拉氏变换及其计算机公式

时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。一、拉氏变换的定义已知时域函数了㈢，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为外）=匚处）•/匾中 （2-45）式中，了（©称为原函数，卢⑹称为象函数，变量占为复变量，表示为2b+胛（2-46）因为卢⑹是复自变量占的函数，所以『（矽是复变函数。有时，拉氏变换还经常写为（2-47）拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为厂佃⑹〕=穴）=二『⑹苴膈洌* （2-48）上式为复变函数积分，积分围线亡为由2b-衣到* 爬的闭曲线。二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为*爽)击=1l (2-50)所以赍㈤=E)uJ>c(f)(251)说明:单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的1宽度为”，脉冲的高度为^，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度”趋2于无穷小时，高度匚趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数『⑥表示成单位高度的带有箭头的线段。由单位脉冲函数况幻的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是°-。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是°-,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有°-，°，°，三种情况。为不丢掉信号中位于f二°处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为°-。(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为fu>0山)=［乃履(2—52)又经常写为由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为因为$[1做)]=W)阶跃信号的导数在f二。处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为°-。单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为2>o<0(2-55)图2-15单位斜坡信号

另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为山)"1(f)(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式adv-uv-vdu£[顷)]=(2-57)-I:(2-57)m5-16指玫信号指数信号指数信号的数学表示为4^1=r-e-^dt=r5 =-^―拉氏变换为虹 虹 s-a(2-59)拉氏变换为正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为M(2-60)因为1 S+ 占+j©s 责目―脾一0+M)l>—抻「『十妒一L+责』L+履(2-61)由欧拉公式剥潸-cosi^剥潸-cosi^+Jsin猊(2-62)L次*=zfcosat+Jsin斑］= T+J v十拼『十履(2-63)分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为

Zjfsin勰］=「 7-£+廿(2-64)同时，余弦信号的拉氏变换为i[cos就]== ve十拼(2-65)常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。表2-1常见函数的拉普拉斯变换表敏函数BW序号兼函散FE原海故.「31__ »(f)fi拓3 -CO皿 > 1Lif)Dc-flCSttlA4f3r10j+ct•h+抒京4“一】W—口！llL4'C-j-—orihw5'12L」l皿6H|_”-心二7%矿厂.U酣 (_i|■式〉L—3eT*fib^wr71--itrfiiLwr14 j1e必m—诲e'^clwf^2-1 常醐前敷的拉普拉斯业换最三、拉氏变换的一些基本定理

若函数M珈的拉氏变换分别为眼E，则血龙们+4珏)]*.而+卜风⑴(2-66)延迟定理若函数J0)的拉氏变换为昨)，则£[/0-划*•叩)(2-67)图£-17信弓的时间建迅亲戮囹信号了(f)与它在时间轴上的平移信号"L)的关系见图2-18所示。该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。图2-Ifl雄齿波信号例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。解：该信号为周期信号。因此，已知信号第一周期的拉氏变换为理值）时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为=*（£）+想5耳®+厂皿『1同+…锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，锯齿波信号的拉氏变换为（3）衰减定理若函数了(f)的拉氏变换为尸⑴，则£广加"仙+司(2-68)该定理说明了时间信号了心在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。例2-10试求时间函数兀)=矿*泗成的拉氏变换。解：因为正弦函数的拉氏变换为£［泗湖二点所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出亳琶—杰血1勰=-—w—-仙十+护另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。微分定理若函数兀)的拉氏变换为页占)，且兀)的各阶导数存在，则了们各阶导数的拉氏变换为£土兀）=*（品-廊）(2-69)4令川］—昨）・川）・孔）3 」 （2-70）「号拘二即外蚪必-土"-产％)「号拘二即外蚪必-土"-产％)(2-71)当所有的初值（各阶导数的初值）均为零时，即/(o)=/(o)=.-/H-^o)=o则|£手抱鼻」 (2-72)(2-73)(2-73)L%处）二打（2L就」 （2-74）证明：（在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证）由拉氏变换的定义式利用分部积分公式:一Jvdzi占 & U*二顼Q）+【£[,（d]二义）ss\_d^ _所以证毕。若函数兀）的拉氏变换为珏），则M）亦!册扩（。）5）定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。式中为函数了"）的在£=0时刻的积分值。积分定理与微分定理互为逆定理。（6）初值定理若函数了"）的拉氏变换为研占），且在‘二°十处有初值N°*），则血）=略•四）（2-76）即时域函数的初值，可以由变换域求得。证明由微分定理令即可证得。注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为抑，而不是/（°）或者«。例如阶跃信号节），可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为/9+）=临矿F（7）终值定理若函数40的拉氏变换为页占），且了伽）存在，则川E*）（2-77）即时域函数的终值，也可以由变换域求得。证明：由微分定理■s~5tdi=sF（s）-f^）或-广顷=瓯知）-了（0）］hm日7二1因为I。 ，所以方程左边

