差分方程的求解

本章的内容1.离散时间信号-序列2.离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积6.反卷积第一页第二页，共91页。第一节

前言第二页第三页，共91页。一、离散时间系统研究的发展史离散时间系统研究的历史：17世纪的经典数值分析技术—奠定它的数学基础。20世纪40和50年代的研究抽样数据控制系统60年代计算机科学的发展与应用是离散时间系统的理论研究和实践进入一个新阶段。1965年库利（J.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey)—发明FFT快速傅里叶变换。同时，超大规模集成电路研制的进展使得体积小、重量轻、成本低的离散时间系统得以实现。用数字信号处理的观点来认识和分析各种问题。20世纪未，数字信号处理技术迅速发展。如通信、雷达、控制、航空与航天、遥感、声纳、生物医学、地震学、核物理学、微电子学…。第三页第四页，共91页。二、离散时间系统、连续时间系统时域分析对比时域经典求解方法：相同。先求齐次解，再求特解。对于连续时间系统离散时间系统数学模型：微分方程描述差分方程描述时域卷积（和）求解方法：相同，重要。变换域求解方法：拉普拉斯变换与傅里叶变换法z变换与序列傅里叶变换、离散傅里叶变换运用系统函数的概念：处理各种问题。第四页第五页，共91页。三、离散、连续时间系统研究的差异研究二者差异主要方面：1、数学模型的建立与求解2、系统性能分析3、系统实现原理4、连续时间系统注重研究一维变量的研究，离散时间系统更注重二维、三维或多维技术的研究。离散时间系统的优点：1、精度高，便于实现大规模集成2、重量轻、体积小3、灵活，通用性第五页第六页，共91页。四、离散时间系统研究第六页第七页，共91页。第二节

离散时间信号——序列第七页第八页，共91页。一、离散时间信号概念第八页第九页，共91页。离散信号概念各线段的长短——各序列值的大小。x(n)图解表示：n——横坐标并取整数;纵坐标;

－－表示原点位置第九页第十页，共91页。

离散信号的运算二、离散信号的运算第十页第十一页，共91页。离散信号的运算第十一页第十二页，共91页。举例6.1第十二页第十三页，共91页。离散信号的运算第十三页第十四页，共91页。离散信号的运算第十四页第十五页，共91页。典型离散信号１）单位样值序列（单位冲激序列）：ＵnitSample/UnitImpulse三、典型离散信号第十五页第十六页，共91页。典型离散信号n=0,其值=1第十六页第十七页，共91页。典型离散信号第十七页第十八页，共91页。典型离散信号第十八页第十九页，共91页。典型离散信号第十九页第二十页，共91页。典型离散信号第二十页第二十一页，共91页。典型离散信号复序列可用极坐标表示：第二十一页第二十二页，共91页。

离散信号的分解四、离散信号的分解第二十二页第二十三页，共91页。作业下册P367-1，7-2，7-4。第二十三页第二十四页，共91页。第三节

离散时间系统的数学模型第二十四页第二十五页，共91页。一、离散时间系统数学模型数学模型离散时间系统x(n)y(n)第二十五页第二十六页，共91页。二、线性、时不变系统的基本特性LTI基本特性线性时不变离散系统满足：均匀性和叠加性。离散时间系统离散时间系统离散时间系统第二十六页第二十七页，共91页。二、线性、时不变系统的基本特性LTI基本特性离散时间系统x(n-N)y(n-N)离散时间系统x(n)y(n)第二十七页第二十八页，共91页。基本单元三、离散时间系统的基本单元基本单元:第二十八页第二十九页，共91页。举例6.2

整理得：第二十九页第三十页，共91页。常系数线性差分方程：（递归关系式）数学模型四、离散时间系统的数学模型第三十页第三十一页，共91页。差分方程与微分方程：离散、连续模型之间联系五、离散、时间系统的数学模型联系第三十一页第三十二页，共91页。举例3-5假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少？解：设第n个月兔子对的数目为y(n)。可知：y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5…可以想到：第n个月时，应有y(n-2)对兔子具有生育能力，因而从y(n-2)对变成2y(n-2)对；另外，还有y(n-1)-y(n-2)对兔子没有生育能力；（新生的）即其差分方程为：y(n)=2y(n-2)+[y(n-1)-y(n-2)]整理得：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0

