高等数学总复习

总复习第一章概率论的基本概念

1、了解随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频率、概率的基本概念.

2、掌握事件之间的关系及事件的运算.

事件的包含、和事件、积事件、差事件、互不相容事件、对立事件.

3、掌握概率的重要性质，会计算事件的概率.

4、掌握古典概型的概念，会计算事件的概率.

5、掌握条件概率的概念，会利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式计算事件的概率.

6、掌握事件的独立性的概念，会计算事件的概率.第二章随机变量及其分布

2.掌握离散型随机变量及其分布律,会求事件的概率.

3.掌握连续型随机变量及其概率密度,会求事件的概率.

4.了解伯努利试验.

5.掌握常见的概率分布:(0,1)分布,二项分布,泊松分布,指数分布,均匀分布,正态分布.

6.掌握随机变量函数的分布.

1.了解随机变量及分布函数的概念.第三章多维随机变量及其分布

2.掌握离散型随机变量(X,Y)的分布律,会求概率.

3.掌握连续型随机变量(X,Y)的概率密度,会求概率.

4.掌握边缘分布的概念,会求离散型随机变量的边缘分布律和连续型随机变量的边缘概率密度.

1.了解二维随机变量及其分布函数的概念及性质.

5.掌握条件分布的概念,会求离散型随机变量的条件分布律和连续型随机变量的条件概率密度.

6.掌握两个随机变量的独立性的概念,会判定随机变量的独立性.

7.会求两个随机变量的函数的分布.第四章随机变量的数字特征

2.掌握方差、标准差的概念及性质,会求方差.

3.掌握几种重要分布的数学期望和方差.

4.掌握协方差和相关系数的概念及其的性质.

1.掌握数学期望的概念及性质,会计算数学期望.

5.掌握X与Y不相关的概念,及判定方法.

6.掌握切比雪夫不等式及其应用.

7.了解矩和协方差矩阵的概念.第五章大数定律及中心极限定理

2.掌握切比雪夫大数定理及其应用.

3.掌握伯努利大数定理和辛钦大数定理.

4.掌握独立同分布的中心极限定理.

1.了解依概率收敛的概念.

5.掌握德莫佛-拉普拉斯中心极限定理.第六章样本及抽样分布

2.掌握统计量的概念，及常用统计量的计算.

3.掌握

2分布、t分布和F分布的密度函数和分位点.

4.掌握正态总体的样本均值与样本方差的分布.

1.了解总体、个体、总体的容量等概念.第七章参数估计

2.掌握最大似然估计法及其应用.

3.了解基于截尾样本的最大似然估计.

4.掌握估计量的无偏性、有效性和相合性.

1.掌握矩估计法及其应用.

5.了解置信水平和置信区间的概念，会求正态总体均值和方差的置信区间.第八章假设检验

2.掌握正态总体均值和方差的假设检验法.

3.了解置信区间与假设检验之间的关系.

1.了解假设检验的思想及步骤.①在相同条件下试验可以重复进行;②试验的所有结果事先是已知的；③进行一次试验时,究竟那一个结果会出现，事先不能确定.在概率论中，具有上述三个特点的试验或观察都称为随机试验，简称试验.将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间S的元素,即E的每个结果称为一个基本事件或样本点.研究一个随机试验，首先关心的是试验的可能结果是什么。把试验的结果称为随机事件，简称事件.在相同的条件下,进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数;比值nA/n称为事件A发生的频率,记为

n(A).则称P(A)是事件A的概率.设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A,存在一个实值函数P(A),满足:1.非负性:对每一个事件A,有P(A)0;2.规范性:对必然事件S,有P(S)=1;3.可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,即对于ij,AiAj=Ø,i,j=1,2,…,则有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…若事件A发生，必然导致B发生，则称事件B包含事件A(或称A被B包含)，记作

BA或AB若BA和AB同时成立，则称事件A和B相等，记作A=B。

事件A与事件B的和(并)是一个事件C，它表示事件A与事件B中至少有一个发生，记作

C=AUB={x|xA或xB}(或C=A+B)为n个事件A1,A2,…,An的和事件;为可列无限个事件A1,A2,…的和事件.

事件A与事件B的积(交)是一个事件C,它表示事件A与事件B同时发生,记作

C=A∩B={x|xA且xB}(或C=AB)

为事件A1,A2,…,An的积事件;为可列无限个事件A1,A2,…的积事件.

事件A与事件B的差是一个事件C,它表示事件A发生而事件B不发生,记作C=A－B.若事件A和事件B不能同时发生,即AB=Ø,则称事件A与事件B是互不相容事件,或称为互斥事件.

若事件A与事件B同时满足:①A∪B=S;②A∩B=Ø，则称事件A与事件B是对立事件,或称为互逆事件.记作

B=A(读作非A)关于事件的运算，满足下述运算性质：1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);4）德

摩根律：性质2.(有限可加性)设A1,A2,…,An是两两互不相容的事件,则有

性质1.P(Ø)=0P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

性质3.设A,B是两个事件,若AB,则有P(B－A)=P(B)－P(A)；P(B)

P(A) 性质4.对任何事件A,有:P(A)1.性质5.对任何事件A,有:P(A)=1－P(A).性质6.对任意两个事件A,B有P(A∪B)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)

概率的重要性质1.试验的样本空间只包含有限个元素;的试验称为等可能概型，也称为古典概型.2.试验中每个基本事件发生的可能性相同.设等可能概型的样本空间为S=e1,e2,…,en.满足条件若事件A包含k个基本事件,即A=则P(A)古典概型条件概率定义

设A,B是两个随机事件,且P(A)>0,我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.乘法公式

若P(A)>0,则有:P(AB)=P(A)P(B|A)一般地,对n2,若P(A1A2…An-1)>0,则有=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)P(A1A2…An)乘法公式全概率公式设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),A为任意一个事件,则也称为逆概率公式.

