“教学中的互联网搜索”参评教案

一、课题等比数列的前n项和二、教案背景《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9至22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解，在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心，凸显以人为本的教育理念。科技的迅猛发展，给我们的教育注入一股新鲜的血液，多媒体的使用使得我们在优化教学、重组课堂上有了技术支撑，互联网上海量的教学资源，我们必须广泛涉猎并有所遴选，教师也应架起互联网搜索与学生之间的桥梁。本教案的设计思想正基于此。三、教学内容与学情分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（苏教版）第二章第3节第5课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。四、教学目标与教学重点、难点1、三维目标：知识与技能：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。过程与方法：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度，优化学生的思维品质。2、重难点：教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。五、教学过程（一）创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？（国际象棋起源的传说）/question/44334828.html【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。（二）师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？【学情预设】：探讨1：设，记为:（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？（三）类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列，首项为，公比为，如何求前n项和？【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由得对不对？这里的能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？时是什么数列？此时？（这里引导学生对进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把用、、表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）（四）讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出呢？根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出呢？【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到,这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.（等比数列前n项和公式其它推导方法）/p-183954110.html（五）变式训练,深化认识例1：求等比数列前8项和；变式1、等比数列前多少项的和是；变式2、等比数列求第5项到第10项的和；变式3、等比数列求前2n项中所有偶数项的和。首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。(学法指导)（六）例题讲解，形成技能例2：求和解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。（七）总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。（八）故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。（九）课后作业，分层练习必做：教材对应练习1、2选作：思考题：（1）求和（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？（奇妙的数字诗词）/23323307.html【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。七、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。