人教版物理必修第二册同步讲练第6章 圆周运动 2　向心力 第2课时　对向心力概念的理解及表达式的应用 (含解析)

第2课时对向心力概念的理解及表达式的应用核心素养目标物理观念向心力表达式的理解。科学思维通过实验会分析向心力的来源，掌握向心力大小的表达式并会应用公式进行计算，会分析简单情境中的向心力的来源和向心力的应用。核心要点一向心力来源分析[问题探究]1.如图所示，滑冰运动员转弯时什么力充当向心力？答案地面对运动员的摩擦力充当向心力。2.如图所示，小球绕O′在水平面内做匀速圆周运动，可以说小球受重力、绳的拉力和指向O′的向心力吗？答案不能，向心力是按效果命名的力，物体实际受到的沿半径方向的合力即为向心力，不是另外受到的某一个力。[探究归纳]1.向心力的来源向心力是从力的作用效果命名的，它不是物体受到的力，可以由重力、弹力等各种性质的力，或者是几个力的合力、某个力的分力提供。当物体做匀速圆周运动时，合外力提供向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力提供向心力。2.常见的几个实例分析(1)重力(万有引力)提供向心力如地球卫星绕地球做圆周运动。(2)弹力提供向心力如图所示，在光滑水平面上，将绳子的一端系在O点，绳子另一端系一小球，使小球在水平面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供。(3)静摩擦力提供向心力如图所示，木块随圆盘一起在水平面内运动，即做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势方向是沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反。(4)合力提供向心力如图所示，汽车过拱桥时，经最高点时其向心力由重力和支持力的合力提供。(5)向心力由某一力的分力提供如图所示，小球做圆锥摆运动，绳的拉力可分解为水平分力F1和竖直分力F2，则向心力可认为由绳拉力的水平分力提供，当然也可以认为是由重力和绳的拉力的合力提供。【特别提示】对于匀速圆周运动，向心力是做圆周运动的物体所受的合力，其大小恒定。[试题案例][例1](多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是()沿半径方向上的合力A.绳的拉力B.重力和绳拉力的合力C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析分析向心力来源时沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选项C、D正确。答案CD[针对训练1]如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。小球的向心力由以下哪个力提供()A.重力B.支持力C.重力和支持力的合力D.重力、支持力和摩擦力的合力解析小球受到竖直向下的重力作用和垂直于漏斗壁向上的支持力作用，两者的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，选项C正确。答案C核心要点二向心力表达式的理解及应用[问题探究]如图所示，圆盘在水平面内匀速转动，角速度为4rad/s，盘面上距离圆盘中心0.1m的位置有一个质量为0.1kg的小物体随圆盘一起转动。则小物体做匀速圆周运动的向心力大小为多少？答案小物体所需要的向心力为F＝mω2r将ω＝4rad/s，r＝0.1m，m＝0.1kg，代入得F＝0.16N。[探究归纳]1.向心力大小Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝mωv。2.向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。3.向心力的作用效果改变线速度的方向，由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。[试题案例][例2](多选)一质点沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该质点的运动，下列说法正确的是()隐含：质点的线速度大小不变A.质点运动的线速度越来越大B.质点运动的向心力越来越大C.质点运动的角速度越来越大D.质点所受的合外力不变解析质点沿螺旋线自外向内运动，说明运动轨迹半径R不断减小，根据其走过的弧长s与运动时间t成正比，由v＝eq\f(s,t)可知，线速度大小不变，故A错误；根据F向＝meq\f(v2,R)，可知v不变，R减小时，F向增大，故B正确；根据ω＝eq\f(v,R)可知，v不变，R减小时，ω增大，故选项C正确；线速度大小不变、方向变化越来越大，说明其速度变化量越来越大，加速度变大，合外力增大，故选项D错误。答案BC[针对训练2](多选)如图所示，在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球，小球用细线连接起来，当转台匀速转动时，两小球与横杆不发生相对滑动，下列说法正确的是()A.两小球的速率一定相等B.两小球的角速度一定相等C.两小球的向心力一定相等D.两小球到转轴的距离与其质量成反比解析两小球随着杆及转台一起转动，角速度一定相等，两小球用一细线连接，两小球的向心力等于细线的张力，有m1ω2r1＝m2ω2r2，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)，选项B、C、D正确；由v＝ωr知，r不一定相等，所以v不一定相等，故选项A错误。答案BCD核心要点三匀速圆周运动的特点及解题方法1.质点做匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。