《经济应用数学》(谢金云 )教案 第11课-不定积分与定积分（一）

11第11第课不定积分与定积分（一）PAGE2不定积分与定积分（一）第不定积分与定积分（一）第课11PAGE1

课题不定积分与定积分（一）——不定积分的概念、性质与积分方法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解不定积分的概念，并掌握不定积分的性质。2、掌握不定积分的基本积分公式，学会计算不定积分。3、掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。思政育人目标：通过学习不定积分的相关知识，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：1、不定积分的基本积分公式2、不定积分的换元积分法3、不定积分的分部积分法教学难点：不定积分的换元积分法与分部积分法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解不定积分的概念，并通过例题讲解介绍其应用定义1对于区间内的任意，若都有，则称是的导函数，而称是在区间上的一个原函数．定理1（原函数存在定理）若在区间上是连续的，则在区间上一定存在原函数，即连续函数一定有原函数．定理2（原函数结构定理）若有原函数，则它有无数多个原函数；若是的一个原函数，则的任意一个原函数都可以表示为．例如，，，说明和都是的原函数，且的原函数可表示为．定义2若是的一个原函数，则的所有原函数均可表示为，我们称为的不定积分，记作，即，其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数．例1求．解因为，所以是的一个原函数，从而有．【学生】掌握不定积分的概念，并通过例题学习不定积分概念的用法【教师】讲解不定积分的性质性质1．性质2．性质3被积函数中非零常数因子可提到积分号的前面，即．性质4有限个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即．性质3和性质4统称为不定积分的线性运算．【学生】掌握不定积分的性质【教师】讲解不定积分的基本积分公式，并通过例题讲解介绍其应用由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由基本初等函数的求导公式可得到下列不定积分的基本积分公式．（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）．例3求．解

．【学生】掌握不定积分的基本积分公式，并通过例题学习不定积分公式的用法学习不定积分的概念、性质与基本积分公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解不定积分的换元积分法，并用实际案例加深学生的理解1．第一类换元积分法定义1若具有原函数，且具有连续的导数，则有换元公式，以上这种积分方法称为不定积分的第一类换元积分法，也称为凑微分法．2．第二类换元积分法定义2设函数单调可导，且具有原函数，则有换元公式，其中是的反函数，以上这种积分方法称为不定积分的第二类换元积分法，也称为变量置换法．【学生】掌握不定积分的换元积分法【教师】讲解不定积分的分部积分法，并用实际案例加深学生的理解定义3设函数和具有连续导数，则有，该公式称为不定积分的分部积分公式，用该公式求不定积分的方法称为不定积分的分部积分法．例13工程师根据开采记录发现一个新开发的天然气井月的总产量为，其变化率为，试求总产量函数．解总产量函数为变化率的不定积分，即．利用分部积分法，得．由题意可知，当时，，代入上式，解得，所以总产量函数为．【学生】掌握不定积分的分部积分法，并通过例题学习分部积分法的用法掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了不定积分的概念、性质与基本积分公式，也掌握了不定积分的换元积分法与分部积分法。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题4.1、4.2总结知