高中数学可视化教学的原则与实践案例 论文

PAGEPAGE1高中数学可视化教学的原则与实践案例摘要：数学学科因其具有严密的逻辑推理、高度的抽象概括、变幻莫测的数形关系，所以对于大部分的学生来说显得复杂、抽象、难以理解，传统的教学模式已经不能很好地完成教学目标了。随着计算机多媒体技术的快速发展，很多能把复杂抽象问题图形化、动态化呈现的教学工具也是日新月异、层出不穷，教学设施也随之更新换代。本文借助GeoGebra软件展开，结合案例讨论在教学过程中可视化应当遵循的原则，以期对高中数学的可视化教学提供借鉴作用。关键词：可视化，数学教学，原则一、数学思维可视化的含义可视化是利用计算机图形学和图像处理技术，将数据转换成图形、图像或动画这类可视表征在屏幕上显示出来，并进行交互处理的理论、方法和技术。数学思维的可视化与一般领域的可视化具有相同的理论基础，但是由于数学学科及其教学有其自身的特点和特定规律，对于数学思维可视化概念的界定，也应当据此来划定。基于数学学科及其教学有其自身的特点和一般规律，我们可以将数学思维可视化定义为：将数学知识中蕴含的抽象复杂的数学思维过程，利用适当的数学软件通过图形、图表、动画等直观表示出来，让学生对相应数学知识、数学思维有直观形象的认识。二、高中数学教学中的可视化现状、原因和推广建议现在虽然绝大部分的学校已经在政府的支持下配备了相应的硬件设置，但是可视化技术和思维方式在中学一线教学中的应用并不是很广泛，在实际教学中很少有教师采用思维可视化的方式来进行授课。分析主要原因有三：1、这种利用一些软件来制图作图展示的方式虽然可以活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣，但是不排除很多学生就是抱着看热闹的心态来面对课堂，而我们利用电脑软件进行可视化教学的时候正好给他们提供了一个看热闹的机会，所以并不能提高教学效果；2、很多软件的操作并不是那么容易，对于做PPT课件都比较吃力教师群体来说，几何画板、GeoGebra这些软件可视化软件难度更大，他们不会使用，而且可视化教学占用的备课时间更长；3、虽然国家提倡终身学习，但是每个人都有惰性，教师们在繁重的教学任务之余，很难有精力再学习新的软件操作知识，所以虽然这些新的教学软件有很大的妙用，但是也很难在教师群体中推广开来。针对教学中的思维可视化现状及其原因，给出几点建议：1、在一年一度教师远程培训中可以增加像几何画板、Excel表格、GeoGebra等软件的课程，让一线教师了解这些软件的妙用，并且能够进行学习。现在国家也强调终身学习，教师也要积极主动参与培训学习，让自己的知识从“一桶水”成为“长流水”；2、现在每年举办的多媒体课件大赛除了PPT课件以外，可以鼓励教师配合其他软件来进行展示；3、在实施教师集体备课的过程中，学校层面可以鼓励教师不要光局限于对于教学知识、授课方法的交流研讨，也可以增加一些大家一起交流学习多媒体技术的活动；4、在数学师范生的课程中本身就有一些关于多媒体课件制作的课程，但是跟一线教学有点脱节，可以相应的添加一些在教学一线更为实用的软件课程。三、实现中学数学可视化教学的原则及其案例1.信息整合原则学生的学习过程的前期主要就是接收信息、整合信息的过程，但是当在一节课程中很多信息需要传递给学生的时候，特别是我们课本上很多定理公式在授课的时候需要证明，繁琐冗长的逻辑推理证明过程很容易造成学生的思维疲倦，甚至产生厌学情绪。这个时候如果能把这些信息整合在一个是视觉冲击明显的图形中，在新的知识与已有的知识脉络之间构建直接通道，让新的教学内容经由相应的教学活动内化成学生的认知结构，不仅可以化繁为简，也能打消一部分学习的畏难心理，从而达到事半功倍的效果。比如我们在学习三角函数的三角恒等变换的时候公式很多，推到证明过程比较繁琐，也很不好记忆，繁多的公式让学生焦头烂额，给课堂教学带来很大的困难。结合三角函数的定义以及初中学习的三角函数知识，我们可以将很多公式在一些简单的图形中显现出来，从而实现数学思维的可视化。下面举出两个比较常见的公式可视化的模型。第一个是二倍角公式，如下图1作矩形ABCD，连接对角线AC，作CAB的平分线AF，过点C作AF的垂线，垂足为F，过F作AB、CD的垂线，分别交AB、DC的延长线与H、G，将数量关系由AD=HG可得sin2，由DG=AH可得coscos2sin2。图图1第二个是半角公式，如图2作半圆，在圆弧上任取一点D，过点D作AB的垂线，垂足为H，连接AD、CD、BD，将DCB设为，可得下图，在ABH中，可得tan sin 1可得tan ，在DBH中，可得tan 。2 1cos

