第三章 第四讲

上节内容回顾随机过程的基本概念随机过程的统计特性平稳随机过程的概念各态历经性第三章随机信号分析引入平稳随机过程是信号和噪声分析时非常重要的过程，有着非常重要的性质。第三章随机信号分析平稳随机过程自相关函数与功率谱密度函数3.4.1平稳随机过程自相关函数的性质3.4.2平稳随机过程的功率谱密度第三章随机信号分析3.4.1平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数特别重要。其统计特性，可通过自相关函数来描述；自相关函数与谱特性有着内在的联系。设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数具有下列主要性质：

第三章随机信号分析3.4.1平稳随机过程自相关函数的性质（1）R(0)=E[ξ2(t)]=S[ξ(t)的平均功率]（2）R(∞)=E2[ξ(t)][ξ(t)的直流功率]（3）R(τ)=R(−τ)[τ的偶函数]（4）︱R(τ)︳≤R(0)[R(τ)的上界]（5）R(0)−R(∞)=σ2[方差，ξ(t)的交流功率]当均值为0时，有R(0)=σ2。

第三章随机信号分析引入:在平稳随机过程的研究过程中,功率谱比频谱更有意义,因为功率谱中不再有随机变量.功率谱密度的计算

非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有3.4.2平稳随机过程的功率谱密度第三章随机信号分析

以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。第三章随机信号分析在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率： 上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。注:R(0)=E[ξ2(t)]=S[ξ(t)的平均功率]E=ST第三章随机信号分析各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。 【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换： 即 式中 第三章随机信号分析功率谱密度P

(f)具有非负性和实偶性，即有 和 这与R(

)的实偶性相对应。

第三章随机信号分析[例3-2]求随机相位余弦波

(t)=Acos(

ct+

)的自相关函数和功率谱密度。 【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为第三章随机信号分析 因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有 所以，功率谱密度为 平均功率为第三章随机信号分析3.5高斯随机过程3.5.1定义3.5.2重要性质3.5.3一维概率密度函数3.5.4误差函数和Q函数第三章随机信号分析3.5.1定义高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程。定义：若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,...）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下第三章随机信号分析式中为归一化协方差矩阵的行列式，即

R(tj,tk)−aj

akσjσk＝第三章随机信号分析3.5.2重要性质a)高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。

因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。第三章随机信号分析3.5.2重要性质b)广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。若随机过程广义平稳，则a,σ为常数，R(tj,tk)只与τ有关，与时间起点无关，因为fn由这些只与一维、二维有关的量决定，所以fn只与τ有关，与时间起点无关，因此是狭义平稳的。第三章随机信号分析3.5.2重要性质c)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。任意两个随机变量之间，如果独立，则一定互不相关，反之，只有高斯分布随机变量成立。互不相关<=>E[X1X2]=E[X1]E[X2]<=>bx1x2=0E[X1X2]−E[X1]E[X2]

σx1σx2＝bx1x2<≠>R[X1,X2]=0

统计独立<=>fn(x1,x2,…xn)=f(x1).f(x2)…f(xn)即：n维概率密度函数等于各一维概率密度函数乘积第三章随机信号分析3.5.2重要性质∵互不相关，∴bjk=0,B为单位矩阵，︱B︱=11j=k︱B︱jk=0j≠k∴fn中只考虑j=k即可，两个∑可以用一个表示第三章随机信号分析3.5.2重要性质∴统计独立第三章随机信号分析3.5.2重要性质d)高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。e)若干个高斯过程之和的过程仍是高斯型

第三章随机信号分析3.5.3一维概率密度函数高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为

式中a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f(x)曲线为：第三章随机信号分析正态分布概率密度函数（1）f(x)对称于x=a这条直线。

(3)a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=0,σ