第一数学归纳法及其应用

第第页共13页第一数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一,这不仅因为其中大量问题都与自然数有关,更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程.本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述.重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路,以及在求解数学问题中的应用和技巧.关键词：归纳法;第一数学归纳法;不等式;数列Abstract:Mathematicalinductionisamethodofmathematicalthinkingmethodinthethemostimportant,oneofthemostcommonlyusedmethods,thisisnotonlybecauseofthelargenumberofproblemsrelevanttonaturalnumbers,moreimportantistofindoutandsolvetheproblemsinthewholeprocess.Basedonthemathematicalinduction,theoriginoftechniqueandtheproblemsneededtonoticemorethecompletesystemisdiscussed.Focusingonthefirsttheessenceofmathematicalinductionandthegeneralproblem-solvingideas,aswellasinsolvingmathematicalproblemsintheapplicationandskills.Keywords:Inductivemethod;thefirstmathematical;inductioninequality;series1.引言对于数学归纳法的研究国内已有不少论文,这些论文在具体方面做了详尽的论述.同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼.我国的数学期刊或数理杂志,如《数学教育报》,《数学通报》,《数学通讯》等,刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题.数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,也是中学数学一个非常重要的内容,用于证明与无穷的自然数集相关的命题.继帕斯卡之后,数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具,如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出色工作中,都可以找到数学归纳法的例子,1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano,1858～1932,意大利)发表《算术原理新方法》,给出自然数的公里体系,使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一下数学归纳法.2.数学归纳法的原理2.1归纳法在现实中的一些运用先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观世界的方法之一.不论在数学上,或在其他场合,从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程,叫做归纳法.人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的,在这个过程中人们自觉或不自觉地运用了归纳法.许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等,都是应用归纳法的产物.2.2数学归纳法的本原理解了归纳法我们再具体到数学中来,以识数为例.小孩子识数,先学会数1个、2个、3个,过些时候,能够数到10了,又过些时候,会数到20,30,…100了,但后来,就不再是这样一段段地增长了,而是飞越前进.倒了某个时候,他领悟了,就什么数都会数了,这一飞跃,竟是从有限到无穷!怎样会有这种方式呢?首先,他知道从头数;其次,他知道一个一个按次序数,而且不愁数了一个以后,下一个不会数,也就是领悟了下一个数的表达方式,可以由上一个数来决定,于是,他也就会数任何数了.解释这个飞跃的原理就是,正是运用了数学归纳法的思想,数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物,由简到繁,由有限到无穷.2.3命题的长蛇阵在前面我们屡次提到数学归纳法,那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题.试证：在一个正方形的纸上有个点,已知这个点连同正方形的4个顶点,其中任意3点都不共线．试证：至多可以剪得顶点属于上述个点的三角形纸片个．我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成,这无穷多个命题列举如下：命题1：在一个正方形纸上有1个点,已知这5个点中任意3点都不共线,证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.命题2：在一个正方形纸上有2个点,已知这6个点中任意3点都不共线,证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.