2.匀速圆周运动的三个特点(1)线速度大小不变、方向时刻改变。(2)角速度、周期、频率都恒定不变。(3)向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。3.解答匀速圆周运动问题的方法[试题案例][例3]长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动合力一定指向圆心(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示。当细线与竖直方向的夹角是α时，求：(1)线的拉力F大小；(2)小球运动的线速度的大小；(3)小球运动的角速度及周期各是多少。【审题指导】(1)要讨论以上几个问题，应该选择的研究对象是谁？(2)研究对象做圆周运动的轨道平面、圆心、半径是怎样的？(3)研究对象受到几个力作用？哪些力提供向心力？(4)解决此问题用到的规律和方法有哪些？如何把向心力和圆周运动知识结合起来？解析如图所示，小球受重力mg和细绳的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球所受力的合力指向圆心O′，且是水平方向。(1)由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，细线对小球的拉力大小为F＝eq\f(mg,cosα)。(2)由牛顿第二定律得mgtanα＝eq\f(mv2,r)，由几何关系得r＝Lsinα，所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v＝eq\r(gLtanαsinα)。(3)小球运动的角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(\r(gLtanαsinα),Lsinα)＝eq\r(\f(g,Lcosα))，小球运动的周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(Lcosα,g))。答案(1)eq\f(mg,cosα)(2)eq\r(gLtanαsinα)(3)eq\r(\f(g,Lcosα))2πeq\r(\f(Lcosα,g))[针对训练3](多选)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则()A.A球的角速度必小于B球的角速度B.A球的线速度必小于B球的线速度C.A球运动的周期必大于B球运动的周期D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力解析两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F合＝eq\f(mg,tanα)，由牛顿第二定律可得eq\f(mg,tanθ)＝mω2R＝eq\f(mv2,R)＝eq\f(m·4π2R,T2)所以ω＝eq\r(\f(g,Rtanθ))①v＝eq\r(\f(gR,tanθ))②T＝2πeq\r(\f(Rtanθ,g))③筒壁对小球的弹力FN＝eq\f(mg,sinθ)④由于A球运动的半径大于B球运动的半径，由①式可知A球的角速度必小于B球的角速度；由②式可知A球的线速度必大于B球的线速度；由③式可知A球的运动周期必大于B球的运动周期；由④式可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力。选项A、C正确。答案AC核心要点四变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果：(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向力，改变线速度的大小。(2)指向圆心的分力Fn：产生向心力，改变线速度的方向。2.一般的曲线运动(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。[试题案例][例4]一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图甲、乙、丙、丁分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为哪种是正确的？为什么？解析汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力的合力如图中的Ft所示。同时汽车做曲线运动，必有向心力，向心力如图中的Fn所示。汽车所受合外力F为Ft、Fn的合力，如图中F所示，丙图正确。答案丙图正确原因略[针对训练4](多选)下列说法正确的是()A.圆周运动中指向圆心的合力提供向心力B.圆周运动中，合外力一定等于向心力C.向心力只改变速度方向D.向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向答案AC1.(多选)关于向心力的下列说法中正确的是()A.向心力不改变做圆周运动物体速度的大小B.做匀速圆周运动的物体向心力即为物体受到的合力C.做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的D.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力解析向心力始终与物体速度垂直，它不改变速度大小，只改变速度的方向，选项A正确；做匀速圆周运动物体的合外力始终指向圆心，提供向心力，选项B正确；做匀速圆周运动物体的向心力大小不变，方向时刻改变，为变力，选项C错误；物体因向心力的作用才做匀速圆周运动，选项D错误。答案AB2.