本节课开始，设置了“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推导上。在探索公式的过程中，用到了许多重要的数学方法，如错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，这个推导过程有效地培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，培养了学生解决问题的能力。本节课例子设计精巧。通过精讲一题（例1），发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解（例2），进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少，思考题体现数学的文化价值。教案资源1：国际象棋的发明人是谁满意回答国际象棋是世界上最古老的搏斗游戏之一,和中国的围棋、象棋和日本的将棋同享盛名。一般认为,在公元500年之前,在印度北部就有了这类游戏。当时的棋子比起今日的国际象棋在着法上简单得多,它们代表在古印度的步兵、武士、战车和大象。在棋盘上,国王和他的维齐(即今天的后)统帅一切。据多数史学家认为,国际象棋从印度逐渐传到中亚细亚、中国、波斯和欧洲。11世纪时盛行于君士坦丁堡,是拜占庭皇帝阿列克西斯•康姆涅纽斯很喜欢的一种消遣。这种游戏一传到西方,有个别棋子的名称和设计便与当时欧洲的封建制度中的社会阶层挂上了钩。王和兵当然没有改变。大象在印度军队中是一种重型的力量,在西方则由主教替代,主教在当时中世纪教会中颇有权力,而大象在西方战事中没有人知道其威力无比。棋史学家列维在叙述第二次普尼克战争中汉尼伯曾经在意大利本土上使用兽力作战。印度棋盘上的武士,变成了马,世人公认为是骑士制度的一个代表。古战车变成城堡(德文"turn",西班牙文"torre",法文"tour",均为"城堡"的意思),英文中则为“rook”(城形棋子)。此字源出于波斯文"ruhk"(战车的意思)或者是出于意大利文"rocco。"(城塔的意思)。最后，维齐转而名为后,是中世纪宫廷的主要人物。15世纪末,国际象棋规则在欧洲起了一个自然而然的变化。其中最重要的变化是后从依附于王而变成在棋盘上极具威慑力量的角色。另外,兵起步时可以选走两格,象可以在斜线上自由行走以及王能够和车易位。这些变化可以说已经和今日世界上159个国家和地区所开展的国际象棋走法十分接近了。这种走法已被当今国际棋联这个国际象棋世界性组织所属的500万注册棋手所认可。直到进入20世纪时,国际象棋仍被认为是贵族和富有闲人的游戏。而今天,自从1917年十月革命后,在苏维埃政府的重视和大力推动下,使得国际象棋逐渐普及起来。如果说,国际棋联现有五百万注册棋手和数以亿计会下国际象棋(据国际棋联20世纪90年代的统计数字,现全世界大约有三亿)的人,那么,其中除了少数尖子棋手把它作为艺术和终生职业外,其余都是这种游戏的爱好者。的确,在前苏联和接过前苏联"国际象棋王国"旗帜的俄罗斯,国际象棋是国家体育,被奉为"国棋",比足球更受人喜爱。由于国家和群众的大力推动,在20世纪40年代以来,前苏联特级大师们或多或少地控制了世界国际象棋的棋坛,虽然他们的优势很快受到了英国、美国等西方国际象棋强国的挑战。在所有棋盘游戏中,国际象棋是一种把战略战术和纯技术融为一体的理想游戏。和西洋双陆相比,胜负决定于骰子一掷,诚然是不由自己作主;和国际跳棋相比,棋子的规模化控制了技术上的胜负。和国际象棋在思想性上、科学性上和深度上可以相比的只有日本将棋和中国的围棋、象棋。国际象棋几乎就是融艺术、科学、知识和灵感为一炉的一种游戏。分析对局时是一种逻辑的实验使用,而在攻王的战斗中和战略问题的运筹的时候,就需要有一种创造性的灵感。不过,国际象棋不是像纵横字谜那样单纯是一种文字智力的测试。国际象棋的竞争使双方投入一场不流血的战斗,是双方思想和意志的一场激烈尖锐的战斗以及体力上的坚韧不拔的较量。尤其是,国际象棋具有古老的和显眼的历史。这种游戏对许多国家数百年来的文化阶层间有着连绵不绝的延续性。读者可以在本书中看到千年以前的局面。这些棋局，迄今尚能引起许多棋手的兴趣。或许,未来的读者们对今天这些美妙的思想产物也会同样地深感兴趣,这才是今人羡古人,后人羡今人呀。国际象棋起源的传说国际象棋是怎么产生的?这个古老而又永远是生气勃勃的智力竞技究竟是哪一个国家、哪一个人的发明?这些问题长时期以来吸引了许多学者的注意力。关于国际象棋的起源,曾经有种种饶有兴味的传说。其中较为著名的一个是这样的:在古代印度有一个国王,他拥有至高无上的权力和难以计数的财富。但是权力和财富最终使他对生活感到厌倦,渴望着有新鲜的刺激。有一天,来了一位老人,他带着自己发明的国际象棋朝见国玉。国王见了这新奇的玩意非常喜欢,就与老人对弈起来。但是他一下上手,就舍不得放下了,竟留着老人一连下了三天三夜。