2 sin图图2再比如刚进入高中学习预备知识基本不等式这节内容涉及四个平均数之间的关系，对学生来说推理难度很大，而且比较难以识记，证明过程相对来说比较繁琐，我们在讲解之余可以利用下面这个直角三角形来进行证明，简单而且比较容易记忆。如图3所示，RtABC,ABC为直角，从点B往AC作垂线，垂足为D，取线段AC中点E，连接BE，从点D往BE作垂线，垂足为F，过点E作BE的垂线，并在垂线上去EG=ED，在其中设AD=a，CD=b图图3根据直角三角形中线等于斜边一半可得BEab；2AD*CDab根据射影定理可得AD*CDabBF BD BD2 ab2ab利用三角形相似可得 ，则BF

2 ；BD BE

BE ab

ab

11最后在RtBEG中利用勾股定理可得

2 a bBE2BE2EG22ab 2 ab 2b2 BG

ab；2在图中利用斜边大于直角边，显然可得BGBEBDBF，则可知2 2abababab

2 ，而且从图也可以看出只有当ab时能成立相等。2 2 11a b2.动态生成原则复杂多变的数形关系和动态变化的位置关系是学生学习理解数学的一大障碍，很多这方面的数学知识成为了教师教学盲区，成为了只可意会不可言传，是一线教师课堂教学的一大痛点。同时学习的过程是经验活动积累的过程，在教学中注重学生对知识生成的体验过程，引导学生对数学现象进行细致观察刻画，可以培养学生透过现象看本质的科学思维能力。为此我们可以建立动态化的情境过程让学生直观体验，将动态变化的数据显示出来提供给学生，让学生从数据中发现总结规律，从而达到情景体验、知识生成的目的。在高考解析几何大题的讲解过程中，点、直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线多种几何要素同时出现，相切、相交、相离多种位置关系动态变化，学生很难通过静态的图像体验位置变化对角度、面积等几何度量的定量影响，这时可以在课堂上利用GeoGebra依次呈现几何要素，在变化位置关系的基础上完成度量，直接呈现度量数据，让学生有最直观的情境体验。比如2021年全国乙卷的解析几何大题：【2021年全国乙卷，21】己知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.在第二问中动点P的变化直接影响两条切线PA、PB的变化，进而使得ΔPAB的面积产生动态变化，这一过程可以利用GeoGebra在课堂上直接演示，即下图4、图5、图6、图7，可以让学生点点鼠标直接操作，让他们自主操作感受变化，在真实直观的体验中积累数学活动实验的初步经验，在这个过程中不仅体验数学外在形式的美，而且感受数学内在实质的真。图5图5点P在圆的上顶点，面积较小图6点P往右运动，面积变大 图7图7点P在圆的下顶点，面积较大图8点P往左运动，面积变小再比如在必修第一册函数的学习过程中，我们都是通过函数的图像来归纳总结函数的性质，我们可以利用GeoGebra在同一个直角坐标系中作出一系列函数的图像，通过直观明显的对比，可以轻松归纳出函数性质。在处理一些动直线与复杂函数相交相切问题的时候，复杂函数的图形我们在黑板上面画的时候很不准确，而且动直线动态变化的过程无法很好地呈现，如下面这个问题：【2015年新课标Ⅰ卷，12】设函数f(x)=ex(2x--ax,其中a，若存在唯一的整数，使得f(x0)，则a的取值范围是（）A．é

3ö é,1B．

33ö é33ö é3ö, C． , D． ,1÷÷÷÷ë2e ø

ë2e4ø

2e4ø

2e øa(x只有一个整数解的问题，再根据函数与方程的思想，相当于函数y(2x1)ex在函数ya(x下方的整数点只有一个，我们利用Geogebra作出y(2x1)ex、ya(x如下图，我们通过调节其中直线斜率a的值，来观察符合要求的整数点个数。 图9图9两个整数解点A、B，不符合要求图0一个整数解点A，符合要求图图1无整数解点，不符合要求3.直观形象原则对空间想象能力有限的学生来说，他们可以在脑海中形成三棱锥四棱柱这些粗糙单一要素的形象，但是当很多抽象的数学信息同时出现的时候，就很难在脑海中形成具体的数学形象，更不可能通过想象感知出这些数学要素之间的关系，因为在生活实践中并没有这样的形象供他们来参考。我们可以将这些数学要素整合在一个动态情境中，把这些本来抽象的数学形象变的直观可见。在必修第二册立体几何的学习过程中，很多知识难以用语言表达，这个时候我们可以利用GeoGebra直接作出图像，直观地呈现给学生。比如立体几何截面问题，需要学生很强的空间想象能力，即便用心画图讲解，学生也很难从静态的图像中体会动态变化的过程，给课堂授课带来了很大的困难，很多一线教师索性放弃讲解，让学生自己想象，但是极大多数的学生根本不具备这种能力。【2018年新课标Ⅰ卷，12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.334

B．233

C．324

D．32上题是18年全国一卷的选择压轴题，涉及正方体截面的问题。几何体的截面非常难观察，极大部分学生没有这种空间想象能力，这时候我们可以用GeoGebra作出相应几何体以及能动态平移变化的平面，显示出该平面与几何体各面交线，这样我们平移此平面就可以观察到截面的情况，将截面直接呈现在学生眼前。如下面各图，一开始可以观察到截面是三角形，然后是四边形、五边形、六边形，这个时候我们很容易发现六边形这个面积是最大的。 图图2三角形截面图3四边形截面 图图4五边形截面图5六边形截面参考文献[1]张加红：多元联系表征视角下的高中数学可视化