广州中考数学 圆的综合 综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，点A、B、C分别是OO上的点，CD是OO的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC．若/B=60°，求证：AP是O0的切线；若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4,求BE・AB的值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【解析】求出/ADC的度数，求出ZP、ZACO、ZOAC度数，求出ZOAP=90°,根据切线判定推出即可；求出BD长，求出△DBE和厶ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD，OA，TZADC=ZB，ZB=60°,ZADC=60°，TCD是直径，.ZDAC=90°，.ZACO=180°-90°-60°=30°，TAP=AC，OA=OC，.ZOAC=ZACD=30°，ZP=ZACD=30°.ZOAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA丄AP,TOA为半径，.AP是OO切线.(2)连接AD，BD，TCD是直径,ZDBC=90°,TCD=4,B为弧CD中点，4•••bd=bc=T、：.ZBDC=ZBCD=45°,.ZDAB=ZDCB=45°,即ZBDE=ZDAB,TZDBE=ZDBA,△DBE-△ABD,BDABU一??•,•BE・AB=BD・BD=\'：、I：；；.考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质2.如图，在AABC中，AB=AC，以AB为直径作OO,OO交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF丄AC，垂足为F.EE求证：DF为OO的切线；若AB=4,ZC=30°,求劣弧be的长.4【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】分析：(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角，可得ZADB=90°,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD丄DF,进而根据切线的判定证明即可；连接OE，根据三角形的外角求出ZBAE的度数，然后根据圆周角定理求出ZBOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：(1)连接AD、OD.TAB是直径,•••ZADB=90°.AB^AC,…BD^CD,又：OA=OB,•OD是AABC的中位线，•••ODIIAC,DF丄AC,•OD丄DF•ZBOE=2ZBAE,•ZBOE=120°,"卜=：AW九点睛：本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.3.如图，在AABC中，ZBAC二90。，AB=AC=41,AD丄BC，垂足为D，过A,D的OO分别与AB,AC交于点E,F，连接EF,DE,DF.求证：AADE=ACDF；当BC与OO相切时，求OO的面积.兀2【答案】⑴见解析；(2).4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性质知AD=CD、Z1=ZC=45°,由ZEAF=90°知EF是OO的直径，据此知Z2+Z4=Z3+Z4=90°，得Z2=Z3,利用"ASA”证明即可得；(2)当BC与OO相切时，AD是直径，根据ZC=45°、AC=、込可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案.详解：(1)如图，•AB=AC，ZBAC=90°，•ZC=45°.1又•AD丄BC,AB=AC,•Z1=ZBAC=45°,BD=CD,ZADC=90°.又•ZBAC=90°,BD=CD,•AD=CD.

又：乙EAF=90°,•••EF是OO的直径,AZEDF=90°,二Z2+Z4=90°.又：乙3+Z4=90°,AZ2=Z3.在△ADE和厶CDF中.^Z1=ZC<AD=CD,A△ADE竺△CDF(ASA).(2)当BC与OO相切时，AD是直径.在RtAADC中，ZC(2)当BC与OO相切时，AD是直径.在RtAADC中，ZC=45°,AC=込，AsinZC=ACAAD=ACsinZC=1，aOO的半径为2,n2AOO的面积为44)当以点F为圆心，FA4)当以点F为圆心，FA8C为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.答案】(1)F(3，4)(2)8-4朽；(3)7；⑷t的值为罟或32.点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.矩形ABCD中，点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点，如图1点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.当t=0时，点F的坐标为；当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离;求运动过程中，点F到点O的最大距离；【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而得出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出ZABO=30°，即可得出结论;

(3)当0、E、F三点共线时，点F到点0的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：(1)当t=0时.TAB=CD=8,F为CD中点，二DF=4,AF(3,4)；(2)当t=4时，0A=4.在RtAAB0中，AB=8,ZA0B=90°,AZAB0=30°,1AZAB0=30°,点E是AB的中点，0E=2AB=4,B0=4/3,•••点B下滑的距离为(4)在(4)在RtAADF中，FD2+AD2=AF2,aAF=FD2+AD2=5,①设A0=tr时，OF与x轴相切，点A为切点，AFA丄0A,AZ0AB+ZFAB=90°.TZFAD+ZFAB=90°,AZBA0=ZFAD.TZB0A=ZD=90°,ARtAFAE-RtAAB0,A,•§二FAFE…5324A24AJ=丁，②设A0=t2时,OF与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=^.综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为¥或辛.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是得出ZAB0=30°,解的关键是判断出当0、E、F三点共线时，点F到点0的距离最大，解(4)的关键是判断出RtAFAE-RtAABD,是一道中等难度的中考常考题.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.••…先构造"辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.使ZAPB=30°的点P有个;若点P在y轴正半轴上，且ZAPB=30°，求满足条件的点P的坐标；设sinZAPB=m，若点P在y轴上移动时,满足条件的点P有4个，求m的取值范