命题3：在一个正方形纸上有3个点,已知这7个点中任意3点都不共线,证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.……命题：在一个正方形纸上有个点,已知这个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉个点的三角形个.命题:在一个正方形纸上有个点,已知这个点中任意3点都不共线,证明：至多可以剪得顶点属于上诉个点的三角形个.上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵,它像无穷多个骨牌,一个接着一个的摆放在那里.如何证明这无穷多个命题呢？命题1的证明：当正方形内有一点,且五点不共线,则可以如图1所示,得到4个三角形.命题1得证.命题2的证明：根据命题1,当正方形中有2点,则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中,假设如图2所示,则可看作这一点把其中一个分成3个,即多了2个,有6个,命题2得证.命题3的证明：根据命题2,当正方形中有3点,则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中,假设如图3所示,则可看作是这一点把其中一个分成了3个,即多了2个,共有8个,命题3得证.继续这个过程,我们可以依次证明命题4、命题5、…….也就是说,我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题.因此,一开始给出的命题,当是任意自然数时都是正确的.（图1）（图2）（图3）2.4什么是数学归纳法一般来说,一个与自然数有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵.时为命题1,时为命题2,依次类推.因此,在证明一个与自然数有关的命题时,可以采用以下两步：证明时命题成立；证明：如果时命题成立,那么时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.这种方法也可以概括为：“1对；假设对,那么也对”.这种概括是著名数学家华罗庚提出来的.2.5数学归纳法的历史与原理意大利有一个数学家,名叫皮亚诺(C·Peano,1858～1932,意大利),他总结了自然数的有关性质,并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理,后人称为“皮亚诺公理”.1是一个自然数；1不是任何其他自然数的后继；每个自然数的后继是自然数；若两个自然数的后继相等,则这两个自然数也相等；（归纳公理）自然数的某个集合若含有1,而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继,那么这个集合含全体自然数.其中公理5被称为归纳公理,是数学归纳法的逻辑基础.自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性,所以也可以把数学归纳法当作公理来看待.所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物,而是未经证明的产物,其承认的的根据是生活实践.3.第一数学归纳法第一步：当时,等式成立；第二步：假设当时,这个等式是成立；再根据假设推出当时等式也成立.3.1第一数学归纳法的步骤及其误区下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤.设是一个含有自然数的命题,利用第一数学归纳法的证明步骤是：⑴验证时成立；⑵假设时成立,能推出时也成立.根据（1）、（2）知,对一切自然数,成立.第一数学归纳法的第一个步骤是奠基,是命题论证的基础；第二个步骤是归纳,是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据.这两个步骤密切相关,缺一不可.如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法,因而论断的普遍性是不可靠的.如果只有归纳步骤而没有奠基步骤,则归纳的假设就失去了依据,从而是归纳法步骤的证明失去意义.甚至会导致一些错误.下面我们来看几个例子.误区一：忽略了归纳奠基的必要性.例1试证明.错证假设时等式成立,即,当时.则时等式成立.根据数学归纳法原理可知,当是任意自然数时,等式都成立.事实上我们知道这个题目本身就是错的,但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了,此种怪现象出现的原因,就是缺乏归纳奠基这一步.切莫以为归纳基础这一步就是“当时命题正确”这么一句话,似乎无关紧要,可有可无.从上例可以看出,不去认真的验证这一步,或者根本没有这一步,都可能陷入错误之中.误区二：忽略了归纳递推的必要性例2求证:错证当时,得；这时等式成立.假设时,这个等式成立；也就是说假设当时,而所以也就是说,当时,这个等式也是成立的.归纳步骤完成,结论成立.乍看起来,上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤,特别是也有了第二个步骤,但事实上,在证明等式的过程中根本没有用到这个式子.所谓从“”到“”的过程,意思是必须把“”时的命题,当作已经给定的条件（假设）,在这个基础上来证明“”时的命题.上面这个证明的过程中,只不过是把要证明的公式加以“注解”而已,等于什么也没有做.正确的证法应该是：在这个等式两边都加上,得而.所以.这就是说,当时,这个等式是成立的.