中考数学压轴专练专题几何中的最值与定值问题教师版

【类型综述】线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，核心是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．【办法揭秘】两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，核心是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，核心是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，普通根据三角形的两边之差不大于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1图2图3如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不拟定啊．第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B有关“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，由于点B和河流是拟定的，因此点F是拟定的，于是垂线段FH也是拟定的．图4图5图6【典例分析】例1如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠（1）用含m的式子表达a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上与否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一种满足规定的点G即可，并用含m的代数式表达该点的横坐标；如果不存在，请阐明理由．图1思路点拨1．不算不懂得，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也能够写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形重复用到．3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是规定的点G．满分解答（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此因此am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．因此点E的坐标为(因此．图2图3（3）如图3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明以下：作FF′⊥x轴于F′，那么．因此．因此线段GF、AD、AE的长围成一种直角三角形．此时GF′＝4m．因此GO＝3m，点G的坐标为(－考点伸展第（3）题中的点G的另一种状况，就是GF为直角三角形的斜边．此时．因此．因此．此时．例2如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上与否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请阐明理由．图1思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题方略是：先分两种状况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表达点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列有关m的方程．满分解答设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．因此点H的坐标为．由，得．整顿，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，因此，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．因此F′．因此BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．考点伸展第（4）题也能够这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例3如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c通过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一种动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；图1思路点拨第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．满分解答当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．因此点P的坐标为(1,2)．图2考点伸展在直线l上与否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出全部符合条件的点M的坐标；若不存在，请阐明理由．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，因此此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例4如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重叠成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范畴；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和不不大于第三边，两边之差不大于第三边列有关x的不等式组，能够求得x的取值范畴．2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的状况拟定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种状况．满分解答（1）在△ABC中，，，，因此解得．边平方，得．整顿，得．两边平方，得．整顿，得因此（）．当时（满足），取最大值，从而S取最大值．图2图3②如图3，若点D在线段MA上，则．同理可得，（）．易知此时．综合①②得，△ABC的最大面积为．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下能够避免烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程．整顿，得．因此．因此．例5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），通过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一种交点为D，且CD＝4（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数体现式（其中k、b用含a的式子表达）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4)，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请阐明理由．图1备用图思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类原则讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A由CD＝4AC，得xD＝4．因此D(4,5由A(－1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数体现式为y＝ax＋a由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．因此P(1,26由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2整顿，得7a2＝1．因此．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．因此Q(2,－3a由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．因此P(1,8由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)整顿，得4a2＝1．因此．此时P．图1图2图3考点伸展第（3）题也能够这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，因此，即．解得．因此P．因此Q．将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．因此．②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a由∠AQD＝90°，得，即．解得．【变式训练】1．如图，已知，觉得圆心，长为半径作，是上一种动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．设BM=x，由切割线定理表达出MN，可证明△BNM∽△AOM，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△AOM面积．【详解】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在Rt△AOB和Rt△ANB中∴Rt△AOB≌Rt△ANB，∴AN=AO=2，解得x=，S△AOM=．故选B．