现代光学的基础

1.费马原理表述及数学表达式费马原理是一个描述光线传播行为的原理：光线沿光程为平稳值的路径传播。即:JPn(r)ds-平均值e士、'〜 fp- fp …数学表达式：L(QP)=Jn(r)ds=L(l) Jm(r)ds=0或6L(l)=0 Q Q2.利用物像等光程性原理求由聚光纤维薄片制成的微透镜焦距公式2.利用物像等光程性原理求由聚光纤维薄片制成的微透镜焦距公式利用物像等光程性有L(QMQ')=L(QOQiL(QMQ')=nQM+nMQ'=n、(s+A)2+h2+nW(x-A)2+h2L(QOQ')=ns+nx由于是薄片微透镜，所以A<<s,r,x于是TOC\o"1-5"\h\zh2罚2rA,v(s+A)2+h2罚s(1+ A),v'(x-A)2+h2罚x(1+ A)s2 x2r+s r一x代入光程方程 ns(1+ A)+nx(1+ A)=ns+nxs2 x2r+s rxn——A=-n A(A恰巧被消除)sxr+sr一xn=-n'sxnn'n'一n—+一= sxr令sT8像方焦距或称后焦距n，f=令sT8像方焦距或称后焦距n，f=二r令s'T8物方焦距或称前焦距nf=rn'一n3.跃迁型光纤数值孔径公式的推导及应用N.A=nsin0=*'n2—n20 0 1 2(00为外界入射光束与轴线之间的最大孔径角)Maxwell电磁理论微分方程组ahXE=一呻 0at-H=0平面波、球面波的波函数复数表示及复振幅表达式平面波=Aeik-r•e-ik・t(设9 =0)复振幅~复振幅U(r,t)=Aeik•r=Ae(kxx+kyy+kzz)=Aeik(cosax+cospy+cosyz)二，、aU(r,t)=-1eik•r•e-iw(设9=0)复振幅U(P)=%eik•r=,七，eik'x2+y2+z2(发散球面波)- aU(P)=~re-ik•r，r=yx2+y2+z2 (汇聚球面波)rU(P)=*1e士ik•r，r=%'(x一x)2+(y一y)2+(z一z)2(轴外源点)r ooo平面波，球面波的波前函数的描述及识别平面波波前函数（（z=0）平面上）U（x,y）=Aeik曲9x~ a ■ ，“…，一,、一、，、球面波波刖函数①U（x,y）=—reik•『，r=\x2+y2+r2（发散球面波）r~ a •' ，、—m〜、十、土、②U（x,y）=—^e-ik•r,r=\x2+y2+r2（汇聚球面波）r例题：已知一列波长为人的光波在（x,y）接受面上的波前函数为〜U（x，y）=Ae一i2吓其中常量f的单位为mm-1,试分析与波前函数相联系的波的类型与特征。解：由上式可见该波前因子是一个线性相因子，故可断定它代表了一列平面波，为了进一步确定该平面波的传播方向，现将波前函数改写为含波数k的形式

~ .2’兀入U（尤，y）=Ae'兀fx=Ae一沃（fxx）可见这是一列传播方向平行（x,z）面，即k=0的平面波与z轴夹角0满足sin0=-f入或k=-2兀f它表示向下倾斜，倾角为0的平行光束，由于光的波长已被确定为入故波矢的z分量kz为方程k2+k2=k2=（2，■人）2确定为k=k2—k2=2兀<1人2—f2傍轴条件，远场条件傍轴条件Z2>>P2远场条件z人〉〉P2例题1对于光波，设波长入~500nm，横向范围p~1mm，约定>>取为50倍，试分别求出傍轴条件下纵向距离I,和远场条件的Zf解：根据上面两式分别求得zz750pr x1mmr1cmz争r50PZ=50(%)p=50x(2x103)x1mm=100m显然此时zf>>z,这源于光波极短，以致/带来了高倍率。例题2对于声波，设波长）〜1m，横向范围p〜10cm，则纵向距离z和z^分别为多少zr®50pr70cmzr50z牝50Py^r50（-）x10cm=50cm可见此时z>zf傍轴条件包含了远场条件，这源于声波长轴长以致"小于1例题3一台天文望远镜，其物镜口径为2160cm，用以观察远方星体，问多远的星体星光射到该望远镜，可以被看成是一束平行光？