围．答案】(1)无数；2)围．答案】(1)无数；2)（0,2J3-药）或（0,2x/3+、耳）;2（3）0<m<3【解析】试题分析：(1)已知点人、点B是定点，要使ZAPB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个.结合(1)中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是(1)中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得/APB最大的点P,由此即可求出m的范围.试题解析：解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点P］、P2.11在优弧AP±B上任取一点P,如图1,则/APB=-ZACB=-x60°=30°,二使/APB=30°的点P有无数个.故答案为：无数.(2)点P在y轴的正半轴上，过点C作CG丄AB,垂足为G,如图1.T点A(1,0),点B(5,0),•••OA=1,OB=5,二AB=4.•••点C•••点C为圆心,CG±AB,二AG=BG=1AB=2,2OG=OA+AG=3.△abc是等边三角形，.AC=BC=AB=4,.CG=Qac2-AG2=p42—2-=2^3，.点C的坐标为（3,2、巨）.过点C作CD丄y轴，垂足为D,连接CP2，如图1.•点C的坐标为（3,2运）,.CD=3,OD=2品.P］、P2是OC与y轴的交点，:•厶AP1B=ZAP2B=30°.cp2=CA=4,CD=3,..DP2=J42—32=、门.

•••点C为圆心,CD±Pf2，•••P1D=P2D=.J1,•••P1(0,2j3+戸),P2(0,2运-訂).(3)当过点A、B的OE与y轴相切于点P时，ZAPB最大.2理由：可证：ZAPB=ZAEH,当ZAPB最大时，ZAEH最大.由sinZAEH=得：当AEAE最小即PE最小时，ZAEH最大.所以当圆与y轴相切时，ZAPB最大.VZAPB为锐角，•sinZAPB随ZAPB增大而增大，.连接EA,作EH丄x轴，垂足为H,如图2.VOE与y轴相切于点P,•PE丄0P.VEH丄AB,0P丄0H,•ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°,•四边形OPEH是矩形，•OP=EH,22•m的取值范围是0<m<—.PE=OH=3,•EA=3.sin2•m的取值范围是0<m<—.2)CF122)CF12示)图1-点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质,切线的性质、三角形外角性质等知识,综合性强.同时也考查了创造性思维,有一定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.6.如图，AB是OO的直径，弦BC=OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC,OE于点F,G.(1)求ZDGE的度数;BF求的值;GFCFS(3)记厶CFB,△DGO的面积分别为S],S2，若=k,求甘的值.(用含k的式子表12OFS7S【答案】(1)ZDGE=60°；(2)2;⑶S1=2解析】分析】根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得/DGE的度数；过点F作FH丄AB于点H设CF=1，则0F=2,0C=0B=3，根据勾股定理求出BF的BF长度，再证得厶FGO-△FCB,进而求得的值;GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表S示出的值.2【详解】解：(1)TBC=OB=OC，ZCOB=60°,1ZCDB=ZCOB=30°,2•••OC=OD,点E为CD中点，OE丄CD,ZGED=90°,ZDGE=60°；⑵过点F作FH丄AB于点H设CF=1，贝9OF=2,OC=OB=3TZCOB=60°1…0H=—OF=1,2.HF=\；30H=\‘；3,HB=OB-0H=2,在RtABHF中，BF=&HB2+HF2=•J7,由OC=OB,ZCOB=60°得：ZOCB=60°,又：ZOGB=ZDGE=60°,.ZOGB=ZOCB,TZOFG=ZCFB,△FGO~△FCB,.OF_GF~BF~~CF，2GFP，.BF7.•GF~2■⑶过点F作FH丄AB于点H,设0F=1,则CF=k,0B=0C=k+1,•••ZCOB=60°,0H=0H=HF=1HB=OB-OH=k+2'在RtABHF中，BF=\'HB2+HF2=Jk2+k+1，由(2)得：△FGO-△FCB,.GO_OF卄GO=1~CB~~BF，即k+1<'k2+k+1，k+1GO=<12+k+1,过点C作CP丄BD于点PTZCDB=30°.PC=CD,2T点E是CD中点，1.DE=CD,2.PC=DE，TDE丄OE,k2+k+1.二BFk2+k+1••才==k+1=—SGOk+1k2+k+1【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．7.如图，AB是半圆0的直径，半径0C丄AB,0B=4,D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；3若tanZAED=込，求AE的长；点F是半径0C上一动点，设点E到直线0C的距离为口，当厶DEF是等腰直角三角形时，求m的值.16【答案】（1）S=6\：2；（2）AE=5；（3）m=2t；3，m=2弋2,ADE5【解析】【分析】作EH丄AB，连接OE，EB，设DH=a，贝卩HB=2-a，OH=2+a，贝卩EH=OH=2+a,根据RtAAEB中，EH2=AH・BH，即可求出a的值，即可求出S“DE的值；AFAD作DF丄AE，垂足为F，连接BE，设EF=2x，DF=3x，根据DFIIBE故=話，EFBD得出AF=6x，再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2，即可求出X，进而求出AE的长；根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.【详解】解：(1)如图，作EH丄AB，连接OE，EB，设DH=a，贝卩HB=2-a，OH=2+a，T点E是弧BC中点，厶COE=ZEOH=45°，EH=OH=2+a，在RtAAEB中，EH2=AH・BH，(2+a)2=(6+a)(2-a)，解得a=±2€2-2，.a=2J2-2，EH=2迈，SaSaADE(2)如图，作DF丄AE,垂足为F,(2)如图，作DF丄AE,垂足为F,连接BE设EF=2x,DF=3xTDFIIBE.AF_AD~EF_~BDAF6..——=32x2.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=5AE=8x=(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图ODHB设DH=a由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,ZDFO=ZEDH△ODF竺△HED.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH・BH(2)2=(6+a)・(2-a)解得a=±2爲-2m=2、［3当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFG竺△DEH设DH=a，贝9GE=a,EH=FG=2+a在RtAABE中，EH2=AH・BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2J2-2m=2^2当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFM竺△FDO设OF=a,贝9ME=a,MF=OD=2EH=a+2在RtAABE中，EH2=AH・BH(a+2)2=(4+a)・(4-a)解得a=±^7-1m=P7-1【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.8如图，AB为O的直径，C、D为O上异于a、b的两点，连接CD，过点C作CE丄DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F.连接AC、AD，求证：ZDAC+ZACF=180.若ZABD=2ZBDC.①求证：CF是O的切线.O

