2022-2023学年陕西省西安市长安区高二年级下册学期第二次月考数学（文）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市长安区高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】求解集合B，然后根据交集的定义计算即可.【详解】解：集合或，又集合，所以.故选：C2．设复数（其中i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简，然后计算即可.【详解】方法一：，所以方法二：由复数的性质可知故选：A3．过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据题意，设为直线上任意一点，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.【详解】设为直线上任意一点因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切所以点在圆外或圆上，即直线与圆相离或相切，则，即，解得，故的最大值为.故选：A.4．已知，，，则A． B．C． D．【答案】C【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【详解】∵＝，且=＝，∴，．∴．故选：C．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在的学生人数是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由频率直方图中的小长方形的面积即为该范围内的频率,先求出体重在的频率,再由样本的容量求人数即可.【详解】解:由频率直方图得,体重在的频率为,所求人数为.故选：C.6．运行如图所示的程序，输出的结果为A．12 B．10 C．9 D．8【答案】D【详解】列表得出S，k的值如下：S014134012136410933280k139278124372921876561据此可得：输出值为：.本题选择D选项.7．若变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（

）A． B．0C． D．【答案】A【分析】先作出可行域，然后平移直线，得到的最小值．【详解】作出可行域如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），其中，，．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值．故选：A．【点睛】本题考查简单的线性规划，正确作出可行域是解题的关键，属于基础题．8．“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉､元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛､方垛､刍童垛､三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】由于件数成等差数列，单价成等比数列，因此总价是一个数列的和，这个数列是由等差数列与等比数列相乘得到的，用错位相减法求和．【详解】由题意总价，，所以，所以，解得，故选：A.【点睛】本题考查数列的应用，考查错位相减法求和．掌握错位相减法求和方法是解题基础．9．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】由题意可得：，设被污损的数字为x，则：，满足题意时，，即：，即x可能的取值为,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若最小，则（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，根据正弦的定义、抛物线定义，结合已知最小，根据正弦函数的单调性可以知道最小，也就是当与抛物线相切时，最小，设的直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程的判别式进行求解即可.【详解】据题意，不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为.由题意可得.因为，所以，若最小，则最小，即最小，由题知当与抛物线相切时，最小.设直线的方程为，则.与联立，得消去得，由，得，所以，点坐标为，所以，此时四边形是正方形，轴，所以.故选：D【点睛】本题考查了抛物线物定义，考查了利用直线与抛物线位置关系求参数，考查了数学运算能力.11．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点的个数为A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】先讨论函数的性质，再根据函数性质画出草图；将零点的问题，转化为函数交点的问题，数形结合处理.【详解】因为，又函数是奇函数，故而是以4为周期的函数；同时,故关于直线对称，又=0的根个数，即方程的根的个数，即函数与函数图像的交点的个数.根据其在上的解析式，以及，画出两个函数的图像如图所示：由图可知，两函数有5个交点，故在区间的零点个数为6.故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性以及函数的零点个数的判断，属综合题.12．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面，再结合三角形内切圆性质求出长即可作答.【详解】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，显然，而，则，又，有，由圆的切线性质知，，在中，，则，于是得椭圆长轴长，即，又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此，所以椭圆的离心率.故选：A二、填空题13．已知向量满足且，则的夹角为.【答案】【解析】根据向量的数量积公式运算即可.【详解】设的夹角为,则,解得,又,故.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,属于基础题.14．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则m的取值范围是.【答案】【分析】设，函数在上单调递减，计算，即可得到答案.【详解】恒成立，设，函数在上单调递减，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．已知为正实数，且，则的最小值为．【答案】【详解】试题分析：因为为正实数，且，所以当且仅当即时取等号，所以的最小值为．【解析】基本不等式．【名师点睛】本主要考查基本不等式的应用以及构造基本不等式的拆项、拼凑等基本方法，属难题．第一难点是将正确拆分为形式，第二难点是乘以进行变形拼凑基本不等式的形式，最后利用基本不等式求最小值时还得注意应用基本不等式的条件，即保证两个数均为正数、乘积为定值且能取到等号，得到正确结果．16．函数的零点个数为.【答案】2【解析】分段求函数零点个数，当时，利用零点存在性定理判断.【详解】当时，，解得：，当时，单调递增，并且，，，所以在区间内必有一个零点，所以零点个数为2个.故答案为：2三、解答题17．已知、、分别是锐角三个内角、、的对边，面积为，且．(1)求；(2)求取最大值时角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理以及辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；（2）求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得当取最大值时对应的角的值.【详解】（1）解：由题知，则有①，在中，由余弦定理可得，代入①式可得，即，由辅助角公式可得，因为，则，所以，，解得.（2）解：因为是锐角三角形，且，由，解得，所以，，因为，则，故当时，即当时，取最大值.18．设数列的前项和为，，(1)求证：是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据可得，结合等比数列的定义可证结论正确；（2）根据，利用裂项求和法可求出结果.【详解】（1）因为，所以当时，，所以，所以，所以，所以，又，，所以，所以，所以，且，所以，故是等比数列，首项为，公比为.（2）由（1）知，且，，，，所以.19．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，（I）证明：平面平面；（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）3+2【分析】（1）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（2）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.连接EG，由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.20．已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答.（2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得，所以所求椭圆方程为．（2）设，，当轴时，直线AB：，由得，，当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得，把代入椭圆方程，整理得，，，当时，，当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，，综上得，面积，所以面积的最大值.21．已知函数．(1)试讨论的单调性；(2)若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导后，分别在、、和的情况下，根据的正负可确定的单调性；（2）根据（1）中单调性可确定，采用分离变量的方式可将恒成立的不等式化为，由此可确定的取值范围.【详解】（1）由题意知：定义域为，；①当时，恒成立，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；②当时，恒成立，在上单调递增；③当时，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；④当时，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，，恒成立，，，又，，，，，即实数的取值范围为.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线：，（为参数），将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线交于不同的两点A，B，点M为抛物线的焦点，求的值．【答案】（1），（2）【分析】（1）由曲线的参数方程得到普通方程，经变化后得到曲线：，化为极坐标即可，利用两角差的正弦公式可得直线的极坐标方程为，进而可化为直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，将直线代入到圆的方程中，利用参数的几何意义结合韦达定理即可得结果.【详解】解：（1）将曲线：(为参数)，消参得，经过伸缩变换后得曲线：，化为极坐标方程为，将直线的极坐标方程为，即，化为直角坐标方程为．（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数）设对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入中，得．因为在内，所以恒成立，由韦达定理得所以．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程及其应用、