归纳步骤完成,就可以断定,对于任何自然数,这个等式都能成立.上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子,实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方.让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的.3.2数学归纳法的应用在上一部分我们说明了数学归纳法的步骤及误区,并且我们可以知道数学归纳法是一些涉及自然数的论断,我们可能会这样问：“是不是涉及自然数的论断都可以用数学归纳法呢？或者什么时候用数学归纳法呢？”这个问题较难回答,主要是决定于问题的具体情况.例如,要证明对于任意自然数,等式成立.我们可以直接计算左边式子而得到证明.又如,如果,都是自然数,要证明对于任意自然数,有.这里,我们可以利用分数的基本性质,通过计算来证明这个不等式成立.像这类问题就不必用数学归纳法.但是对于那些无法直接计算而必须按从小到大的顺序逐步计算的式子,要证明这些论断的正确性,一般需要应用数学归纳法.运用数学归纳法,可以证明下列问题：与自然数有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.3.2.1用归纳法证明不等式例5设,用数学归纳法证：证明当时,,,,所以,假设时,成立．证明时,也成立.所以原命题成立.3.2.2用数学归纳法解决整除问题运用数学归纳法来证明整除问题,是充分运用整除的性质,即：则.例6证明能被11整除.证明当n=l时,=能被ll整除.假设时,能被ll整除.则当时,由于能被1l整除,能整除ll,所以能整除ll.即当时命题也成立.根据数学归纳法第一步与第二步可知,等式对一切成立.3.2.3用数学归纳法证明几何问题例7平面内有个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点.求证：这个圆把平面分成个部分.证明当时,一个圆把平面分成两部分,,命题成立.假设当时命题成立,即个圆把平面分成.当时．这个圆中的个圆把平面分成个部分,第个圆被前个圆分成条弧,每条弧把它所在部分分成了两个部分,这时共增加了个部分．即个圆把平面分成即命题也成立.根据数学归纳法第一步与第二步可知,等式对一切成立.从上面的一些例子可以看到,数学归纳法在代数、几何等方面都有很广泛的应用,当然这些例子只是九牛一毛,例如运用数学归纳法证明三角函数的求和公式,证明组合里的一些公式,证明函数的各种性质,以及在微积分行列式一些证明中的应用等等.总之,遇到一个涉及自然数的问题的时候,首先我们要考虑的是,有没有简单直接的方法来把它算出来.如果没有简单直接的方法,就可以用数学归纳法来试试,至于那些从对等情况递推而归纳出的结果,它的正确性,一般要用数学归纳法来证明.4.第一数学归纳法的技巧应用数学归纳法证题,易陷入困境的常在第二步,解决这个问题并无万能方法,应该遵循的基本原则：积极创造条件,有效利用归纳假设,巧妙变形过渡.4.1欲进先退若在由到的推导过程中陷入困境,不妨先由退,然后用归纳假设再进回到.退的技巧有很多,常用的有撤出、合并等.4.1.1撤出例8有个飞机场,每个飞机场都有一架飞机,各个飞机场之间的距离互不相等.现让所有的飞机一起起飞,飞向最近的机场降落,求证必存在一个机场没有飞机降落.证明当时,设3个飞机场为其中,,则间的飞机必定对飞.而不管机场的飞机飞向还是飞向,都使机场无飞机降落.现假设时命题成立,当时,由于机场之间的距离两两不等,必有两处机场的距离是最近的,这两处的飞机会对飞,不会影响其他机场.我们将这两个机场先撤出,由归纳假设,剩下的个机场中,存在一个机场没有飞机降落,再把撤走的机场放回,则仍无飞机降落,从而可知当时命题成立.4.1.2合并例9设有个球分成了许多堆,我们可以任意选甲,乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数,则从甲堆拿个球放到乙堆去,这样算挪动一次,求证:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.证明当时,共有2个球,若已成一堆,则不必挪动；若分成两堆,则挪动一次便可成功.假设时命题成立,当时,对于个球,若将2个粘合成1个便退到个球的情况,这种粘合要求每堆球的个数为偶数,可讨论如下：若每堆球的个数为偶数,则每挪动一次都挪动了偶数个球,这样的任意一次挪动与将球两两粘合在一起挪动无本质区别,从而等价与个球的挪动,根据归纳假设,这是可以做到的.若存在球数为奇数的堆,则由总球数为偶数知,有奇数的堆数为偶数,将它们配对先挪动一次,于是每堆球数都为偶数,问题可以解决.4.2构造在用数学归纳法证明某些问题时,从到的证明中有时需要巧妙构造.例10对每个,求证存在个互不相等的正整数,使得,对任意的成立.证明当时,取,命题显然成立.假设时命题成立,即存在满足,记b为及它们每两数之差的最小公倍数,则个数,也满足,,,,即命题对时成立,由数学归纳法知命题得证.上例证明中从到的过渡用到了较高的构造技巧.4.3先猜后证有些题目的结论是不容易以下求得的,根据特殊到一般的规律,先从符合题意的最小基数入手,探索,,…等个别特例的结果,发现、总结其规律性.对一般的自然数给出一个猜想,再用数学归纳法论证这个猜想的正确性.即先猜后证.例12设列的通项公式为求数列的前项和的公式.解因为,,,,至此,可以猜测数列的前n项和公式是下面用数学归纳法证明.当时由上述计算可知公式是正确的.设公式当时正确,当时,因为故上述公式当时也是正确的.因此,上述公式对一切自然数都成立.即是数列｛｝前项和公式.这种求和方法——观察-归纳-证明,实质上是一种由不完全归纳到完全归纳的方法.由于这种方法中,的形式要从,,,