到了第四天早上,国王感到非常满足,就对老人说道:"你给了我无穷的乐趣。为了奖赏你,我现在决定,你可以从我这儿得到你所要的任何东西。"的确,这位国王是如此富有,难道还有什么要求不能满足吗?然而,老人却慢条斯理地回答道:"万能的王啊,您虽然是世界上最富有的人,但恐怕也满足不了我的要求。"国王不高兴了,他皱起了眉头,严肃地说道:"说,哪怕你要的是半个王国。"于是,老人说出了自己的要求:"请国王下令在棋盘的第1一格上放一粒小麦,第二格上放两粒小麦,第三格上放四粒,第四格上放八粒,就这样依次每格增加一倍小麦数量,一直到第六十四格为止。""可怜的人啊,你的要求就这么一点点吗?"国王不禁笑了起来,他立即命人取一袋小麦来,按照老人的要求数给他,但是一袋小麦很快就完了。国王觉得有点奇怪,就命人再去取一袋来……接着是第三袋、第四袋……小麦堆积如山,但是离第六十四格还远得很呐。只见国王的脸色由惊奇逐渐转为阴沉,最后竟勃然大怒了。原来国库里的小麦已经搬空了,却还只是数到了棋盘上的第五十格。国王认为老人是在戏弄他,就下令把老人杀了。其实,老人的话没有错,他的要求的确是满足不了的。根据计算,棋盘上六十四个格子小麦的总数将是一个十九位数,折算为重量,大约是两千多亿吨。而即使是现代,全世界小麦的年产量也不过是数亿吨而已。还有一个传说是这样的:大约两千年前,在印度曾发生过一场激烈的战争,战争过后,尸骨成山,血流成河,真是惨不忍睹。一个聪明人眼看这种景象,便塑造了一些形态各异、戴盔披甲的将士作为棋子。他把战场上的战斗再现在棋盘上,终于把孔武善战、恃强好胜的国王、将军及婆罗门贵族的兴趣吸引、过来。从此,以棋盘上的智力较量,取代了战场上的血腥厮杀。这些传说虽然很有意思,能给人以启示,但并不能帮助我们追根溯源,找到国际象棋的发明人。实际上,国际象棋也像其他许多游戏一样,是人类社会发展的产物。当人类的力量在解决基本的生存问题之后尚有富余时,游戏便自然产生了。不能说国际象棋是哪一个国家、哪一个人的发明,而只能说,它是劳动人民的创造,人类智慧的结晶。教案资源2：等比数列的前n项和公式的几种推导方法赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当时，①或②当q=1时，本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列它的前n项和是公式的推导方法一：当时，由得∴当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时常用公式①；当已知,q,时，常用公式②.拓展延伸：若是等差数列，是等比数列，对形如的数列，可以用错位相减法求和。例题数列的前项和，则的表达式为（）．A． B．C． D．解析：由，①可得，②②－①，得，故选（D）．点评：这个脱胎于课本中等比数列前项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：当时，由等比数列的定义得，根据等比的性质，有即∴当时，或当q=1时，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，∴=∴成等比数列.［这一过程也可如下证明］：证明二：－=－===同理，－==∴成等比数列。对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三：＝＝＝∴当时，或当q=1时，“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了间的递推关系式，充分利用了和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。教案资源3：奇妙的数字诗词(一)一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万，这么几个看来简简单单的数字，在诗人的笔下，充满了魅力，构成了一首首美妙的诗作，令人回味不已。汪曾祺先生在他的一篇散文《新校舍》中谈起过西南联大的学习生活。他写道，曾听几位名教授讲课，吴宓先生讲中西诗之比较，我很有兴趣地去听。不料他讲的第一首诗却是：一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十枝花。这首诗是北宋哲学家邵雍所作，短短的20个字中，就有10个数字，寥寥几笔，便为我们勾勒出一幅生动的画面。由于这首诗朴实有趣，朗朗上口，不少家长都教自己刚开始学话的幼子背诵。吴先生以此诗开讲，也正说明了数字在文学作品中的特殊魅力。司马相如是西汉时期著名的作家，文君夜奔相如的故事，在中国流传很广。相传司马相如做官之后，有遗弃文君之意，文君察觉到这一点，就给他写了一封信：一别之后，二地相思。