②当BD=②当BD=6,3tanF=4时，求CF的长.答案】(1)详见解析；20(2)①详见解析；②CF=~3【解析】【分析】根据圆周角定理证得ZADB=90°,即AD丄BD，由CE丄DB证得ADIICF,根据平行线的性质即可证得结论；①连接0C.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出Z3=2Z1,由已知Z4=2Z1,得到Z4=Z3,则OCIIDB,再由CE丄DB,得到0C丄CF,根据切线的判定即可34=—，求出AD=3BD=834=—，求出AD=3BD=8，利②由BD②由CFIIAD,证出ZBAD二ZF,得出tanZBAD=tanZF=一AD用勾股定理求得AB=10，得出用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC二，5,再由tanF=OCCF即可求出CF．【详解】解:(1)AB是O的直径，且D为O上一点,•••ZADB=90。,CE丄DB,°:.ZDEC=90。,・•・CF//AD,••・ZDAC+ZACF=180。.(2)①如图，连接0C.0A=OC,:.Z1=Z2.Z3=Z1+Z2,・Z3=2Z1.・.Z4=2ZBDC,ZBDC=Z1,/.Z4=2Z1,・・・Z4=Z3,・OC//DB.CE丄DB,・OC丄CF.又OC为0的半径，•/CF为O的切线.O

/.ZBAD=ZF,3/.tanZBAD=tanF二一,4.BD_3"ID—4'BD=64/.AD二一BD二8,・・3/.AB=、©+82=10,OB=OC=5.OC丄CF,:.ZOCF=90。,/tanF/tanF=OCCF解得CF二罟【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果9・如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径作OO交BC于点D,过点D作FE丄AB于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证:EF与OO相切；3(2)若AE=6,sinZCFD=-，求EB的长.J

【答案】⑴见解析（2）2【解析】【分析】（1）如图，欲证明EF与O相切，只需证得0D丄EF・（2）通过解直角AEF可以求