第五章 机器臂动力学

操作臂的动力学

动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。动力学正问题根据关节驱动力矩或力，计算操作臂的运动(关节位移、速度和加速度)；动力学逆问题一一已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。所采用的方法很多．有拉格朗日方法、牛顿—欧拉方法方法、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法、旋量对偶数方法、罗伯逊—魏登堡方法等。研究机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题与操作臂的仿真研究有关、逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型、实现最优控制，以期达到良好的动态性能相最优指标。由于动力学实时计算的复杂性，在实现控制时，都要作某些简化假设。机器人动力学性能的最优控制和自适应控制至今还未用于机器人产品，仍是个有待研究的课题。连杆的速度由（2－13）可以知道任一点p在两坐标系中的描述Ap和BP之间的关系两边求导：旋转矩阵的导数由旋转变换通式(2.58)可知：角速度算子矩阵上式两端除以t，并取极限在任意矢径P处引起的线速度为：欧拉角描述的角速度刚体的速度和加速度对上式两边求导得：旋转关节的连杆运动的传递旋转关节的连杆运动的传递移动关节的连杆速度传递示例平面2R机械手如图所．用递椎法求出末端杆的速度和角速度，雅可比，角加速度和线加速度。（1）建立如图坐标系（2）写出D-H参数表iαi-1ai-1θidi100θ1020l1θ2030l200示例（3）写出连杆变换矩阵示例（4）速度递推示例（5）写出末端杆坐标系中表示的雅可比矩阵（6）计算基础坐标系中表示的速度递推关系由此可知示例雅可比矩阵的四种求解方法：求导法；矢量积法；微分运动法；速度递推法（7）写出基础坐标系中表示的雅可比矩阵写成矩阵形式：连杆静力学分析忽略重力影响得：力和力矩在自身坐标系中表示：旋转关节：移动关节：写成矩阵形式：得力雅可比矩阵：基础坐标系中表示的力雅可比矩阵：4.3

机器人的动力学4.3.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律和若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时的质量，称为转动惯量

。将它们代入前面的方程，得：令，则有：例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量I。解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为dm=ρdx。该微段产生的转动惯量为。因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则4.3.2

Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度，惯性张量与作用力矩n之间满足欧拉方程：惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。

惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。解：式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量得到：zmg4.3.3

Lagrange动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。

或

利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：（动能是关节变量和关节速度的函数，势能是关节变量的函数）表示动能，表示势能。例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能分别为机械手总的位能（势能）为计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程得附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势能为代入Lagrange方程得，与前面的结果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：总动能

（θ为广义坐标）zmg１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