蚂r4/W,/以T：=/W|c=/H-/to)Lvu LOu方程右边帆［职（2-/（硕二蛉日畦）-/（°）所以证毕。（8）卷积定理若时域函数丽珈分别有拉氏变换*值）顼川），时域函数的卷积分为[ED"』"/又常表示为了"(2-79)则其拉氏变换为电以刷渤函）5这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。证明可参考其他教材。时域函数在变换域中表示有两个优点。一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。表2-2拉普拉斯变换的基本性质表rp-g-1姓质者即常St定理恒醒定理时间虬庵定理甄性定爆租分定现枷也是理检毋定怦LIhLrp-g-1姓质者即常St定理恒醒定理时间虬庵定理甄性定爆租分定现枷也是理检毋定怦LIhL⑴+Of抓口=廿、⑴L「|Ji(i—rJ/dCrJdlT=F,C.CFsCf'J•-J-： -推分定圾LCt七tS 一ql -厂叩3~=/")十)liiiL&F(i)/(co)=UrruF(?)：-r0=—pif：■J-WFL) 11(0)四、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换将时域函数了"）变换为复变函数g相应地它的逆运算可以将复变函数卢S）变换回原时域函数/们。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知押（占）反求了"）时，通常采用的方法是部分分式法。由于工程中常见的时间信号/"），它的拉氏变换都是s的有理分式。因此，可以将卢⑴分解为一系列的有理分式§（E）之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项再所对应的时域函数了*），合成时域函数典）。上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。拉氏变换归（占）通常为s的有理分式，可以表为时==如尸十知-伊心十’，'+3卢十如职）广+"1广+~广+ +的（2-82）式中，何）是分子多项式，瘫）是分母多项式，系数以"/J和如如••如!-1互均为实数，椭，理为正整数，而且招〉m。在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程H（s）二°,其所有的解时二技…可称为曲的极点。这样押（£）可以表示为+gj+_.•+_5_s~si)—% £—e二F")+时§)+…+皿)二立龌©心(2-83)由复变函数的留数定理，可以确定卢值）的各分式E（s）,求得拉氏反变换为川5时疽叫2一84）下面分别讨论各种计算情况。1.』（"二0全部为单根归（占）可以分解为处q+M…+里£—弓—%s-s^(2-85)其中f(2-86)为复变函数卢佰）对于极点'二、的留数。则拉氏反变换为兀)或*¥(2-87)例2-11已知："占'+第+闩，求拉氏反变换义）。解：将卢（£）分解为部分分式F®= e=e= +_£a_'*疽+么十6值+2)值+3)5+25+3极点为：勺=-2元=-3，则对应极点的留数为C\二云由）・@+2）Lt=^||5.-2二T4=网），仙+3）Lt=J=2

则分解式为查拉氏变换表可得2.瘫）二0有重根只考虑一个单根情况为设电为单根，方为楸重根，渔则分解式为查拉氏变换表可得2.瘫）二0有重根只考虑一个单根情况为设电为单根，方为楸重根，渔+1二就，则尹G可以展开式中，与单根刃相对应的系数q的求法与前述相同。与重根刃相对应的各系数％’,'=12'切，由留数定理可得计算公式如下：弓粗=网）,仙-的）L（2-89）(2-90)因为所以，拉氏反变换为必）二『典）］二4(2-91)例2-12求”'亦+3）（$+计的拉氏反变换40。解:矶曷可以分解为系数C1,C2，分别对应单根气二°，习二T，由前述单根情况计算为系数£疝勺1分别对应二重根s3=-111于是，卢值）的分解式为查表求得拉氏反变换为3.A（s）=0有共轭复数根时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根（互不相同）来看待。但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。拉氏变换中有如下的变换对：

