链式非完整控制系统的鲁棒状态反馈控制

链式非完整控制系统的鲁棒状态反馈控制

近年来，非完全系统的控制引起了人们的兴趣并进行了广泛的研究。非完全系统不满足布局局长要求的高维链反演率，即高维链反演率的低维链反演率无法确定为平衡。因此，人们发现了许多其他的解释方法。目前，非完全系统的反击法一般分为三种类型：连续时间变化反馈法、非连续反馈控制法和混合反馈控制法。更详细的数据和参考文献可以参考相关调查报告。消噪分析通常基于线性运动系统理论和barbalat’s理论。高维链系统的非连续性变化通常采用反演反演法来解决。一般非完整系统控制器的设计是通过合适的状态和输入转换,将其转变成控制器易于设计的规范形式.利用规范形式的特殊代数结构,在非完整系统的镇定问题中,人们提出了各种各样的反馈策略.近几年,在建模和参数不确定的动态非完整系统的镇定中,Ge提出了自适应控制策略.神经网络控制已应用于具有非完整约束的移动机器人的镇定控制中.在轮式移动机器人的全局渐进镇定中,Hespanha提出了基于监督自适应控制的混合控制.笔者利用Input-statescaling变换方式和Backstepping反推法相结合的设计策略,讨论了一类具有很强的非线性干扰和很强漂移项的链式非完整控制系统的镇定问题,设计出鲁棒状态反馈控制律.本文的主要贡献如下:(1)利用Input-statescaling变换方式解决了在x0子系统中,参数更新和很强的非线性漂移引起的u0=0的问题,并对系统的维数在没有任何限制的情况下,把Backstepping反推法的技术应用于不确定链式非完整控制系统中.(2)设计的控制器使得系统具有很好的动态和静态的性能,并有很好的鲁棒性.1相关控制考虑如下的链式非完整控制系统:˙x0=d0(t)u0+ϕ0,d(t,x0)˙xi=di(t)u0xi+1+ϕi,d(t,x0,x,u0)˙xn=dn(t)u1+ϕn,d(t,x0,x,u0)1≤i<n}(1)其中:u0和u1是控制输入;x=(x0,…,xn)∈Rn是系统状态;函数di(t)和ϕi(t)表示模型误差和系统忽略的动态不确定性.当di(t)=0和ϕi(t)=0(0≤i<n)时,系统(1)为一般的链式非完整系统.对于系统(1),作下述两项假设:假设1对任意的0≤i≤n,存在已知的正实数ci1和ci2,使得ci1≤di(t)≤ci2,∀t≥0(2)假设2对任意的1≤i≤n,存在已知的正实数c03和连续可微非负函数ϕi,满足以下的不等式:|ϕ0,d(t,x0)|≤c03|x0|,c03>0|ϕi‚d(t,x0,x,u0|≤|(x1,⋯,xi)|ϕi⋅(x0,⋯,xi,u0)}(3)其中,(t,x0,x,u0)在R+×R×Rn×R中.由假设1,选择如下的控制:u0=-k0x0(4)其中,k0>c03/c01>0.考虑Lyapunov函数V0=x20/2.对V0求导,得˙V0=x0(-d0k0x0+ϕ0)≤(-d0k0+c03)x20≤0(5)从上面的分析可以看出,在系统(1)中,当t→∞时,x0的状态可以通过式(4)中设计的u0达到全局镇定.当u0=0时,采用了全局Input-to-statescaling变换方式zi=x0/un-i0,0≤i≤n(6)在z坐标下,x系统可以转化成˙x0=d0u0+ϕ0,d˙zi=di(t)zi+1+—ϕi,d(t,x0,x)˙zn=dn(t)u1+—ϕn,d(t,x0,x)1≤i≤n-1}(7)对任意的1≤i≤n-1,—ϕi‚d=ϕi,d(t,x0,x,-k0x0)/un-i0-(n-i)zi⋅[-k0d0x0+ϕ0,d(t,x0)]/x0(8)引理1对任意的1≤i≤n-1,存在连续可微非负函数,满足如下的不等式:|—ϕi,d(t,x0,x)|≤|(z1,⋯,zi)|—ϕi(x0,z1,⋯,zi)(9)证明在假设1,2下,结论可由式(6)直接给出.2虚拟控制输入基于Backstepping的方法,将系统(7)转化成˙zi=di(t)zi+1+—ϕi,d(t,x0,x)˙zn=dn(t)u1+—ϕn,d(t,x0,x)1≤i≤n-1}(10)控制u1的设计步骤可以分为n步.第1步:定义ξ1=z1,ξ2=z2-α1(11)α1可看作是虚拟的控制输入,则z1子系统变为˙z1=d1z2+—ϕ1,d(t,x0,x)选择如下的Lyapunov函数为:V1=ξ21/2(12)由引理1,对式(12)求导可得˙V1≤d1(t)ξ1z2+ξ21—ϕ1(x0,z1)(13)由假设1,选择虚拟控制函数α1,即α1(x0,z1)=-k1ξ1-ϕ—1(x0,z1)ξ1/c11其中,k1>0.可以看出α1是连续可微函数,并且满足α1=0(x0∈R).则不等式(13)变为V˙1≤-k1d1(t)ξ12+d1(t)ξ1ξ2(14)其中,d1ξ1ξ2在下一步的设计中可以消掉.第i(0≤i≤n-1)步:设在i-1步中,ξi=zi-αi-1,设计的虚拟控制函数αi-1连续可微,且满足αi-1(x0,0,⋯,0)=0,∂αi-1(x0,0,⋯,0)∂x0=0,∀x0∈R(15)对ξi求导,得ξ˙i=di(t)ξi+1+di(t)αi+ϕ—i,d-∂αi-1∂x0[d0(t)u0+ϕ0d]-∑j=1i-1∂αi-1∂zj[dj(t)zj+1+ϕ—j,d](16)其中,ξi=zi+1-αi(x0,z1,…,zi).