三角形的高中线与角平分线

八年级数学上分层优化堂堂清十一章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线（解析版）学习目标：1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.老师对你说：一、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；三角形高线中的一些注意点：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.二、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.图一图二图三三角形中线中的一些注意点：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.三、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.ABD注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).ABDCC三角形角平分线中的一些注意点：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.基础提升教材核心知识点精练知识点1：三角形的高【例1-1】画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是(

)A. B.

C. D.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查的是三角形的高线的有关知识，直接利用三角形的高线的画法进行求解即可．

【解答】

解：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的一条高线，

由此可知：△ABC中AB边上的高画法正确的是C选项，

故选C．

【例1-2】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是(

)

A.DE是△ACE的高 B.BD是△ADE的高

C.AB是△BCD的高 D.DE是△BCD的高【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查三角形高线的意义，掌握“从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足和顶点之间的线段叫做三角形的高”是解决问题的关键.对每一个选项进行分析即可．

【解答】

解：A.DE是△ACE的高，不符合三角形高的定义，故此说法不正确；

B.BD是△ADE的高，不符合三角形高的定义，故此说法不正确；

C.AB是△BCD的高，不符合三角形高的定义，故此说法不正确；

D.DE是△BCD的高，符合三角形高的定义，故此说法正确．

故选D．

知识点2：三角形的中线【例2-1】如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE=6，S△ABD=15，则CD=

．

【答案】5

【解析】【分析】

由三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．

本题主要考查三角形的面积以及三角形的高线，中线，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．

【解答】

解：∵S△ABD=15，AE是BC边上的高，

∴12BD⋅AE=15，

则12×6BD=15，

解得：BD=5，

∵AD是【例2-2】如图，的周长为，，边上的中线，的周长为，求的长．

【答案】8【分析】设，，由是边上的中线，得，结合的周长为、的周长为，联立方程组，求解方程组即可．解：设，，是边上的中线，，由题意得：，，即：，解得，的长为8．【点拨】本题考查了中线的性质，三角形周长，二元一次方程组解决实际问题；解题的关键是通过中线得到线段之间的数量关系，并建立相关方程．知识点3：三角形的角平分线【例3-1】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，

（1）的高线是___________；（2）是三角形_________的角平分线．【答案】【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可．解：∵于点H，∴的高线是；∵，∴是三角形的角平分线，故答案为：，．【点拨】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义．【例3-2】如图，AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM//AC交AB于点M，PN//AB交AC于点N.求证：PA平分∠MPN．

【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠PAM=∠PAN，

∵PM//AC，PN//AB

∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，

∴∠APM=∠APN，

∴PA平分∠MPN．

能力强化提升训练1.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【答案】C【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用．解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，∵AD为BC边上的中线，∴则BD＝CD＝x，∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，则2x＋x＝15，且y＋x＝12，由2x＋x＝15解得：x＝5，∴y＋5＝12，解得：y＝7，∴三边长分别为10，10，7（符合题意），∴AC＝7；当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，则2x＋x＝12，且y＋x＝15，由2x＋x＝12解得：x＝4，∴y＋4＝15，解得：y＝11，∴三边长分别为8，8，11（符合题意），∴AC＝11，综上所述：AC的长为7或11，故选：C．【点拨】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．如图，，分别是的高，，，，求的长．

【答案】．【分析】根据三角形的面积公式即可求得．解：，分别是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【点拨】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．3.如图，A，B，C分别是线段、、的中点，若的面积是70，那么的面积是()

A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】连接，，，根据三角形的中线将这个三角形的面积平均分成相等的两份可知，的面积等于的面积，从而得到的面积等于的面积的两倍，同理可求的面积与的面积也是的面积的两倍，从而得解．解：如图，连接，，，

、分别是线段，的中点，∴，，同理：，，的面积．，故选：A．【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．4.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70°．

(1)∠AOB的度数为______；

(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数．

【答案】解：(1)125°；

(2)∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，∠ABC=60°，

∴∠DAC=90°−∠C=90°−70°=20°，∠BAC=180°−∠ABC−∠C=50°

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠CAE=12∠CAB=25°，

∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25°−20°=5°，

【解析】【分析】

(1)根据角平分线的定义得出∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°，进而可求解；

(2)根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出∠CAE=12∠CAB=25°，根据∠DAE=∠CAE−∠CAD，即可求解．

本题考查了三角形高线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

【解答】

解：(1)解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，

∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，

在△ABC中，∠C=70°，

∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°，

堂堂清填空题（每小题4分，共32分）1.下列图形中，正确画出AC边上的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据高的定义即可求解．【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，故选：D．【点评】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．2.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（

