平面直角坐标系(坐标法)

【复习与回顾

】刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点A都可以由惟一的实数x确定第一页第二页，共43页。2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定【复习与回顾

】第二页第三页，共43页。3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定【复习与回顾

】yxzP’OPRQM第三页第四页，共43页。第一节平面直角坐标系----坐标法第四页第五页，共43页。【小试牛刀

】1.

选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正方形的顶点。变式训练如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？第五页第六页，共43页。2.

已知A(1,1)和B(6,2)，求线段AB的垂直平分线l的方程。【小试牛刀

】第六页第七页，共43页。oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距

．

||MF1|-|MF2||

=2a<2c双曲线定义的符号表述：复习回顾

——双曲线第七页第八页，共43页。x2,y2前面的系数，哪个为正，则在哪一个轴上

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹.标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断双曲线的标准方程第八页第九页，共43页。实际应用实际应用实际应用实际应用直角坐标系实际应用第九页第十页，共43页。

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).信息中心观测点观测点观测点PBACyxO声响定位问题第十页第十一页，共43页。

yxBACPo解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)

设P（x,y）为巨响为生点，

由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故

，PO的方程为

，P在BC的垂直平分线PO上y=－x因A点比B点晚4s听到爆炸声，故

.|PA|－|PB|=340×4=1360由双曲线定义P点在以A,B为焦点的双曲线上a=

,c=

,b2=

.6801020c2-a2=10202-6802=5×3402第十一页第十二页，共43页。

yxBACPo所以双曲线的方程为：用y=－x代入上式，得

答:巨响发生在信息中心的西偏北450,距中心你能总结用坐标法解决问题的步骤吗？第十二页第十三页，共43页。

yxBACPo解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)

设P（x,y）为巨响为生点，

由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故

，PO的方程为

，P在BC的垂直平分线PO上y=－x因A点比B点晚4s听到爆炸声，故

.|PA|－|PB|=340×4=1360由双曲线定义P点在以A,B为焦点的双曲线上a=

,c=

,b2=

.6801020c2-a2=10202-6802=5×3402建系设点列式并化简第十三页第十四页，共43页。

yxBACPo所以双曲线的方程为：用y=－x代入上式，得

答:巨响发生在信息中心的西偏北450,距中心说明第十四页第十五页，共43页。解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明坐标法第十五页第十六页，共43页。

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx第十六页第十七页，共43页。

解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为A(0,0),B(c,0),F

.

，(A)FBCEOyx所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为

，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0

因为=

，所以=

。(x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)因此，BE与CF互相垂直.(x/2,y/2)(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y)(c/2,0)第十七页第十八页，共43页。

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？(A)FBCEOyx第十八页第十九页，共43页。练习，证明：三角形的三条高线交于一点第十九页第二十页，共43页。练习，证明：三角形的三条高线交于一点证明:如图，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高，取

，

建立直角坐标系，边AB所在的直线为x轴边AB上的高CO所在的直线为y轴设A,B,C的坐标分别为（-a,0),(b,0),(0,c)，则kAC=

,kBC=

.因为，所以kAD=

,kBE=

.由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为

。……①直线BE的方程为

。……②由方程①与②

，解得

。所以，AD,BE的交点H在y轴上。因此，三角形的三条高线相交于一点x=0c/a-c/bb/c-a/c第二十页第二十一页，共43页。坐标法(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应注意什么？第二十一页第二十二页，共43页。1、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹解：设两定点为A,B，

，

，AB所在直线为x轴建立直角坐标系以线段AB的中点为原点设动点为M（x,y)，由已知得到

，即

，整理得

。则A,B的坐标分别为

，

。所以，点M的轨迹方程为

。（-3，0）（3，0）建系求坐标找关系式代入坐标化简方程。小试牛刀第二十二页第二十三页，共43页。变形、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的和为10，求点M的轨迹方程解：设两定点为A,B，

，

，AB所在直线为x轴建立直角坐标系以线段AB的中点为原点设动点为M（x,y)，由已知得到

，根据椭圆的定义，M的轨迹是以A,B为

，长轴长2a=

的椭圆，则c=

,a=

,b=

.则A,B的坐标分别为

，

。所以，点M的轨迹方程为

。（-3，0）（3，0）建系求坐标找关系式定义判断焦点10354小试牛刀第二十三页第二十四页，共43页。变形、△ABC中，若AB的长度为6，中线CD的长为4，建立适当的坐标系，求点C的轨迹方程解：

，

，AB所在直线为x轴建立直角坐标系以线段AB的中点为原点设动点为C（x,y)，由已知得到

，即

，整理得

。则A,B的坐标分别为

，

。所以，点C的轨迹方程为

。（-3，0）（3，0）建系求坐标找关系式代入坐标化简(x≠±3)(x≠±3)小试牛刀第二十四页第二十五页，共43页。2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知∣BC∣=4，点A到定直线l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程。小试牛刀第二十五页第二十六页，共43页。2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知∣BC∣=4，点A到定直线l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程。小试牛刀第二十六页第二十七页，共43页。解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明坐标法课堂小结第二十七页第二十八页，共43页。完第二十八页第二十九页，共43页。。。MNOPXy

例2圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。

解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0)，O2(2,0)，设P(x,y)则PM2=PO12-MO12=同理，PN2=第二十九页第三十页，共43页。1、点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点是（）A.(4,-3)B.(9/2,0)C.(-1/2,3)D.(6,-9)3、已知M(-2,-3)与N(1,1)是两个定点，点P(x,3）在线段MN的垂直平分线上，则点P的横坐标x的值是（）A.-35/6B.3/2C.7/2D.32、已知△ABC的顶点A(3,-7)，B(5,2)，C(-1,0)，则△ABC的重心G的坐标是（）A.(7/3,-5/3)B.(7/3,-3)C.(-1/3,5/3)D.(-1/3,-3)4、y轴存在一点P，满足P与A(4,-6)的距离等于5，则点P的坐标为

。第三十页第三十一页，共43页。平面直角坐标系中的伸缩变换第三十一页第三十二页，共43页。思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。xO

2y①上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，

保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’,y’)，坐标对应关系为：

我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。第三十二页第三十三页，共43页。怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?

在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。xO2y上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’,y’),坐标对应关系为：②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.第三十三页第三十四页，共43页。

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?xyO

在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)，坐标对应关系为:③。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换第三十四页第三十五页，共43页。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义:的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；①第三十五页第三十六页，共43页。

例1在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：(1)由伸缩变换得到代入