椭圆教案带详解

椭圆专项拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌一起合作画椭圆．精心设计了三个问题：1、在作图时,细绳的两端位置是固定的还是运动的？2、在作图时，绳子的长度变了没有？阐明了什么？

3在作图时，绳子长度与两定点距离大小有如何的关系？通过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.运用上述实验总结出椭圆定义；椭圆有哪些性质？1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(不小于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的原则方程和几何性质原则方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范畴－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．(·浙江宁波高二检测)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1过点(－2，eq\r(3))，则其焦距为(D)A．8 B．12C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)[解析]把点(－2，eq\r(3))代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2eq\r(3)，∴2c＝4eq\r(3).2．(·广东文)已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(B)A．2 B．3C．4 D．9[解析]∵椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝eq\r(25－m2)，∴m2＝9，∴m＝3，选B．3．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(A)A．11 B．10C．9 D．16[解析]由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．4．(·山东济宁高二检测)设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形[解析]由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形．5．对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(B)A．充足而不必要条件 B．必要而不充足条件C．充足必要条件 D．既不充足也不必要条件[解析]若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表达椭圆，故选B．1、椭圆方程的求解求满足下列条件的椭圆的原则方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且通过点M(3,2)；(2)a︰c＝13︰5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，因此a＝4，因此b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，因此椭圆的原则方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，因此c＝5，因此b2＝a2－c2＝132－52＝144，由于焦点所在的坐标轴不拟定，因此椭圆的原则方程为eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.变式探究：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知点P(0，eq\f(3,2))到椭圆的最远距离是eq\r(7)，求椭圆的原则方程.[解析]依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，因此eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋(y－eq\f(3,2))2＝a2(1－eq\f(y2,b2))＋y2－3y＋eq\f(9,4)＝－3(y＋eq\f(1,2))2＋4b2＋3.若b<eq\f(1,2)，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是(eq\r(7))2＝(b＋eq\f(3,2))2，由于b>0，从而解得b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)<eq\f(1,2)，与b<eq\f(1,2)矛盾．因此必有b≥eq\f(1,2)，此时当y＝－eq\f(1,2)时，d2有最大值，从而d有最大值，因此4b2＋3＝(eq\r(7))2，解得b2＝1，a2＝4.于是所求椭圆的原则方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.2、焦点三角形问题的探索已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面积.[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n.根据椭圆定义有m＋n＝20，又c＝eq\r(100－64)＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝eq\f(256,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).3、轨迹方程问题如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程.[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，因此|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝eq\f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).故点M的轨迹方程为eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1.变式探究：（1）已知点P(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程.[解析]设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋6,2)＝x,\f(y0＋0,2)＝y))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－6,y0＝2y))，∵点P在椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1.把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－6,y0＝2y))，代入eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，得eq\f(2x－62,8)＋eq\f(2y2,4)＝1，即eq\f(x－32,2)＋y2＝1为所求．（2）已知动点P与平面上两定点A(－eq\r(2)，0)、B(eq\r(2)，0)连线的斜率的积为定值－eq\f(1,2).(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝eq\f(4\r(2),3)时，求直线l的方程．[解析](1)设点P(x，y)，则依题意有eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，整顿得eq\f(x2,2)＋y2＝1.由于x≠±eq\r(2)，因此求得的曲线C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2))．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1,y＝kx＋1))，消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(－4k,1＋2k2)(x1、x2分别为M、N的横坐标)，由|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)×|eq\f(4k,1＋2k2)|＝eq\f(4,3)eq\r(2)，解得，k＝±1.因此直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.4、点差法的运用(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_x＋2y－4＝0__.[解析]设弦两端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，∴所求直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，变式探究：设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为eq\f(3,5).