L[sinm]=z①£L[cos<?t]=222L厂部血战 L厂部血战 p+a尸+温L厂*cosdt= \——§（8十招十由例2-13已知'一^十公十34，试求其拉氏反变换兀）。第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为="3）-1。= * _ 5~仙十3尸十5’~ （5+3）2+52 佰十3尸十5’第三步，写出拉氏反变换。因为尸［1］二制43」广'7~~I~~7二日顷£诒此长+才+宁」所以/*)二如)+3矿豪g点—2疽亳in勺五、拉氏变换法求解微分方程列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：方程两边作拉氏变换。将给定的初始条件与输入信号代入方程。⑶写出输出量的拉氏变换。(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。fflI1!3［就位我虫蹈电容的初始电例2-14%滤波电路如图2-19所示，输入电压信号牌二矿，压吃（°）分别为0V和1V时，分别求时域解约们。电容的初始电解：RC电路的微分方程为皿学+项）=顽）£［配空见盘）］方程两边作拉氏变换成I 配』也®］+ ）］二即业）］由拉氏变换的线性定理得出由拉氏变换的微分定理得配虬（°）1+甘瓜）二也曲 反=1。=仲，耳（时=2将系统参数值 s带入整理得0.h/0)s+5U.⑹=•八'—输出的拉氏变换为 •姑十1）图两种初值时RC滤彼割,改时间响国（1）幻（0）二敏时，"=即+1广厂万O.k+5 5 4顼）=5O.k+5 5 4（2）吃（。）二1矿时，"川）=疝并B=厂商虬（加5.1（沪心-皿拉氏变换及反变换公式1.拉氏变换的基本性质齐次性L[af(t)]=aF(s)叠加性叠加性L[f(t)土f(t)]=F(s)土F(s)2微分定一般形式理初始条件为0时一般形式积分定理L[或尹]=sF(s)-f(0)dtL[]=s2F(s)-sf(0)-f(0)dt2L[』Rf)]=snF(s)-切sn-kf(k-1)(0)dtnk=1dk-1f(t)f(k-1)(t)= dtk-1L[dnf(t)]=snF(s)dtnL[ff(t)dt]=尝+^^

s s汕f(t)(dt)2]=尝+tba^+[fff(t)(出叫=0s2 s2 sL['・Jf(t)(dt)n]=尝+1L—[^.ff(t)(dt)n]sn sn-k+1 t=0初始条件为0时延迟定理(或称t域平移定理)L["f(t)(dt)n]=尝snL[f(t-T)1(t-T)]=e-tsF(s)5衰减定理(或称$域平移定理)L[f(t)e-at]=F(s+a)6终值定理limf(t)=limsF(s)t—s sT07初值定理limf(t)=limsF(s)t—0 s—s8卷积定理L[ftf(t-T)f(T)dT]=L[ftf(t)f(t-T)dT]=F(s)F(s)01 2 01 2 1 22.常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)11<5(t)121—e-Ts5t(t)=T5(t-nT):一13s1(t):一14tTz(Z-1)2

5t2T2z(z+1)2(z—1)36sn+1tnn!lim5旦(-^)"顼n!danz—e-aT7s+ae-atz一e-aT8(s+a)2te—atTze—aT(z一e—aT)29as(s+a)1—e-at(1—e-aT)z(z-1)(z-e-aT)10b一ae—at—e-btz z(s+a)(s+b)z—e-aT z—e-bT11①s2+①2sinwtzsinWTz2-2zcos①T+112s2+W2coswtz(z—coswT)z2一2zcoswT+113①(s+a)2+w2e—atsinwtze-aTsinWTz2—2ze-aTcoswT+e-2aT14s+a(s+a)2+w2e-atcoswtz2一ze-aTcoswTz2一2ze-aTcoswT+e-2aT15s-(1/T)lnaat/tz-a3.用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式B(s)bsm+bSm-1HFbs+b / 、F(s)= = m— 1 (n>m)A(s)asn+asn-1ffas+a式中系数a,a，…,a,a，b,b,.•，,b都是实常数；m,n是正整数。按代数01 n-1n01m-1m定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。①A(s)=0无重根这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。F(s)=二+-^+…+-^+…+-^=才二s-ss-ss-ss-s.]s-s式中，s,s，…，s是特征方程A(s)=0的根