2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+【答案】D【解析】【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，运用勾股定理求出CK即可解决问题.【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是边CD上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（）A．3B．2C．D．【答案】C【解析】4．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（）A．15B．16C．19D．20【答案】A【解析】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形。如图2，，5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足，则PC+PD的最小值为（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】分析：在BC上截取点E使CE=BC=2,过点E作EF//AD，交AD于点F，由可知点P线段EF上，作C’与C有关EF对称，连接DC’，则DC’的长即是PC+PD的最小值.详解：在BC上截取点E使CE=BC=2,过点E作EF//AD，交AD于点F，∴∴当点P在线段EF上是时，.6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是A．4B．4.8C．5D．5.4【答案】B【解析】作F有关AD的对称点M,连接BM交AD于E,连接EF,过B作BN⊥AC于N,已知AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD=CD=3，AD平分∠BAC,即可得点M在AC上,在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD=4，因此，由此求得BN=4.8，再由点F有关AD的对称点M可得EF=EM，因此BE+EF=BE+EM=BM，根据垂线段最短得出:BM≥BN,即BE+EF≥4.8,即BE+EF的最小值是4.8，故选B.7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质，可得C的对称点C’，然后过C’作垂线可得C’E，再根据垂线段最短可知CD+DE最短，再运用直角三角形的性质求得CC’的长，继而得知△CC’E∽△ABC，运用相似三角形的对应边成比例，求出答案.【详解】过C作C有关AB的对称点C’，然后过C’作C’E⊥BC，垂足为E，交AB于D，则C’E=C’D+DE=CD+DE最短，∵AC=4,BC=8∴AB=∴CF==二、解答题8．问题发现：（）如图①，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为__________．（）如图②，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．（）如图③，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积与否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度；若不存在，请阐明理由．【答案】(1);(2)的最小值为.(3)【解析】试题分析：（1）根据两种不同办法求面积公式求解；（2）作有关的对称点，过作的垂线，垂足为，求的长即可;(3)连接，则，，则点的轨迹为觉得圆心，为半径的一段弧．过作的垂线，与⊙交于点，垂足为，由求得GM的值，再由求解即可.试题解析：（）从到距离最小即为过作的垂线，垂足为，，∴，（）作有关的对称点，过作的垂线，垂足为，且与交于，则的最小值为的长，设与交于，则，∴，且，∴，，∴，∴，即的最小值为．（）连接，则，∴，，．9．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为理解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完毕余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的状况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【解析】试题分析：（1）连结AD，最短为AD==；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有＝，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，故AP＋BP＝BP＋PD，从而AP＋BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA＋PB＝EP＋PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．试题解析：（1）连结AD，最短为AD==；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有＝，又∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴＝，∴PD＝AP，∴AP＋BP＝BP＋PD，∴AP＋BP的最小值为BD==；考点：圆的综合题．10．已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的状况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】（Ⅰ）﹣4（Ⅱ）①3，②﹣b2+3；③8b+19（Ⅲ）①y=x2+x+7，②b=﹣（舍）或b=（舍）③b=或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16【解析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的状况下，只有一种自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种状况减小讨论即可．（Ⅲ）当c=4b2时，二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x=﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的状况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x=2b时，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2为最小值，∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函数的解析式为y=x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x=﹣b时，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的状况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16．总而言之，b=或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16“点睛”本题考察了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由于图象有最低点，因此函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，由于图象有最高点，因此函数有最大值，当x=﹣时，y=；拟定一种二次函数的最值，首先看自变量的取值范畴，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范畴时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，若P为AB边上一点以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长与否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请阐明理由．（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请问对角线PQ的长与否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请阐明理由．（3）如图2，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=AP，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请问对角线PQ的长与否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请阐明理由．【答案】（1）存在，理由见解析，当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（2）存在，理由见解析，当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．（3）存在，理由见解析，最小值为【解析】试题分析：（1）在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，使得

