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文档简介
极坐标系的概念平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对应的.P(a,b).xyOab温故引入
平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.我们先看下面的问题.还有什么坐标系呢?与角α终边相同的角:β=α+2kπ,k∈Z一一5海里想一想?(1)距离:5海里(2)方向:东偏北20º.Ox拯救船20º发现走私!!!如何确定以下两船的位置关系呢?距离40km
xO方向:从这向南走2000米.请问:去屠宰场怎么走?思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素?
它为何能使问路人明确屠宰场的位置?问题2:如何刻画这些点的位置?情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆?情境2:请问到江山怎么走?
问题1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢?问题情境请分析这句话,他告诉了问路人什么?从这向西走1000米!出发点方向距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。情境2:请问到江山怎么走?1、极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点.引一条射线OX,叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向。(通常取逆时针方向).这样就建立了一个极坐标系.XO建构数学2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用
表示线段OM的长度,用
表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,
叫做点M的极径,
叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。XOM
极点的极坐标为____________________(0,),
可为任意值.思考:
对比直角坐标系,比较异同。要素:________________________________________;(2)平面内点的极坐标用_____表示.极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向(,)例1、如图,写出各点的极坐标:。Ox
A•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)
4C(2,)
2D(5,)56E(4.5,
)F(6,)43G(7,)531数学运用[变式训练
]
在图上描下列点:[小结]由极坐标描点的步骤:
(1)先按极角找到点所在射线;
(2)在此射线上按极径描点.思考:
①平面上一点的极坐标是否唯一?若不唯一,那有多少种表示方法?②不同的极坐标是否可以写出统一表达式?3、点的极坐标的表达式的研究XOM
如图:OM的长度为4,请说出点M的极坐标的表达式?思考:这些极坐标之间有何异同?思考:这些极角有何关系?这些极角的始边相同,终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。极径相同,不同的是极角.4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定(
,),就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应。原因在于:极角有无数个。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ>0,0≤θ<2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.数学运用
在一般情况下,极径都是取正值。但在某些必要的情况下,也允许取负值(
<0):当
<0时如何规定(,)对应的点的位置?°Ox当
<0时,点M(,)的位置规定:
))|
|•M(,)°OxM(-2,)56)56¬¬点M:在角
终边的反向延长线上,且|OM|=|
|•M(-2,)565、关于负极径小结:从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.。Ox
4
2565453
1162332A(-4,0)C(-2,)
2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)
6(-4,-)
3F•A•B•C•D•E•F[小结](,)(,2k
+)(-,+
)(-,+(2k+1)
)都是同一点的极坐标.1例3.已知点Q(,),分别按下列条件求出点P的坐标:
(1)P是点Q关于极点O的对称点;
(2)P是点Q关于直线的对称点.(3)P是点Q关于极轴的对称点。
注意点M的极坐标具有多值性.数学运用[3]一点的极坐标有否统一的表达式?[1]建立一个极坐标系需要哪些要素?极点;极轴;长度单位;计算角度的正方向.[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式?无数,极角有无数个.有。(ρ,2kπ+θ)课堂小结思考:
极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各
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