）A．BC=2CD B．∠BAE=C．∠AFB=90° D．AE=CE【答案】D【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=故选项正确，不符合题意；C．∵AF是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．【点评】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．3.在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的△ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分△ABC的面积，则AD是△ABC的(

)A.高线

B.中线

C.角平分线

D.对角线【答案】B

【解析】解：∵线段AD等分△ABC的面积，

∴AD是△ABC的中线，

故选：B．

根据三角形的中线，高，角平分线的性质可求解．

【点评】本题主要考查三角形的中线，高，角平分线，理解等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．4.如图，在△ABC中，已知点D，E分别为边BC，AD上的中点，且S△ABC=4 cm2，则A.2 cm2 B.1 c【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是三角形的中线，三角形的面积有关知识，首先根据E为AD的中点，可得BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，然后根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，可得S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，所以S△BEC=12S△ABC，据此求出S△BEC的值为多少即可．

【解答】

解：∵E为AD的中点，

∴BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，5.以下说法正确的有(

) ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】B

【解析】解：三角形的中线、角平分线都是线段，不是射线，故 ①错误，

三角形的三条高所在直线相交于一点;②正确；

三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点;③正确；

三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分;④正确；

直角三角形的三条高相交于直角顶点.⑤正确．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，根据三角形的高、中线、角平分线的定义及性质逐项判断即可．6.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则SA.2cm2 B.1cm2 C.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角形的中线，以及三角形的面积，根据三角形中线的概念和三角形面积公式得出各个三角形之间的关系是解题关键.根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分分析即可．

【解答】

解：∵D是BC的中点，S△ABC=4cm2，

∴S△ABD=S△ACD=2cm2，

∵E是AD的中点，

∴S△BDE=12S△ABD7.如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多5cm，与的和为11cm，则的长为（

）A．3 B．5 C．8 D．6【答案】C【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；又，易求的长度．解：是边上的中线，为的中点，．的周长比的周长多5cm，．又，．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的中线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．8.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【详解】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．填空题（每小题4分，共20分）9.如图所示，，是的两条高，若，，则的长为________cm．【答案】【分析】根据三角形的面积公式可得的面积，从而可得，然后进行计算即可解答．解：，，的面积，，∵，，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．10.如图，为的中线，为的中线，若的面积为20，，则中边上的高为___________．【答案】4【分析】根据中线的性质可得，则，设中边上的高为h，再根据三角形的面积公式求解即可．解：∵为的中线，，∴，∵为的中线，∴，设中边上的高为h，∵，∴，解得：，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分．11.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EFBC于点F．若S△ABC=24，BD4，则EF长为【答案】3【分析】因为S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD；所以S△BDE=【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，∴S△ABD=12同理，BE是△ABD的中线，S△BDE∵S△BDE=12∴12即1∴EF=3．故答案为：3．【点评】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点。理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．12.如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________．AE【分析】根据三角形的高的概念即可得答案．解：∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，∴BE⊥AC，即AE⊥BH，∴△BHA中边BH上的高是AE，故答案为：AE【点拨】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．13.如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．20°或60°．【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．解：如图所示，当∠BFD=90°时，∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；如图，当∠BDF=90°时，同理可得∠BAD=30°．∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，∴∠BFD=∠BCE=50°，∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．故答案为：20°或60°．【点拨】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．解答题（共6小题，48分）14.（8分）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：

作边上的高；过点D作直线的垂线，垂足为E；点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）【答案】(1)见分析；(2)见分析；(3)【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可．（2）根据垂线的定义画出图形即可．（3）根据点到直线的距离，判断即可．（1）解：如图，线段即为所求．

（2）如图，线段即为所求．（3）到直线的距离是线段的长度．故答案为：．【点拨】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型．15.（6分）如图，，分别是的高，，，，求的长．

【答案】．【分析】根据三角形的面积公式即可求得．解：，分别是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【点拨】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．16.（8分）如图，的中线相交于点F，图中与面积相等是三角形有____个（不含）；若的面积是，求四边形的面积．【答案】(1)3/三；(2)【分析】（1）利用三角形中线的性质即可推导出，问题即可解答；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用①，②，再用即可表示出，问题即可得解．解：（1）∵分别是的中线，∴，∴，，即，∴与面积相等的三角形共有3个故答案为：3（2）如图，∵和是的两条中线，∴，即①，②，①−②得：，∴．∴．∵【点拨】本题主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．17.（7分）如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？【答案】，理由见分析【分析】由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，，最后等量代换即得出．解：．理由：∵是的角平分线，∴．∵，∴．∵，∴，∴．【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质．掌握角平分线分得的两个角相等和两直线平行，内错角相等，是解题关键．18.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．19.（10分）如图，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，点E在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长；（2）图中共有----------------条线段；（3）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．解：（1）∵D是