如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球在细线的拉力作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。小球所受合力的大小为()A.meq\f(v2,r) B.meq\f(v,r)C.mvr2 D.mvr解析根据牛顿第二定律得，小球的向心力由细线的拉力提供，则有F＝meq\f(v2,r)，故选项A正确。答案A3.如图所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动。当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能()A.沿F1的方向 B.沿F2的方向C.沿F3的方向 D.沿F4的方向解析因小球做匀速圆周运动，所以其所受各力的合力一定指向圆心，充当向心力，若受杆弹力为F1、F2、F4时与重力的合力均不可能沿杆指向圆心，只有杆的弹力为F3时合力才可能沿杆指向圆心，故选项C正确。答案C4.如图所示，水平转台上有一个质量m＝1kg的小物体，离转台中心的距离为r＝0.5m。求：(1)若小物体随转台一起转动的线速度大小为1m/s，物体的角速度多大；(2)在第(1)问条件下，物体所受的摩擦力为多大；(3)若小物体与转台之间的最大静摩擦力大小为4.5N，小物体与转台间不发生相对滑动时，转台转动的最大角速度应为多大？解析(1)已知v＝1m/s，r＝0.5m，则由v＝ωr得ω＝eq\f(v,r)＝2rad/s(2)小物体随转台一起转动，向心力由转台对小物体的静摩擦力提供，由牛顿第二定律得：物体所受的摩擦力F静＝Fn＝meq\f(v2,r)＝2N(3)当小物体所受静摩擦力最大时，角速度最大，有Fm＝mωeq\o\al(2,m)r得ωm＝eq\r(\f(Fm,mr))＝3rad/s答案(1)2rad/s(2)2N(3)3rad/s基础过关1.(多选)做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是()A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C.向心力的大小等于物体所受的合外力D.向心力和线速度的方向都是不变的解析做匀速圆周运动的物体的向心力来源是物体所受的合外力，指向圆心，且与线速度方向垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力。选项A、D错误，B、C正确。答案BC2.在水平路面上转弯的汽车，向心力是()A.重力和支持力的合力 B.静摩擦力C.滑动摩擦力 D.牵引力解析注意水平路面与倾斜路面的区别。汽车受重力、支持力及静摩擦力的作用，重力与支持力在竖直方向上，静摩擦力在水平方向提供汽车在水平面内转弯所需的向心力，选项B正确。答案B3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力大小之比为()A.1∶4 B.2∶3C.4∶9 D.9∶16解析由于m1∶m2＝1∶2，r1∶r2＝1∶2，ω1∶ω2＝θ1∶θ2＝4∶3，向心力F＝mrω2，故F1∶F2＝4∶9，C正确。答案C4.链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是()解析设链条长为L，链球圆周运动的向心力是重力mg和拉力F的合力，向心力Fn＝mgtanθ＝mω2(Lsinθ)，解得ω2＝eq\f(g,Lcosθ)，故选项D正确，A、B、C错误。答案D5.如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上。M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M()A.所需要的向心力变为原来的4倍B.线速度变为原来的eq\f(1,2)C.半径r变为原来的eq\f(1,2)D.M的角速度变为原来的eq\f(1,2)解析转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m的重力，所以向心力不变，故选项A错误；转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，D错误；根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的eq\f(1,4)，C错误；根据v＝rω，线速度变为原来的eq\f(1,2)，故B正确。答案B6.如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()A.A的速度比B的大B.A与B的向心力大小相等C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小解析A、B两个座椅具有相同的角速度，根据公式：v＝ωr，A的运动半径小，A的速度就小，故A错误；根据公式F＝mω2r，A的运动半径小，A的向心力就小，故B错误；对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ＝mω2r，则得tanθ＝eq\f(rω2,g)，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误；缆绳拉力T＝eq\f(mg,cosθ)，可见A对缆绳的拉力较小，故D正确。答案D能力提升7.小球在半径为R的光滑半球容器内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角，且0<θ<eq\f(π,2))与线速度大小v、周期T的关系。(小球的半径远小于R，重力加速度