(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标．[解析](1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，则eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，∴1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入椭圆方程得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，因此线段AB中点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，纵坐标为eq\f(4,5)(eq\f(3,2)－3)＝－eq\f(6,5)，即所截线段的中点坐标为(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．5、离心率与离心率范畴问题(·甘肃金昌市永昌一中高二期末)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若直线l：x＝eq\f(a2,c)上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范畴是__[eq\f(\r(3),3)，1)__.[解析]由题意得F1(－c,0))，F2(c,0)，设点P(eq\f(a2,c)，m)，则由中点公式可得线段PF1的中点K(eq\f(a2－c2,2c)，eq\f(m,2))，∴线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1，∴eq\f(m－0,\f(a2,c)＋c)·eq\f(\f(m,2)－0,\f(a2－c2,2c)－c)＝－1，∴m2＝－(eq\f(a2,c)＋c)·(eq\f(a2,c)－3c)≥0，∴a4－2a2c2－3c4≤0，∴3e4＋2e2－1≥0，∴e2≥eq\f(1,3)，或e2≤－1(舍去)，∴e≥eq\f(\r(3),3).又椭圆的离心率0＜e＜1，故eq\f(\r(3),3)≤e＜1，故答案为[eq\f(\r(3),3)，1)．6、椭圆综合问题已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4eq\r(2).(1)求椭圆C的原则方程；(2)设A、B是直线l：x＝2eq\r(2)上的不同两点，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0，求|AB|的最小值．[解析](1)由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2),a2＝b2＋c2,S＝\f(1,2)×2a×2b＝4\r(2)))，解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\r(2),c＝\r(2))).因此椭圆的原则方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－eq\r(2)，0)、F2(eq\r(2)，0)，设直线l：x＝2eq\r(2)上的不同两点A、B的坐标分别为A(2eq\r(2)，y1)、B(2eq\r(2)，y2)，则eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－3eq\r(2)，－y1)、eq\o(BF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－y2)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－eq\f(6,y1)，不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋eq\f(6,y1)≥2eq\r(6)，当y1＝eq\r(6)、y2＝－eq\r(6)时取等号，因此|AB|的最小值是2eq\r(6).一、选择题1．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).若以A、B为焦点的椭圆通过点C，则该椭圆的离心率e＝(C)A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,7) C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,18)[解析]设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－eq\f(7,18))＝eq\f(25,9)x2，∴|AC|＝eq\f(5,3)x，由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，∴eq\f(5,3)x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(x,\f(8,3)x)＝eq\f(3,8).2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范畴是(C)A．(0,1) B．(0，eq\f(1,2)] C．(0，eq\f(\r(2),2)) D．[eq\f(\r(2),2)，1)[解析]依题意得，c<b，即c2<b2，∴c2<a2－c2,2c2<a2，故离心率e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2)，故选C．3．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(C)A．2 B．3 C．6 D．8[解析]由题意可知O(0,0)，F(－1,0)，设点P为(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2.∵x∈[－2,2]，∴当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取最大值．(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→)))max＝eq\f(1,4)(2＋2)2＋2＝6，故选C．4．(·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[解析]由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).二、填空题5．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是_3__.[解析]如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，解得y＝±eq\f(3,2)，∴|AB|＝3.∴S＝eq\f(1,2)×3×2＝3.6．(·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是__eq\f(\r(6),3)__.[解析]由题意可得B(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(b,2))，C(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(b,2))，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(c＋eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2))·(c－eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2))＝c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，化简得eq\r(3)c＝eq\r(2)a，则离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).三、解答题7．已知过点A(－1,1)的直线l与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程.[解析]设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC的中点M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),8)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),8)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))①－②，得(eq\f(x\o\al(2,1),8)－eq\f(x\o\al(2,2),8))＋(eq\f(y\o\al(2,1),4)－eq\f(y\o\al(2,2),4))＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③当x1≠x2时，③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·eq\f(y2－y1,x2－x1)＝0.∵eq\f(x1＋x2,2)＝x，eq\f(y1＋y2,2)＝y，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y－1,x＋1)，∴2x＋2·2y·eq\f(y－1,x＋1)＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.