专题2-8恒成立和存在型求参归类（讲练）（原卷版）

专题恒成立和存在型求参归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】参变分离基础型【题型二】参变分离：虚设零点【题型三】参变分离：洛必达法则【题型四】分类讨论求参型【题型五】分类讨论求参：端点值型【题型六】分类讨论求参：隐零点型【题型七】分类讨论求参：整数型【题型八】同构型求参数【题型九】x1与x2型求参：恒成立与存在型【题型十】x1与x2型求参：值域子集型【题型十一】x1与x2型求参：绝对值分离同构【题型十二】数列型恒成立求参【题型十三】三角函数型恒成立存在求参三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决虚设零点转化技巧：（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。二、常见同构技巧：三、洛必达法则：1.洛必达法则可处理，，，，，，型。2.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。3.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。四、恒（能）成立问题的解法：1.若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.2.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.五.对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：；；.六.不等式恒成立（能成立）问题，一般有两种方法：方法1：分离参数法解决恒(能)成立问题，方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.热点考题归纳【题型一】参变分离型【典例分析】已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若，，求的最大值．【提分秘籍】参变分离型求参数：参变分离：当不等式含有两个字母时，其中一个有定义域的为变量，另外一个则为参数。两个变量比较容易拆开时，则用参变分离。不容易拆开时，则可以采用分类讨论和最值分析法来解决这类问题。

如何确定参数与变量：一般情况下，有范围的字母为变量，构造关于它的函数，所求的字母（一般情况下）看为参数。参变分离发的适用范围：恒成立或者存在问题求参数、是否能分离变量，如能分离（参数），则可以通过对变量函数求最值得到。、参变分离后，已知变量的函数解析式是否能求出最值（端点值或临界值），若无法求出最值，则无法用参变分离解决。【变式演练】（广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高三3月数学试题）已知函数，（1）求函数的单调区间和极值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【题型二】参变分离求参：虚设零点型【典例分析】（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．【提分秘籍】虚设零点转化技巧：（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。【变式演练】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.【题型三】参变分离求参：洛必达法则型【典例分析】已知．（1）求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【提分秘籍】若函数f(x)和g(x)满足下列条件：及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

【变式演练】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【题型四】分类讨论求参型【典例分析】（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数.(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的最小值.【提分秘籍】分类讨论法：考虑导函数等0时是否有实根，从而分类讨论导函数有实根，但是实根是否落在定义域内，从而讨论。导函数有实根，导函数也落在定义域内，但是这些实根的大小关系不确定从而进行讨论【变式演练】（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【题型五】分类讨论求参：端点值型【典例分析】（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数．(1)若，求．(2)证明：，．【提分秘籍】端点值效应：端点值效应，是通过端点值来缩小参数范围，从必要条件入手寻找充要条件。1、恒成立或者存在求参数型题2、函数的最值只可以再极值点和端点值处取得3、本质是“求函数的值域”问题。【变式演练】(全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围【题型六】分类讨论求参：隐零点【典例分析】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.【提分秘籍】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决【变式演练】（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知函数，．(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；(2)若恒成立，求a的取值范围．【题型七】分类讨论求参：整数型参数【典例分析】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．【提分秘籍】讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号【变式演练】（2022届高三下学期临考冲刺原创卷（三）数学试题）已知函数（）．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得对恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．【题型八】同构型求参数【典例分析】（河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题）已知函数.(1)求证：；(2)若，都，求k满足的取值范围．【提分秘籍】同构法求参数范围通过对原函数进行适当的代换或者变换，可以带到一个与之相同（同构，结构相同，性质相同）的新函数，新函数相对容易处理。利用同构法，可以讲原函数问题转化为一个更简单的问题，并通过求导求最值进行分析从而得到参数范围。同构法求解参数范围：寻找原函数及其特点进行适当的变形方式。对构造的新函数进行求导分析根据新函数极值最值等得到参数范围【变式演练】（2022秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考阶段练习）已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.【题型九】x1与x2型求参：恒成立与存在型【典例分析】（陕西省咸阳市高新一中2022-2023学年高三理科数学试题（A卷））已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；（2）若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.【提分秘籍】一般地，已知函数，(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【变式演练】（安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知函数，在处取得极小值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值；(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．【题型十】x1与x2型求参：值域子集型【典例分析】（2023·高三课时练习）已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．【提分秘籍】一般地，已知函数，（1）相等关系记的值域为A,的值域为B,①若，，有成立，则有；②若，，有成立，则有；③若，，有成立，故；【变式演练】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数：.（1）当时，求的最小值；（2）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围.【题型十一】x1与x2型求参：绝对值型分离同构型【典例分析】（河南省部分学校2022-2023学年高三12月大联考理科数学试题）已知（）．(1)讨论的单调性；(2)若，函数，，，，恒成立，求实数的取值范围．【提分秘籍】1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。【变式演练】（2021-2022学年河北省衡水中学高三一调考试数学）已知（1）讨论的单调性，（2）当时，若对于任意，都有,求的取值范围.【题型十二】数列型恒成立求参【典例分析】（河南省驻马店市环际大联考圆梦计划2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题）已知函数．(1)求的最大值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【变式演练】（2023·吉林·统考模拟预测）已知函数，且.(1)求实数的取值范围；(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；(3)证明：.【题型十三】三角函数型恒成立存在求参【典例分析】已知函数，．(1)求证：在上单调递增；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【提分秘籍】三角函数与导数应用求参：正余弦的有界性三角函数与函数的重要放缩公式：.【变式演练】（江苏省盐城市第一中学2022-2023学年高三上学期12月学情调研（五）数学试题）已知函数．(1)当时，若，证明：．(2)当时，，求a的取值范围．高考真题对点练1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.5．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．最新模考真题1．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值.2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的零点的个数﹔(2)当时