最优控制应用基础-绪论(Nature)

《最优控制》研究生课程主讲教师:黄建明参考书最优控制－理论与应用解学书，清华大学出版社，1986年7月系统最优化及控制符曦编著，机械工业出版社，1995年９月参考书最优控制应用基础邢继祥等编著，科学出版社，2003年8月绪论三个著名的古典问题最优控制问题的提出最优控制问题举例最优控制问题的一般描述最优控制发展简史等周问题在微积分以前，已有许多人开始研究用数学方法解决最优化问题。例如欧洲古代城堡几乎都是圆形的。因为公元前187年－212年，阿基米德已证明，给定周长，圆所包围的面积最大，数学上称为等周问题。中国古代城堡却是方形的，这是因为给定周长时正方形是包围面积最大的四边形；反之给定面积时，正方形是周长最短的四边形。弧长为定值的曲线y=y(x)如何选取，才能使所围成的面积为最大。捷线问题

捷线问题，或称最短时间问题，或称最速降线问题，是这样提出来的：如果有一个质量为m的小球受到重力的作用，在垂直平面内沿金属丝无摩擦的下滑到某一点，为了使下滑时间最短，则金属丝应当具有什么形状？伽利略曾猜测金属丝形状是圆弧，但1694年贝努里证明这种金属丝是一条摆线，与利用求泛函极值的变分法所得结果一致。短程线问题以上是三个在历史上对变分法的创立产生过重大影响的命题。实际上人们做任何一件事，不管是分析问题，还是进行综合、作出决策，都要用一种标准衡量一下是否达到了最优。在科学实验、生产技术改造、工程设计，和在生产计划管理、社会经济问题中，人们总是希望采取种种措施，以便在有限的资源条件下或规定的约束条件下得到最满意的效果。

短程线问题给定一个曲面及其上面的任意两点A和B，寻找一条把A、B连接起来的曲线，使它的长度最短。这条最短的曲线叫做短程线。最优控制问题的提出

经典控制理论采用试凑法设计控制系统，系统性能不是最优的。所用性能指标如上升时间、最大超调量、调节时间、稳态误差等。这是一种综合性能指标评价方法。通过对这种评价方法的进一步发展，将对系统的要求统一在一个评价函数中，以求得在总体上达到最优。这就是最优控制思想的萌芽。性能指标(目标函数、评价函数或性能泛函)可以是产量达到最高、成本降到最低、目标方位角估计误差最小、火箭射程最远等。

维纳对控制系统的设计思想：使系统过渡过程期间误差平方的时间积分为最小。即

维纳在40年代提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念维纳美国数学家，美国全国科学院院士。控制论的创始人。1913年18岁在哈佛大学获得哲学博士学位。毕业后到英国剑桥大学在哲学家和数学家罗素指导下研究数理逻辑，后又到德国格丁根大学在著名的数学家希尔伯特指导下研究数学。1915~1919年间先后担任哈佛大学哲学讲师，缅因大学数学讲师，通用电气公司工程师等职。1919年到麻省理工学院任数学讲师，1924年任助理教授，1929年任副教授，1932年任教授,直到1960年退休。1935~1936年间曾访问过中国，担任清华大学客座教授。1933年当选为美国全国科学院院士。1935~1937年当选为美国数学会副主席。维纳维纳在数学方面的贡献有：随机过程（特别是非线性随机过程理论和布朗运动理论），广义调和分析和其它数学分析问题。他发表的重要论文有：《微分空间》(1923)，《广义调和分析》(1930)，《陶伯定理》(1932)，《复数域的傅立叶变换》(1934)等。1933年出版专著《傅立叶积分及其某些应用》，1958年出版《随机过程中的非线性问题》。在第二次世界大战期间，维纳从事防空火力自动控制的研究，当时的主要问题是如何瞄准运动目标。他为此发表论文《平稳时间序列的外推、内插和平滑》，建立了著名的维纳滤波理论，用统计方法来处理控制工程和通信工程问题。最优控制问题例产值分配问题设x(t)是某一企业在时刻t的产值的总额，这一总额分配给下面两种用途：①利润上缴及消费；②再投资提高生产力。设u(t)表示在时刻t用于再投资的产值的比值，这里0≤u(t)≤1，那么1－u(t)就表示用于利润上缴及消费的比值。假设再投资的产值用来提高生产能力，则可表示为其中x(0)=x0表示原始资金，k为适当常数(即生产的增长率正比于投资的总额)。产值增长率最优控制问题问题是选择u(t)，使得在某一固定时期t1内总的利润与消费的积累为最大值，也就是说，我们要使取最大值。对于这个问题，我们应该考虑，是要把一切产值都用于消费品的生产；还是目前作一些投资提高现有的生产能力，以便今后能生产得更多，从而也能消费得更多。我们是否要遵循先投资一切，而后再消费一切的过程。利润与消费的积累最优控制问题例升降机的最快升降问题电梯快速升降问题、机车的快速运行、轧钢机的快速控制、机械振动的快速消振、卫星的快速会合等。将被控对象简化成一个内部带控制器的物体M，其质量为1。重力加速度g垂直向下作用到M的质心上。控制器可提供一个作用于M质心上的使其垂直上升或下降的加速度u(t)。考虑到u(t)由动力设备产生，其大小必受到限制。因此有|u(t)|≤k，k为正常数。简化示意图如图所示。xgMu(t)o地面记x为M的质心距地面高度，地面上为正，地面下为负。加速度u(t)向上为正，向下为负。初始时刻t0，末端时刻tf

。最优控制问题动态系统的数学模型设，，则可用状态方程表示为端点条件初始状态末端状态，，容许控制|u(t)|≤k性能指标问题可叙述为：寻找满足|u(t)|≤k的控制，使得它把M从初态转移到末态且使过渡时间最短（即性能指标J达到最优）。最优控制问题的一般描述最优控制问题的四个要素：①受控系统或过程的数学模型②容许控制的集合Uad工程实际因素的限制决定了控制的类型。一个容许控制只能在控制的容许类中选取。

③目标集S在控制作用下系统状态所要达到的目标区。目标集可以表示为④性能指标反映和评价系统性能优劣的指标。一般可表示为性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(·)的选择，而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(·)]是控制函数u(·)的函数（称为u(·)的泛函）。一般描述最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t)，以使受控系统从某个给定的初始状态出发，在末端时刻达到目标集，并且使性能指标泛函J[u(·)]达到极小值或极大值。如果这个问题是有解的，那么就称求得的容许控制为最优控制，记为u*(t)；而系统状态方程在u*(t)作用下的解称为最优轨线，记为x*(t)，相应的极小或极大性能指标值J[u*(·)]，称为最优指标值。在数学上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛函J[u(·)]求极值的问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许控制域。

开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间变量t的函数，称为程序控制或开环控制。程序控制的主要缺点，是不能消除或抑制由于参数的变动和环境的变化对系统造成的扰动。最优控制的另一类形式是表示为状态变量的函数，实质上是一种状态反馈，称为综合控制或闭环控制。其优点是对抑制扰动有利。最优控制发展简史最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。一个最优控制问题，归结为求某个泛函的条件极值问题。研究泛函的极值在数学上已形成一个独立的分支，叫做变分法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况，因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。1958年苏联学者庞特里亚金提出了极大值原理，它是分析力学中古典变分法的推广，其突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足