《经济应用数学》(谢金云 )教案 第8课-导数的应用（二）

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课题导数的应用（二）——函数的单调性、极值和最值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解函数的单调性、极值和最值。2、掌握最值在经济中的应用。思政育人目标：通过学习函数在经济中的应用，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、函数的单调性2、函数的极值3、函数的最值教学难点：掌握最值在经济中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解函数的单调性，并用实际案例加深学生的理解定理1设函数在上连续，在内可导，则（1）若在内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数在上单调增加；（2）若在内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数在上单调减少．确定函数单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数和不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定在各个子区间的符号（正或负），从而确定的单调性．【学生】掌握函数的单调性【教师】讲解函数的极值，并用实际案例加深学生的理解定义1若对此邻域内，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的极大值点；同样，若对此邻域内的，恒有，则称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．定理2（极值存在的必要条件）如果函数在点处有极值，且存在，则．定理3（极值的第一判别法）设函数在点处连续，且在点的某一去心邻域内可导（1）如果当时，，而当时，，则在点处取得极大值，如图3-8（a）所示；（2）如果当时，，而当时，，则在点处取得极小值，如图3-8（b）所示；（3）如果在的两侧的符号不变，则点不是的极值点，如图3-8（c）和图3-8（d）所示．定理4（极值的第二判别法）设函数在点处具有二阶导数，且，，（1）若，则是函数的极小值点；（2）若，则是函数的极大值点．例3求函数的极值．解．令，得驻点．由于，所以为极小值；由于，所以为极大值．【学生】掌握函数的单调性，并通过例题学习函数单调性的用法掌握函数的单调性与极值。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解函数的最值，并用实际案例加深学生的理解函数在其定义域上的最大值与最小值统称为函数的最值．函数若在闭区间上连续，则在该区间上一定存在最大值和最小值．例4求函数在区间上的最大值和最小值．解函数的定义域为，导数为．令，得驻点．驻点处函数值分别为．端点处函数值为．比较上述5个点的函数值，即可得出函数在区间上的最大值为，最小值为．【学生】掌握函数的最值，并通过例题学习函数最值的用法【教师】讲解最值在经济中的应用，并用实际案例加深学生的理解例5（最大收益）某公司销售一种灯具，设表示每月销售量，这种灯具依据过去数据统计，其价格需求函数为，其中为灯具价格（元），试求该公司达到最大收益时的每月销售量．解由于，这里需求量指每月销售量，即．因为价格和需求量是非负的，所以，即该问题中的变化区间为．下面求在这个区间内的最大值，对求一阶导数，即．令，得驻点，由于，所以在时达到最大值，最大值为．所以．即当灯具价格为50元，每月销售量达到5000台时，公司收益最大．例6（最低成本）某工厂生产某型号产品件，其成本函数为，试求其最低平均成本．解设平均成本函数记为，则，．令，得的驻点为，且在定义域内无导数不存在的点．由实际意义知必存在最低成本，因此，当时，最低平均成本为．例7（最大利润）某公司获得在一次展销会中销售一种新型热狗的特许权，每销售一个热狗所需成本为1美元，现已知这种热狗在展销会上的价格需求曲线近似为．其中，为销售热狗的数量（千个），表示千个热狗的价格（千美元）．问价格为多少时，该公司的利润最大？解收益函数为，成本函数为．因此，利润函数为，．令，求得的驻点为．由实际意义知必存在最大利润，此时相应的热狗价格应为．由此可知，该公司在展销会上销售20千个，即2万个热狗，每个热狗价格为2美元时，利润最大．【学生】通过例题了解最值在经济中的应用学习函数的最值与最值在经济中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了函数的单调性、极值和最值，并掌握了最值在经济中的应用。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】