当x1＝x2时，∵点M(x，y)是线段BC中点，∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．总而言之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.8．(·吉林乾安七中高二期末)椭圆E通过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，离心率e＝eq\f(1,2)，焦点F1、F2在x轴上，过左焦点F1与A做直线交椭圆E于B.(1)求椭圆E的方程；(2)求△ABF2的面积.[解析]设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，(1)根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,\r(1－\f(b2,a2))＝\f(1,2)，))解之得a2＝16，b2＝12.因此椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)知，F1(－2,0)，F2(2,0)，AF2⊥x轴．因此直线AB的斜率为eq\f(3,4)，其方程为y＝eq\f(3,4)(x＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)y－2，,3x2＋4y2＝48，))得7y2－12y－27＝0.已知y1＝3，由y1＋y2＝eq\f(12,7)得y2＝－eq\f(9,7)，∴S△ABF2＝c·|y1－y2|＝2×eq\f(30,7)＝eq\f(60,7).C级能力拔高如图所示，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|＝eq\r(7)，S▱A1B1A2B2＝2S▱B1F1B2F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，且与椭圆相交于A，B两点的直线，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1.与否存在上述直线l使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请阐明理由．[解析](1)由|A1B2|＝eq\r(7)，知a2＋b2＝7①，由S▱A1B1A2B2＝2S▱B1F1B2F2，知a＝2c②，又b2＝a2－c2③，由①②③可知a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，假设使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx＋m，由l与n垂直相交于P点且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，得eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝1，即m2＝k2＋1.∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))·(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1＋0＋0－1＝0，即x1x2＋y1y2＝0.将y＝kx＋m代入椭圆方程，得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝eq\f(－8km,3＋4k2)④，x1x2＝eq\f(4m2－12,3＋4k2)⑤.∴0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，将④⑤代入上式并化简得：(1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0⑥，将m2＝k2＋1代入⑥并化简得－5(k2＋1)＝0，无解．即不存在符合题意的直线l.当l垂直于x轴时，满足|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1的直线l的方程为x＝1或x＝－1.当x＝1时，A，B，P的坐标为(1，eq\f(3,2))，(1，－eq\f(3,2))，(1,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(3,2))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(3,2))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(9,4)≠1.当x＝－1时，同理可得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≠1，矛盾．即此时直线l也不存在．综上可知，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立的直线l不存在．1．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值是(C)A．5 B．3或8C．3或5 D．20[解析]2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，∴m＝5或m＝3，故答案为C．2．设椭圆的原则方程为eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,5－k)＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范畴是(C)A．k>3 B．3<k<5C．4<k<5 D．3<k<4[解析]由题意得k－3>5－k>0，∴4<k<5.3．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a、b满足(C)A．a2>b2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．0<a<b D．0<b<a[解析]将方程变为原则方程为eq\f(x2,\f(1,a))＋eq\f(y2,\f(1,b))＝1，由已知得，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，则0<a<b，选C．4．(·安徽师大附中高二检测)F1、F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(C)A．7 B．eq\f(7,4)C．eq\f(7,2) D．eq\f(7\r(5),2)[解析]由已知得a＝3，c＝eq\r(2).设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，∴(6－m)2＝m2＋(2eq\r(2))2－2m·2eq\r(2)cos45°，解得m＝eq\f(7,2).∴6－m＝eq\f(5,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)sin45°＝eq\f(7,2)，故选C．5．(·长沙模拟)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(C)A．3 B．3或eq\f(3,2)C．eq\f(3,2) D．6或3[解析]由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，因此该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2c×eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2).二、填空题6．若椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一种焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6__.[解析]由题意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__；∠F1PF2的大小为__120°__.[解析]由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(16＋4－28,16)＝－eq\f(1,2).∴∠F1PF2＝120°.8．(·广西南宁高二检测)已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一种焦点，且椭圆的另外一种焦点在BC边上，则△ABC的周长是__8__.[解析]如图所示，F为椭圆的左焦点，A为其右焦点，△ABC的周长＝|AB|＋|BC|＋|AC|＝|AB|＋|BF|＋|AC|＋|CF|＝4a＝8.1．根据下列条件，求椭圆的原则方程.(1)通过两点A(0,2)、B(eq\f(1,2)，eq\r(3))；(2)通过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[解析](1)设所求椭圆的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)，∵椭圆过A(0,2)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,m)＋\f(4,n)＝1,\f(1,4m)＋\f(3,n)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝4)).