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文档简介
电磁场的基本性质光学薄膜系统特性计算膜层参数的变化对光谱特性的影响多层周期膜及规整介质高反膜膜系的分析设计方法薄膜光学的基础理论第二讲——分层介质的电磁场及其光学特性工作波段:光学薄膜厚度与考虑的波长在同一个数量级薄膜的面积与波长相比可认为无限大薄膜材料各向同性、均匀薄膜材料为非铁磁性材料光穿过膜层而非沿着膜层在膜层内传播几个假设条件电磁波谱电磁波谱(续)两束光产生干涉的条件:频率相同振动方向一致位相相同或位相差恒定薄膜的干涉薄膜的双光束干涉
薄膜的双光束干涉(续)薄膜的双光束干涉(续)
多光束干涉强度的计算原则上和双光束完全相同,也是先把振动迭加,再计算强度,差别仅在于参与干涉的光束由两束增加到多束,至于计算方法则以采用复振幅最为方便。薄膜的多光束干涉1.1.1分层介质的电磁场注意,在研究光学薄膜时,我们取如图所示的坐标系统,零点位于基底与膜层的交界面上,z轴垂直于膜面由基底指向入射介质,x、y轴位于膜面所在平面内,其中x轴垂直于纸面指向里,x、y、z轴构成右手螺旋定律。
为了方便,我们将光学薄膜抽象成如图所示的物理模型。两种均匀的各向同性的介质1和2被一系列相互平行的平板介质分隔开。这里所谓各向同性就是说介质的介电常数和电导率在与膜面平行的平面内是不变的。介质2是平板介质的载体,也就是说平板介质是覆盖在介质2上面的。所以介质2通常被称为基底(substrate),通常入射光从介质1入射,因此介质1被称为入射介质。多数情况下入射介质为空气,覆盖在基底上的平板介质就是光学薄膜,通常情况下,光学薄膜的纵向厚度(z向)为光的波长数量级(um量级),而其横向大小(x、y向)为mm量级,因此相对其纵向厚度,我们可以认为光学薄膜的横向大小为无穷大,也就是说光学薄膜在其膜面方向上是无限扩展的。分层介质的电磁场(续)
当一束平面电磁光波从入射介质入射到光学薄膜上,则会产生一束反射光和一束透射光。假设:①入射介质、薄膜及基底都非磁性②薄膜中没有体电荷出现则各介质中电磁场的麦克斯韦方程满足如下的形式:(1.1.1)注意:采用的是高斯单位制分层介质的电磁场(续)
毫无疑问,在σ
和ε连续的点(即在入射介质,薄膜的各层中以及基底内),电矢量ﻉ和磁矢量H是满足上面的方程的,在σ
和ε不连续的点(即在膜层的边界处),电矢量ﻉ和磁矢量H的切向分量是连续的。因此,研究薄膜中的电磁场的性质实际上就是在给定的边界条件下求解上面的电磁场方程。分层介质的电磁场(续)
假设入射光是圆频率为ω的单色平面电磁波,则电矢量ﻉ
和磁矢量H
可以表示如下:其中矢量E和矢量H只与空间变量有关将上式代入方程(1.1.1),化简后可得:(1.1.2)分层介质的电磁场(续)定义两个参数:波长λ和波数k波长λ定义为光波在一个周期内所走的路程,即:波数k定义为2π
单位内所包含的波长的数目,即:分层介质的电磁场(续)因此,方程(1.1.2)可简化为:(1.1.3)(1.1.2)分层介质的电磁场(续)为了求解矢量方程组(1.1.3),我们首先需要将它化为标量方程组。为此,我们将电磁场分为s分量和p分量,其中s分量又称为横电波分量,它的特征是电矢量方向垂直于入射面*1。p分量又称为横磁波分量,它的特征是电矢量方向位于入射面内,相应的,其磁矢量方向垂直于入射面(这就是横磁波的由来)*2。*1:入射面就是光线的入射方向和被入射表面的法线方向所构成的平面。*2:注意:在规定s、p分量时都是以电矢量方向作为参考的。分层介质的电磁场(续)为了便于说明,我们将膜系结构图进一步简化为下图:说明返回分层介质的电磁场(续)S分量情形:
在图1.2中,规定入射角为γa,入射介质的介电常数为εa,基底的介电常数为εs。下面分别就s、p偏振两种情形求解方程(1.1.3)。(1.1.3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)分层介质的电磁场(续)(1.1.3)注:将方程(2)(3)代入方程(4)可得:(1.1.5)运用变量分离法,假设:代入方程(1.1.5),可得:(1.1.6)方程的左边只与y有关,而右边只与z有关,因此只能等于一个常数,此处假设这个常数为k2α2。其中k为入射波的波数,α为一个待定常数。因此可根据方程(1.1.6)得:(1.1.7)分层介质的电磁场(续)(2)(3)(4)