Rt△ADP≌Rt△HCQ，进而求出最小值；（2）设PQ与DC相交于点G，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，可得Rt△ADP∽Rt△HCQ，进而求出最小值；（3）设PQ与AB相交于点G，由平行线分线段成比例定理可得.作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，可证△ADP∽△BHQ，从而.过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，可求∠DCM=45°，从而求出CD、CK的值，可知当D与P重叠时的PQ长就是PQ的最小值.解：（1）存在，理由以下：在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（2）存在，理由以下：作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同（2）得：∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，∴=，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．（3）存在，理由以下：如图4，设PQ与AB相交于点G，∵四边形PBQE是平行四边形，∴PE∥BQ，PE=BQ，∴，∵AE=PA，∴BQ=2PA，∴=过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=5×=，在Rt△CDM中，CD=2，∴CK＞CD，∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，但是，P点已经不在CD上了，到延长线上了，∴当D与P重叠时的PQ长就是PQ的最小值，此时Q与H重叠，PQ=HD===∴最小值为12．（）【问题】如图，点为线段外一动点，且，．当点位于__________时线段的长获得最大值，且最大值为__________（用含、的式子表达）．（）【应用】点为线段除外一动点，且，．如图所示，分别以、为边，作等边三角形和等边三角形，连接、．①请找出图中与相等的线段，并阐明理由．②直接写出线段长的最大值．（）【拓展】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．【答案】（）延长线上，；（）①；②（）；【解析】（）当三点不共线时，三角形两边之和不不大于第三边，即；当在延长线上时，；当在线段上时，．故当在延长线上时，获得最大值，且为．（）①依题意得，，运用等边三角形每个角都是和角的关系得，最后根据边角边定理证明≌，从而推出．②由于，因此线段的最大值即的最大值．根据三角形两边之和不不大于第三边，因此最大时即、、三点共线，得到的最大值为，故的最大值为．由（）可知，当点在的延长线上时，获得最大值，又由于，因此此时获得最大值．如图2，点在的延长线上时，过点作轴于点．在中，由勾股定理得，因此．由于，，因此是等腰直角三角形，又由于，因此，又由于点，因此，因此点坐标为．13．如图，已知中，，边上的高，四边形为内接矩形．当矩形是正方形时，求正方形的边长．设，矩形的面积为，求有关的函数关系式，当为什么值时有最大值，并求出最大值．【答案】（1）；（2），当时有最大值，并求出最大值．【解析】【分析】见解析.【详解】解：设，则，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∵当矩形是正方形时，，∴，解得：；【点睛】运用相似的性质求解是解题的核心.14．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．直接写出、、的坐标；求抛物线的对称轴和顶点坐标；求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形与否为菱形．【答案】（1）、、．对称轴是直线，顶点坐标是．（3）以、为邻边的平行四边形不是菱形．【解析】【分析】（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标．（2）抛物线：，因此抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，﹣）．（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4），由PD∥AC，可得到有关PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），运用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，运用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，因此PD可求，而PA≠PD，因此PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【详解】（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4）．∵PD∥AC，∴，解得：．∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：，∴△PCD的面积，∴，∴△PCD面积的最大值为3，当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，，由于PA≠PD，因此以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【点睛】本题考察了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的鉴定，题目的综合性较强，难度中档．15．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：PD+DQ的最大值；②PD.DQ的最大值.【答案】（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数为45°，抛物线的解析式为y=x²-4x；(2)①PD+DQ的最大值为6;②PD·DQ的最大值为18.【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数，根据抛物线过O、A、B三点可求得解析式；（2）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，由于当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；②由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ≤6-a，得出PD•DQ≤a（6-a）=-a2+6a=-（a-3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．【详解】（1）对于直线y=x+m，∵k=1＞0，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数为45°，∵抛物线抛物线通过点O，∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，把A（4,0）B（1，-3）代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=x²-4x.则△PMH为等腰直角三角形,∴PH=PM,当PM最大时,PH最大,∴当点P在抛物线顶点处时PM取最大值,此时PM=6,∴PH的最大值为6,即PD+DQ的最大值为6;②由①可知PD+DQ≤6,设PD=a,则DQ≤6-a.设点P的坐标为(n,n²-4n),设AC的解析式为y=k₁x+b₁，将点A和点C的坐标代入得，解得，则直线AC的解析式为y=-x+4，如图所示，延长PM交AC于点N，∴PD=a=PN=[4-n-（n²-4n）]=-（n²-3n-4）=-（n-）²+，又∵-<0,0<n<4,16．问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长获得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表达）．问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请阐明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，②9；（3）P（2﹣，）（4）AC的最大值为2+2【解析】试题分析：（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长获得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到成果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN获得最大值，即可得到最大值为2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只规定出DM的最大值即可，由BC=4=定值，∠BDC=90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；试题解析：解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长获得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长获得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9；（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只规定出DM的最大值即可．∵BC=4=定值，∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2+2，∴AC的最大值为2+2．17．如图14，是的直径，，连接．（1）求证：；（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②与否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请阐明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①②【解析】（