考虑如下的Lyapunov函数:Vi=Vi-1(ξ1,⋯,ξi-1)+ξi2/2(17)对Vi求导可得V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+1+j)ξj2+di-1ξi-1ξi+ξi{di(t)ξi+1+di(t)αi+Φ—i,d-∂αi-1∂x0[d0(t)u0+Φ0,d]-∑j=1i-1∂αi-1∂zj[dj(t)zj+1+Φj,d]}(18)根据假设和均值定理,必定存在连续非负函数pi(x0,z1,…,zi),满足di-1ξi-1ξi+ξi{ϕ—i‚d-∂ϕi-1∂x0[d0(t)u0+ϕ0,d]-∑j=1i-1∂ϕi-1∂zj[dj(t)zj+1+ϕ—j,d]}≤∑j=1i-1ξj2+ξj2pi(x0,z1,⋯,zi)(19)则不等式(18)可以写为V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+j)ξj2+di(t)ξiξi+1+ξi2pi.选择虚拟控制输入αi为αi=-kiξi-ξipi(x0,z1,⋯,zi)/ci1(20)其中,ki>0.可以得出V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+j)ξj2+di(t)ξiξi+1(21)其中,di(t)ξiξi+1可以在下一步设计中消掉.可以得出虚拟控制输入αi是连续可微函数,并且满足αi=0(x0∈R).第n步:考虑整个z子系统,假设Vn-1和αn-1已经设计完毕,选择如下的Lyapunov函数:Vn=Vn-1(ξ1,⋯,ξn-1)+ξn2/2(22)其中,ξn=zn-αn-1.则式(10)的最后方程可写成ξ˙n=dn(t)u1+ϕ—n,d-∂αn-1∂x0(d0(t)u0+ϕ0‚d)-∑j=1n-1∂αn-1∂zj(dj(t)zj+1+ϕ—j,d)(23)对Vn求导,得到V˙n≤-∑j=1n-1(kjdj(t)-n+1+j)ξj2+dn-1(t)ξn-1ξn+ξn{dn(t)u1+ϕ—n,d-∂αn-1∂x0[d0(t)u0+ϕ0,d]-∑j=1n-1∂αn-1∂zj[dj(t)zj+1+ϕ—j,d]}(24)与第2到第n-1步类似,存在的连续可微非负函数pi,使得dn-1ξn-1ξn+ξn{ϕ—n,d-∂αn-1∂x0[d0(t)u0+ϕ0,d]-∑j=1n-1∂αn-1∂zj[dj(t)zj+1+ϕ—j,d]}≤∑j=1n-1ξj2+ξn2pn(x0,z1,⋯,zn)(25)选择控制输入u1,得u1=-knξn-ξnpn(x0,z1,…,zn)/cn1(26)结合假设1,可以得到V˙n≤-∑j=1n[kjdj(t)-n+j]ξj2(27)因V˙n≤0,ki满足ki≥(n-i/ci1)(2≤i≤n).定理1在假设1情况下,对不确定非完整控制系统(1),设计u0和u1控制u0={-k0x0‚x(0)≠0u*‚x(0)=0(28)u1={-knξn-ξnpn(x0,z1,⋯,zn)/cn1‚x(0)≠0u1*‚x(0)=0(29)其中:u*0,u*1为不等于0的常量;k1≥c13/c11,并且ki≥(n-i)/ci1,2≤i<nξi=zi-αi-1(x0,z1,…,zi-1),2≤i≤nαi=-kiξi-ξipi(x0,z1,…,zi)/ci12≤i≤n-1则控制(28)和(29)可使系统(1)全局镇定.证明选择Lyapunov函数V=V0+∑i=1n(ζi2/2),对其时间求导得出V˙≤-(d0k0-c03)x02-∑j=1n[kj⋅dj(t)-n+j]ξj2.令E=(x0,ζ1,…,ζn)∈Ln+1∞.按LaSalle不变定理,可得出当t→∞时,E(t)→0.由上面推导可知,虚拟控制输入αi(0,…,0)=0,1≤i≤n-1和实际控制u1(0,…,0)=0,且当t→∞时,E(t)→0.由此得当t→∞时,(x0(t),z(t))→0.进一步可得,当t→∞时,(x0(t),x(t))→0.3控制律的生成为验证所提出控制律的有效性,考虑如下受非完整约束的轮式机器人为仿真对象:x˙=p1vcosθy˙=p1vsinθθ˙=p2ω}(30)其中,p1和p2为已知参数,且满足pmin≤p1,p2≤pmax,0<pmin<pmax<∞.可以看出,系统(30)不属于系统(1),但通过以下的转变——x0=θ,x1=xsinθ-ycosθ,x2=xcosθ+ysinθ,u0=ω,u1=v系统(30)可以转为如下属于系统(1)的形式:x˙0=p2u0x˙1=p2x2u0x˙2=p1u1-p2x1u0}(31)在此,假设x(0)≠0.根据上面的设计步骤,可以得到如下的控制律:u0=-k0x0(32)u1=-k2ξ2-[(1+k1)pmax/pmin]ξ2-(pmax/4pmin)(k0+k0k1-k02x02-2k1-k12)2ξ2(33)其中,k0>0,k1>1,k2>0.并且z1=x1/u0,z2=x2,ξ1=z1,ξ2=z2-α1=z2+(1+k1)ξ1.选择p1=p2=1,pmin=1,pmax=2,k0=0.5,k1=2,k2=1.选择初始状态(x(0),y(0