这个方程的解的形式为g(y)=exp(±ikαy),而由于α是一个待定常数,它的正负符号也是没有确定的,因此我们取解的形式为g(y)=exp(ikαy)并不会影响最终结果。因此Ex可以写成下面的形式:从方程(3)可得:从方程(2)可以看出,Hy也有类似的形式,因此假设:分层介质的电磁场(续)(1.1.7)(3)(2)到目前为止,我们可以将s分量的E、H分别写成下面的形式:(1.1.8)这种形式的E、H满足方程(1)、(3)、(5)、(6),由方程(2)、(4),我们可以得到关于u、v的方程组:(1.1.9)分层介质的电磁场(续)(1)(2)(3)(4)(5)(6)下面来考查一下u、v的连续性。在ε连续的点,也就是在膜层或基底和入射介质中,根据方程(1.1.9)可以看出u、v是连续的,而在ε不连续的点即在膜层的边界处,根据边界条件可知,E、H的切向分量是连续的,而从(1.1.8)可以看出,E、H的切向分量为u(z)exp(ikαy)和-v(z)exp(ikαy),而这个连续的条件在任意y处都成立,因此u(z)
和v(z)也必定连续,因此,u(z)、v(z)在膜层、基底和入射介质中处处连续。分层介质的电磁场(续)(1.1.9)(1.1.8)下面来确定常数α。入射单色平面电磁波的电矢量可以表示为:其中,矢量k表示入射波的波矢,矢量r表示观察点处的坐标矢量{x,y,z},在入射介质中:其中k为光在真空中的波数,矢量l是光波传播方向的单位矢量,从图1.2可以看出:分层介质的电磁场(续)因此,入射波的电矢量可以表示为:与(1.1.8)比较可得:经过同样的推导过程可得:因此:这就是著名的折射定律,这个方程对于吸收介质也是成立的,只要将介电常数换成复介电常数就可以了。事实上,对于膜层中的任意一层膜,假设它的介电常数为ε,折射角为γ都有:分层介质的电磁场(续)(1.1.8)对于p偏振情形,经过类似的推导,可得:和(1.1.14)方程(1.1.8)、(1.1.9)和(1.1.13)、(1.1.14)是求解分层介质的电磁场的最基本的方程。分层介质的电磁场(续)(1.1.8)(1.1.9)(1.1.13)这一节的主要任务是推导出分层介质的幅度透射率和反射率的通用表达式。下面分s、p偏振两种情形来讨论。S偏振情形方程(1.1.9)在入射介质和基底中也是成立的。在入射介质中:将方程(1.1.9)的第一个方程两边对z求导,再将第二个方程代入就可得到:(1.1.15)令:则方程(1.1.15)可化为:1.1.2分层介质的幅度透射率和反射率(1.1.9)方程(1.1.15)的两个线形独立解exp(-ikqaz)和exp(+ikqaz),由于我们选择的时间因子为exp(iωt),则第一个线性独立解代表沿+z方向传播的波,第二个线性独立解代表的是沿-z方向传播的波。对于如图1.2中选择的坐标系。入射波的形式为exp(ikqaz),反射波的形式为exp(-ikqaz)。因此从(1.1.9)的第一个方程很容易得到:(入射波)而对于反射波,同样可以得到:分层介质的幅度透射率和反射率(续)(1.1.9)(1.1.15)假设膜系与入射介质的交界面处的z坐标为za(如图),该处的入射光和反射光的电矢量的切向分量的幅度分别为EA和ER,则对于入射光:对于反射光:同样对于透射光,假设膜系与基底交界面处的电矢量的切向分量的幅度为ET,则:其中因此,对于s偏振,其幅度透射率和反射率可定义为:注意:用切向分量定义幅度透射率和反射率的原因主要是:①只关心沿膜面垂直的方向传播的能量。②符合垂直入射时的常识。分层介质的幅度透射率和反射率(续)
幅度反射率不会随着入射光、反射光及透射光的电矢量的幅度变化而变化,它是由膜系本身的性质决定的,因此,我们可以用透射光的电矢量的幅度来归一化场矢量,也就是假设ET=1。另外,注意方程(1.1.9)中的u、v的解不仅依赖于z,而且还依赖于k,因此,从现在开始我们将u、v分别写成u(z,k)、v(z,k)来表示这种依赖关系。分层介质的幅度透射率和反射率(续)(1.1.9)从u、v在基底与膜系的交界面处的连续性可以得到方程(1.1.9)的初始条件为:(1.1.16)在外边界za处,场的幅度是入射光和反射光的幅度的和,则:从这两个式子可以推出:注意,这里假设ET=1,所以:(1.1.17)方程(1.1.17)的推导过程中,我们没有作任何假设,因此,方程(1.1.17)的结果是普遍适用的。分层介质的幅度透射率和反射率(续)(1.1.9)到目前为止,我们可以根据初始条件(1.1.16)求解方程组(1.1.9),并进而根据(1.1.17)求解出膜系的幅度反射率和幅度透射率。这是求解膜系光谱系数的一种方法,但我们后面会介绍更简便的递推方法。分层介质的幅度透射率和反射率(续)(1.1.9)(1.1.16)(1.1.17)P偏振情形经过类似的推导,我们可以从形式上得到与s偏振相同的结果((1.1.16)和(1.1.17))。只是其中qa和qs取值不同。分层介质的幅度透射率和反射率(续)(1.1.16)(1.1.17)为了方便,我们引入折射率的概念(电磁波在真空中的速度c与在介质中的速度v之比称为介质的折射率n),我们规定折射率和介电常数的关系为:对于吸收介质,则规定:参数α可以表示成:折射定律可以表示成我们熟悉的形式:参数qa和qs也可以方便地写成下面的形式:S偏振情形
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