即所求椭圆方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±eq\r(5))，则可设所求椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m＋5)＝1(m>0)，又椭圆通过点(2，－3)，则有eq\f(4,m)＋eq\f(9,m＋5)＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1.2．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面积.[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n.根据椭圆定义有m＋n＝20，又c＝eq\r(100－64)＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝eq\f(256,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).A级基础巩固一、选择题1．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(D)A．4 B．5C．7 D．8[解析]由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.2．椭圆的一种顶点与两焦点构成等边三角形，则它的离心率e为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由题意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相似焦点，且短轴长为4eq\r(5)的椭圆方程是(B)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1[解析]椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，∵b＝2eq\r(5)，∴a2＝25，故选B．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一种等比数列，则椭圆的离心率为(A)A．eq\f(\r(5)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]设椭圆的焦距为2c，短轴长为2b，长轴长为2a，由题意得(2b)2＝4ac，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1±\r(5),2).∵e∈(0,1)，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2).5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]由题意eq\f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).故选A．6．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[解析]由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点正好将长轴三等分，则此椭圆原则方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.[解析]∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.又两个焦点将长轴三等分，∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.∵焦点位置不拟定，∴方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.8．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝3或eq\f(16,3).[解析]当焦点在x轴上时，e＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3.当焦点在y轴上时，e＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(16,3).三、解答题9．(·江苏苏州高二检测)已知椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直.(1)求椭圆的离心率；(2)求△PF1F2的面积．[解析](1)由题意可知a2＝49，b2＝24，∴a＝7，b＝2eq\r(6)，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝eq\f(5,7).(2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，∴|PF1||PF2|＝48.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝24.B级素养提高一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq\f(1,3)，长轴长为12，则椭圆方程为(C)A．eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1或eq\f(x2,128)＋eq\f(y2,144)＝1B．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]由条件知a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(C)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]根据条件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.3．若直线y＝x＋eq\r(6)与椭圆x2＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0且m≠1)只有一种公共点，则该椭圆的长轴长为(D)A．1 B．eq\r(5)C．2 D．2eq\r(5)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(6),x2＋\f(y2,m2)＝1))，得(1＋m2)x2＋2eq\r(6)x＋6－m2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，∴椭圆的长轴长为2eq\r(5).4．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(C)A．1 B．1或2C．2 D．0[解析]由于直线过定点(3，－1)且eq\f(32,25)＋eq\f(－12,36)<1，因此点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．5．(·江西八校联考)已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范畴是(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[解析]圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c≤a，,\f(c2,a2)＋\f(c2,b2)≤1))⇒0<eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).即椭圆离心率的取值范畴是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).二、填空题6．若椭圆的一种焦点将其长轴分成eq\r(3)︰eq\r(2)两段，则椭圆的离心率为5－2eq\r(6).[解析]椭圆的一种焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，∴eq\f(a＋c,a－c)＝eq\f(\r(3),\r(2))，∴(eq\r(3)－eq\r(2))a＝(eq\r(3)＋eq\r(2))c，∴e＝eq\f(c,a)＝5－2eq\r(6).7．(·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范畴是__(0,1]∪[9，＋∞)__.[解析]办法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝eq\f(\f(\r(3)＋x,|y|)＋\f(\r(3)－x,|y|),1－\f(\r(3)＋x,|y|)·\f(\r(3)－x,|y|))＝eq\f(2\r(3)|y|,x2＋y2－3).又tan∠AMB＝tan120°＝－eq\r(3)，且由eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1可得x2＝3－eq\f(3y2,m)，则eq\f(2\r(3)|y|,3－\f(3y2,m)＋y2－3)＝eq\f(2\r(3)|y|,1－\f(3,m)y2)＝－eq\r(3).解得|y|＝eq\f(2m,3－m).又0<|y|≤eq\r(m)，即0<eq\f(2m,3－m)≤eq\r(m)，