费班纳西（Fibonacci）数列第三十二页第三十三页，共91页。作业P377-5，7-8，7-9，7-10第三十三页第三十四页，共91页。第四节

常系数线性差分方程的求解第三十四页第三十五页，共91页。

差分方程的求解方法求解方法：一、求解常系数线性差分方程的方法第三十五页第三十六页，共91页。时域经典求解：差分方程的时域经典求解二、时域经典求解第三十六页第三十七页，共91页。差分方程的求解1、齐次解第三十七页第三十八页，共91页。差分方程的求解2、特解第三十八页第三十九页，共91页。差分方程的求解3、完全解—矩阵形式第三十九页第四十页，共91页。差分方程的求解第四十页第四十一页，共91页。差分方程的求解第四十一页第四十二页，共91页。完全响应的分解：差分方程的求解3、完全响应的分解第四十二页第四十三页，共91页。差分方程的求解第四十三页第四十四页，共91页。举例3.6:第四十四页第四十五页，共91页。举例3.6:第四十五页第四十六页，共91页。举例3.6:第四十六页第四十七页，共91页。举例3.6:第四十七页第四十八页，共91页。举例3.8:第四十八页第四十九页，共91页。举例3.8:第四十九页第五十页，共91页。举例3.8:第五十页第五十一页，共91页。举例3.10:第五十一页第五十二页，共91页。举例3.10:第五十二页第五十三页，共91页。举例3.10:第五十三页第五十四页，共91页。举例3.10:第五十四页第五十五页，共91页。作业P387-12，7-14，7-17,7-23第五十五页第五十六页，共91页。第五节

离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应第五十六页第五十七页，共91页。单位样值响应第五十七页第五十八页，共91页。举例6.6:第五十八页第五十九页，共91页。举例6.6:第五十九页第六十页，共91页。作业P407-32，7-33第六十页第六十一页，共91页。第六节

卷积（卷积和）第六十一页第六十二页，共91页。一、卷积和1.卷积和方法求响应第六十二页第六十三页，共91页。卷积和方法求响应第六十三页第六十四页，共91页。举例4.15：第六十四页第六十五页，共91页。举例4.15：第六十五页第六十六页，共91页。举例4.15：第六十六页第六十七页，共91页。举例4.15：第六十七页第六十八页，共91页。举例4.16：第六十八页第六十九页，共91页。举例6.7：第六十九页第七十页，共91页。作业P417-31第七十页第七十一页，共91页。第七节

解卷积（反卷积）第七十一页第七十二页，共91页。2.解卷积求激励或冲激响应第七十二页第七十三页，共91页。解卷积求激励或冲激响应第七十三页第七十四页，共91页。解卷积求激励或冲激响应发射天线目标接收天线第七十四页第七十五页，共91页。复习1.离散时间信号-序列2.离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积6.反卷积第七十五页第七十六页，共91页。1.离散时间信号-序列各线段的长短——各序列值的大小。x(n)图解表示：n——横坐标并取整数;纵坐标;

－－表示原点位置第七十六页第七十七页，共91页。离散信号的运算第七十七页第七十八页，共91页。１）单位样值序列（单位冲激序列）典型离散信号第七十八页第七十九页，共91页。第七十九页第八十页，共91页。

离散信号的分解第八十页第八十一页，共91页。线性时不变离散系统满足：均匀性和叠加性。2.离散时间系统数学模型第八十一页第八十二页，共91页。基本单元:离散时间系统的基本单元第八十二页第八十三页，共91页。常系数线性差分方程：（递归关系式）离散时间系统的数学模型第八十三页第八十四页，共91页。