只说是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传，九连环从中折断，十里长亭望眼穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十倚栏。重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒。五月石榴如火偏遇冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。这首诗写得缠绵哀婉，表达了一个女子对意中人又爱又怨，剪不断理还乱的思恋。诗中反复用了一至万13个数字，又表现了作者的聪明巧思。据说相如读后很受感动，与文君和好如初。《牡丹亭》是明代大戏剧家汤显祖的作品。《牡丹亭》第三十九出《如杭》有一段词：十年窗下，遇梅花冻九才开。夫贵妻荣，八字安排。敢你七香车稳情载，六宫宣你有朝拜，五花诰封你非分处。论四德，似你那三从结愿谐。二指大泥金报喜，打一轮皂盖飞来。这段唱词中嵌入了10个数字，非常自然贴切，我们从中可以窥见汤显祖驾驭语言的艺术。

(二)《诗经·召南·镖有梅》的开头为：“镖有梅，其实七兮，求我庶士，迨其吉兮！镖有梅，其实三兮，求我庶士，迨其今兮！”此诗暗含两道减法算式：10－3＝7，10－7＝3。之所以说暗含这两道试题，是因为此诗是把梅子（比喻为青春）看作十分，先说有七分在树上，后说树上仅剩三分，借此来说明要珍惜稍纵既逝的青春（即诗中女青年希望求婚的男青年不要贻误佳期）。南朝乐府民歌《懊侬歌》：“江陵去扬州，三千三百里。已行一千三，所有二千在”。这首写长途旅行的诗中暗含一道减法算式：3300－1300＝2000.旅行者边坐船行走，边屈指计算着还有多少行程，随即用诗的形式表达了归心似箭的心情。宋代大诗人苏东坡不仅善诗，而且还喜欢画画。一次，他画了一幅题为《百鸟归巢图》的画后，他的诗友文伦叙为此画题了这样一首“数学诗”：“天生一只又一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千万石”。分析此诗，不难看出下列的“数学含义”，即首句含有“1＋1＝2”的算式；而第二句则包含着“3×4＋5×6＋7×8＝98”的算式。这两道算式所得之数的和是“100”，正好同画题之中的“百鸟”的“百”相吻合。由此可见，这首诗不但富有文学韵味，而且还蕴含数学情趣，再加上题写在画上，“三味”合一，有谁能说这不是一首好诗？苏东坡的《水龙吟·似花还非花》词中有“春色三分，二分尘土，一分流水”之句，此句中蕴一算式，即3－2－1＝0。这是把扬花这一春色的化身拟括为“三分”，其中“二分”弃置路旁，化为尘土；另“一分”散落池水中，随流水而去。表现了浓浓的惜春之情。吴敬所著的《九章算法比类大全》中载有如下这样一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”此诗就像一道“代数应用题”一样，只要稍加思考，就能得出答案。因为从一层到七层的灯“倍加增”，所以，如果设第一层的灯数为“X”，那么，二层至七层的灯数依次为一层的2倍、4倍、8倍、16倍、32倍、64倍，把一层至七层的灯的数量依次加起来，为127“X”，并等于总灯数381.于是就可以算出第一层的灯数为3盏。3×64＝192，即塔的尖头（第七层）为192盏灯。此诗虽然是一首“数学诗”，但仍以形象具体，通俗易懂而堪称诗中佳作。清代徐子云所著《算法大成》中载有这样一首“数学诗”：“巍巍古塔在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看粥尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧”。设寺内有增X的话，据诗意可列方程式为“X/3＋X/4＝364”，最后算出寺内有僧人624。明代诗人杜痒的题为《岳阳楼》的诗，也是一首“数学诗”，诗曰：“茫茫雪浪带烟芜，天与西湖作画图。楼外十分风景好，一分山色九分湖”。所蕴算式为：10＝1＋9。因岳阳楼下临洞庭湖，又面对远处的君山，湖为近景，山为远景，根据远小近大的缘故，故有“楼外十分风景好，一分山色九分湖”之句。《算法统宗》有一首题为《百羊问题》的“数学诗”：“甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群（小半群就是四分之一群），得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？”设甲有羊X只，据诗意可列方程式“X＋X＋X/2＋X/4＋1＝100”，最后算出甲有羊36只。《算法统宗》还有一首《李三公开店》的“数学诗”：“我问开店李三公，众客来到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空，请问几客几房中？”设有房间X，据诗意可列方程式“7X＋7＝9×（X－1）”，最后算出有8个房间，63位客人。《算法统宗》还有下列这样一首