解：这是一个求远场距离的问题，设光波长为550nm，即550x10-6mm于是远场距离应该是zfr应该是zfr502160550x10-6x2.16mr4.24x105km这个距离与月球距离3.8x105km相近例题4已知一光波的波长为k,观测平面(xy)上的波前函数为U(x,y)xe顷(4丁)试分析与此波前函数相系的波长的类型与特征解：由前函数可见波前仅含二次项因子故可以断定它代表了一列傍轴波，中心在x轴上，由相同因子的负号断定它是汇聚球面波，为确定汇聚中心位置，将波前函数改为标2z-eikz)顷(M)准形式类似U(x,y2z-eikz)于是断定该傍轴汇聚球面波的中心位置坐标为(0,0,杨氏双孔干涉条纹间距公式及应用杨氏双孔干涉条纹间距公式s=也d例题在双孔干涉实验中，采用氦氖激光束，其波长为633nm，双孔间隔d~1mm，纵向距离D〜2m，求条纹间距解 带入间距公式Ax=~~= 人=2x103x(633x10-6)mm浇1.3mmd1衍射巴比涅原理及应用如果已知某一孔型屏的衍射场，则应用巴比涅原理，就能直接求其互补屏的衍射场半波带半径公式及应用:Rbk RbX「上=\kWb p1=\TTb例题1设光波长X~600nm，R=1m，b=3m得p]=0.67mmp3=43x0.67-1.16nmp=J100x0.67-6.7mm由此可见相邻两个半波带半径之差Apk=pk+1-pk随k数增加而减少，亦即半波带越来越密例题2设X~600nm，p=2.00mmR~1m试问该圆孔包含的半波带数目至少是几个解：利用公式k=(R+；)•p2X令bT3得最少半波带数为七=%=(1103)(2(600106)牝6-7这个数接近一奇数7,该圆孔严格的包含7个时的纵向距离为b103个时的纵向距离为b103-4mm7x600x10-6x103—4细致矢量图解法及应用I波带片的类透镜公式及应用菲涅尔波带片有若干实焦点与虚焦点，表明它既有类似会聚透镜的功能，又有类发散透镜的功能，所以，当物点发射球面波照明波带片时，就能产生若干像点.所以由公式当气满足k=1时，则气便是第一相距，即:1 1人Rbp2右端Np2=bf故上R+b1="1该式与透镜物像距公式完全类似，同样的我们可以获得第二个相距b2与物距R的关系式如下1+1=1f22例题:对一张经典菲涅尔波带片的制作提出两点设计要求：对波长为633nm的氦氖激光，其第一焦距为400mm,主焦点的光强为自由光强的104倍问：待制作的波带片，其第一个半波带的半径为多少？这张波带片至少应该有多大的有效半径？解(1)根据第一焦距公式f1=p2 ,得第一个半波带半径为p=y!fX=4400x633x10-6mm«0.50mm⑶设焦点光强为I为自由光强I。的N倍，即I=NI0，相应的振幅倍率为A=JNa=7104A=102A=50A,由于有半数的半波带被遮蔽，故应露出的帮波带序号为1,3,5・・・,99,亦即最外围的半波带序号为99或100它决定了这条半波带的有效尺寸1 I p100=』kp1=J100x0.50mmq5.0mm单缝夫琅禾费衍射强度函数及图样特征衍射强度函数I(0)=10(sm以)2以度量非等光程方向的衍射振幅10=A；气在公式中作为一个参考值，用⑴最大值.当x=0也兰=1,为最大值.这在单缝衍射中表现为0=0时,衍射强度XI(0)=10为最大值，称其为零级衍射峰，其位置正是几何光学像点位置一等光程方位⑵零点位置.sinX：X函数存在一系列零点，当X=k兀,±1,土2,...,sinx/X=0,这在单缝衍射中表现为，当asin0=k兀,k=±1,±2…,衍射强度1(0)=0,出现暗点,上式成为单缝衍射零点条件次极大，sinXX函数在相邻两个零点之间存在一个极大值，其位置和数值可由微分方程d(sinx/x)/dx导出半波带宽度A00,零级衍射斑的角范围,其零级衍射峰与邻近暗点之间的角方位只差值给以度量，称其为零级衍射的半角宽度,即展°=0广0。，在平行光正入射条件下,0°=0,01^sin01=^;a故得单缝夫琅禾费衍射的零级衍射半角度宽度为△0=人/a或a-A0a人⑸单缝宽度的的影响，表现为两个方面，一是影响半角宽度A00,比如缝宽1扩大为2。则A00压缩为A00/2,二是影响零级衍射峰值10，这是因为峰值即光强参考值10，正比于面积(axb)的平方，比如缝宽a扩大为2i，则10增强为410(6)波长的影响,一是影响半波带宽度A00,二是影响零级衍射峰值10.