Bayes公式设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),对任一事件A(P(A)0),有全概率公式逆概率公式事件的独立性定义设A,B是两个事件,如果满足条件则称事件A,B为相互独立的事件.简称A,B独立.P(AB)=P(A)P(B)定理设A,B是两事件,且P(A)>0.若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).反之亦然.定理若四对事件A,B;A,B;A,B;A,B中有一对相互独立,则另外三对也都相互独立.随机变量定义如果随机变量X只取有限个值或可列无限多个值,则称X为离散型随机变量.

定义设随机试验的样本空间为S,如果对于每一个可能的试验结果(样本点)eS,都唯一地存在一个实数值X(e)与之对应,则称X(e)为一个随机变量,简记为X.分布函数

定义设X是一个随机变量,x是任一实数,令F(x)=PXx则称F(x)为随机变量X的分布函数.Px1<Xx2=F(x2)－F(x1)对任意实数x1,x2(x1<x2),有3.F(x)右连续，即F(x+0)=F(x)1.F(x)是x的非减函数；2.0

F(x)1,且离散型随机变量的分布律具有下列性质：(1)pk0,k=1,2,…;(2)离散型随机变量的分布律常使用概率分布表:Xx1x2…xk…Pkp1p2…pk…

定义设X是一个离散型随机变量,它可能取的值是x1,x2,…(有限个或可列无限个),则称

pk=P{X=xk}(k=1,2,…)为离散型随机变量X的分布率.离散型随机变量的分布律连续型随机变量的概率密度

定义如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对任意实数x都有则称X为连续型随机变量;称f(x)为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.(1)f(x)0;(2)(4)若f(x)在点x处连续,则有F

(x)=f(x).(3)对于任意实数x1,x2(x1

x2),有P{x1<X

x2}=F(x2)－F(x1)=设试验E只有两个可能的结果:A及A,则称E为Bernoulli试验.设P(A)=p(0<p<1),

此时,P(

A)=1－p.

将E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重Bernoulli试验.Bernoulli试验

几种常用概率分布分布参数分布律或概率密度0－1分布0<p<1P{X=1}=p,P{X=0}=1-

p

二项分布n10<p<1P{X=k}=Cnkpkqn-kk=0,1,2,…,nPoisson分布>0P{X=k}=

ke-

/k!k=0,1,2,…均匀分布a<b指数分布>0正态分布

>0随机变量函数的分布设g(x)是一个关于x的连续函数,所谓的随机变量X的函数Y=g(X)是这样的一个随机变量:当X取值x时,Y取值y=g(x),记作Y=g(X).

设连续型随机变量X的密度函数为f(x),Y=g(X),其中g(X)是一个连续函数,则Y的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(x)y=离散型随机变量用对应法求Y的分布律;连续型随机变量用分布函数法求Y的概率密度.二维随机变量及其分布

定义设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S=e上的两个随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量.称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.

定义设(X,Y)是二维随机变量,对任意x,y,函数:分布函数的性质2.0

F(x,y)1,x

(-,+),y

(-,+),且1.F(x,y)对每个变量x,y都是非减函数；

x

(-,+)有F(x,-)=

y

(-,+)有F(-,y)=3.F(x,y)关于x和y都右连续，即：F(x＋0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)4.

(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2,都有:F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)+F(x1,y1)0

离散型随机变量的分布律

pij=P(X=xi,Y=yj),(i=1,2,…;j=1,2,…)

称为离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律.XYy1y2…yj…x1x2

xi

p11p12…p1j…

p21p22…p2j…

pi1pi2…

pij…

随机变量X,Y的联合分布通常用表格表示：

P{Xx,Yy}=F(x,y)＝连续型随机变量的概率密度对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负函数f(x,y)(-<x<,-<y<),使对任意x,y都有：则称f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的概率密度,也称是随机变量X和Y的联合概率密度.(1)f(x,y)0;(2)(3)G是xoy平面上的区域,点(X,Y)落在G内的概率:(4)若f(x,y)在点(x,y)连续,则有:离散型随机变量的边缘分布律:

边缘分布边缘分布函数:FX(x)=F(x,),FY(y)=F(,y)

连续型随机变量的边缘概率密度:条件分布律定义设(X,Y)为二维离散型随机变量,若pj>0,则称为在Y=yj的条件下,随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若pi

>0,则称为在X=xi的条件下,随机变量Y的条件分布律.FX|Y(x|y)=P{Xx|Y=y}

FY|X(y|x)=P{Yy|X=x}

fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y),fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)的边缘概率密度为fX(x),fY(y).则条件概率密度条件分布函数为:条件概率密度为:

定理离散型随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是:对于任意一组(xi,yj),都有PXx,Yy=PXxPYy即

F(x,y)=FX(x)FY(y)

定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,如果对于任意的x和y有则称随机变量X和Y是相互独立的.PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,(i,j=1,2,…)两个随机变量的独立性

定理设连续型随机变量X和Y相互独立当且仅当f(x,y)=fX(x)fY(y).两个随机变量的函数的分布一、Z=X+Y的分布特别,当X,和Y相互独立时,有二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布Fmax(z)=FX(z)FY(z)

Fmin(z)=1－[1－FX(z)][1－FY(z)]

设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y),则结论可推广到n个相互独立的随机变量的情形.数学期望及其性质若Y=g(X),则E(Y)=E[g(X)]=g(xk)pk