线段垂直平分线

第13章全等三角形线段垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PBNABPM到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题你能根据图形写出已知、求证，并进行证明吗？逆定理可以用来证明点在直线上(或直线经过某一点).定理可以用来证明两条线段相等（或三角形是等腰三角形）.通过学习，你对这两个定理有什么认识?PAB命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB

直线MN⊥AB,垂足为C,

且AC=CB.

已知：如图，点P在MN上.求证：证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90度在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等几何语言叙述:∵PC⊥AB

AC=BC∴PA=PB

线段的垂直平分线ABPC性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等.PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上?到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.逆命题:几何语言叙述:∵PA=PB∴PC⊥AB

AC=BC例：已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。求证，点P在线段AB的垂直平分线上.FABPEO∴点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则∠POA＝∠POB＝90°(垂直的定义)。在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB(已知

)，PO＝PO(公共边)，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴AO＝BO(全等三角形的对应边相等).∴EF是线段AB的垂直平分线(线段垂直平分线的定义

).利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．

做一做实际操作，你又能发现什么？

怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可ABCP命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,求证：点P也在AC的垂直平分线上证明：连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB同理,PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AB的垂直平分线上,∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc数字符号语言这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离