例题1.在单缝夫琅禾费试验中，光波长人~600nm透镜焦距f~200mm单缝宽度。~15R,求零级斑的半角宽度和屏幕上显示的零级斑的几何线宽解：根据半角宽度公式得A9°=人/a=600；。-6=0.04rad用半角宽度估算屏幕上零级斑的几何线宽Al Al«fA0=200x0.04mm=8mm例题2在单缝夫琅禾费衍射实验中,入射的平行光中含有两种波长成分，红光人1~600nm,蓝光人2~400nm，且设两者光强相等,即7J13=A；/A；=1试分析这二色光衍射图样的主要区别解：只要区别有两点 一是红光与蓝光各自展开的半角宽度不等当=J上=纹=1.5倍A0人/a人400即红光图样更为扩展，二是红光与蓝光衍射斑中心的强度不等I A2/入2入2 400245%I A2入2入2(600)20 2 2 1圆孔夫琅禾费衍射艾里斑半角宽度公式及应用X半角宽度公式A0~1.22—或DA0*1.22X0D 0人眼分辨本领与瞳孔直径决定人眼分辨本领的是瞳孔的直径D。,它是可调的，其 :一一一__扪__) 正常范围的2—8mm据此，可印一以估算出人眼最小可分辨角60设X=550nmx .1 D0*2mm,物防为空气，〜Jmm则60 =*3.3mm10m1.22 *1.22 *3.3x10-4rad*1'*0.08*3.3mm10mD4 2mm0马吕斯定律及应用I（以）=Icos2以

部分偏振光通过偏振片后光强特点及数学描述当一偏振片面对一束部分偏振光而旋转时，透射光强必将变化，因为部分偏振光的偏振光不具有轴对称性，其他方向透射光强Ip（a），等于I、I按马吕斯定律在a方向贡献之和（完全非相干叠加）即I（以）=Icos2以+Icos2以现将该式作如下改写I(以)I(以)=I(cos2以+sin2以)+(I一I)sin2以即I(P)=I+(I-I)cos2p其中，第一项是常数I，在P旋转过程中保持不变，如同入射光为自然光那样，第二项是余弦平方项，具有入射光为线偏振光那样的马吕斯定律形式。部分偏振光是一自然光与一线偏振光的混合偏振度概念及应用设一偏振片面对一束光而旋转一周，获得投射光强为最大值为Im，光强极小值为I,则入射光的偏振度被定义为p='■一『 由此我们可以作出判断Mmp=1-入射光为线偏振光0<p<1T入射光为部分偏振光或椭圆偏振光p=0T入射光为自然光或圆偏振光例题1一对偏振片q,P2其透振方向彼此正交，另有一偏振片P插入其间，透振方向为。=心''4。若一束光强为10的自然光射入这个偏振片系统，问最终透射光强为多少?解：若无中间那个偏振片，则透射光强为零，任何一偏振片经一正交偏振片，最终透射光强总是为零（消光），现在有一偏振片P置于其间，情况就不同了，见图先是自然光通过P1,透射光强为11=I°/2，按马吕斯定律通过P的光强为I=Icos20=LIcos20P1 20再按马吕斯定律，最终通过P2的透射光强为I=Icos20=上Icos20sin20=~I(sin20)22P 20 80当0=兀..・'4时I=-1=12.5%

例题2一束光含有两个同频线偏振成分，其振动方向夹角为七，彼此间的相位差是随机变化的，当一偏振片面对这束光旋转时，试分析透射光强的变化---出现光强极大或极小的透振方向角a值，以及相应的光强值解：如图，分别将振幅矢量气气向P投影，然后非相干叠加，得透射光强函数为I(a)=A2cos2a+A2cos2(2a—2a)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1=I[-(1+cos2a)]+I[-(1+cos(2a—2a))]=L(I+I)+L(Icos2a+Icos(2a—2a))2 1 2 2 2 1 0Icos2a+Icos2acos2a+Isin2asin2a2 1 0 1 0其中第二项括号式展开为=(I+Icos2a)cos2a+Isin2asin2a12 0 1 0=Icos(2a—0)这里I=这里I=<(I+Icos2a)2+(Isin2a)=(I2+211cos2a+1210=arctan( '1"气)，0 I+Icos2a最后结果表示为TOC\o"1-5"\h\zI(a)=一(I+I