泊松分布数学期望和方差的函数调用格式为[E,D]=poisstat(λ);例3已知随机变量，其中，，求数学期望与方差．解在命令行窗口输入：>>n=100;>>p=0.2;>>[E,D]=binostat(n,p)按回车键，输出结果为E=20D=16随机变量X的数学期望为20，方差为16．例4已知随机变量，其中，，求数学期望与方差．解由题意知MU=6，SIGMA=0.25，于是在命令行窗口输入：>>MU=6;>>SIGMA=0.25;>>[E,D]=normstat(MU,SIGMA)按回车键，输出结果为E=6D=0.0625随机变量X的数学期望为6，方差为0.0625．【学生】掌握如何利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差学习利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差的方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望，掌握了方差的概念与计算方法，学会了如何利用MATLAB求随机变量的数学期望与方差，