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第页专题2.2绝对值与相反数【九大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1相反数的概念及表示】 1【题型2相反数的性质运用】 3【题型3绝对值的定义】 4【题型4由绝对值的性质化简】 5【题型5绝对值的非负性】 6【题型6绝对值的几何意义】 7【题型7利用法则比较有理数大小】 9【题型8利用特殊值法比较有理数大小】 11【题型9利用数轴比较有理数大小】 13【知识点1相反数的概念及表示方法】相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.相反数的表示方法:一般地,a和-a互为相反数,这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零,特别地,一个数的相反数等于它本身这个数是零.【题型1相反数的概念及表示】【例1】(2021秋•安阳县月考)下列各对数中,互为相反数的有()+(+1)与﹣1,(﹣1)与+(﹣1),﹣(﹣2)与+(﹣2),﹣(-13)与+(A.6对 B.5对 C.4对 D.3对【分析】分别化简每组中的两个数,再根据互为相反数的定义进行判断即可.【解答】解:+(+1)=1,1与﹣1是互为相反数,因此+(+1)与﹣1是互为相反数;(﹣1)=﹣1,+(﹣1)=﹣1,因此(﹣1)与+(﹣1)不是互为相反数;﹣(﹣2)=2,而+(﹣2)=﹣2,2与﹣2是互为相反数,因此﹣(﹣2)与+(﹣2)是互为相反数;﹣(-13)=13,而+(+13)+[﹣(+1)]=﹣1,而﹣[+(﹣1)]=1,因此+[﹣(+1)]与﹣[+(﹣1)]是互为相反数;﹣(+2)=﹣2而﹣(﹣2)=2.因此﹣(+2)与﹣(﹣2)是互为相反数;综上所述,表示互为相反数的有4组,故选:C.【变式1-1】(2021秋•义马市期中)下列各组数中:①﹣0.5与1.5;②34与-43;③a与﹣(﹣a);④a﹣2b与﹣aA.1组 B.2组 C.3组 D.4组【分析】直接根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可.【解答】解:①﹣0.5与1.5不是相反数;②34与-③a=﹣(﹣a)不是互为相反数;④a﹣2b与﹣a+2b为相反数;故选:A.【变式1-2】(2021秋•武冈市期中)﹣a+b+c的相反数是()A.a+b+c B.﹣a﹣b﹣c C.﹣a+b+c D.a﹣b﹣c【分析】相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.【解答】解:﹣a+b+c的相反数是﹣(﹣a+b+c)=a﹣b﹣c.故选:D.【变式1-3】(2021秋•安阳县月考)若﹣{﹣[﹣(﹣x)]}=﹣4,则x的相反数是.【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案.【解答】解:∵﹣{﹣[﹣(﹣x)]}=﹣4,∴[﹣(﹣x)]=﹣4,∴x=﹣4,则x的相反数是:4.故答案为:4.【知识点2相反数的性质】若a与b互为相反数,那么a+b=0.【题型2相反数的性质运用】【例2】(2021秋•宁远县期末)若a与b互为相反数,则代数式2021a+2021b﹣5=﹣5.【分析】根据相反数的性质解决此题.【解答】解:∵a与b互为相反数,∴a+b=0.∴2021a+2021b﹣5=2021(a+b)﹣5=2021×0﹣5=﹣5.故答案为:﹣5.【变式2-1】(2022秋•凉州区期末)若4a﹣9与3a﹣5互为相反数,则a的值为.【分析】根据题意可以得到一个关于a的方程,解方程就可以求得a的值.【解答】解:依题意有:4a﹣9+3a﹣5=0,解得:a=2.故答案为:2.【变式2-2】(2021秋•江州区期中)已知x+2y与x+4互为相反数,则x+y的值为()A.﹣4 B.﹣1 C.﹣2 D.2【分析】直接利用相反数的定义得出答案.【解答】解:∵x+2y与x+4互为相反数,∴x+2y+x+4=0,则2x+2y=﹣4,故x+y=﹣2.故选:C.【变式2-3】(2022秋•路北区期末)已知a+2b+3c=m,a+3b+4c=m,则b和c的关系为()A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.无法确定【分析】由于a+2b+3c=m,a+3b+4c=m,则a+2b+3c=a+3b+4c,则b与c的关系即可求出.【解答】解:由题意得,a+2b+3c=m,a+3b+4c=m,则a+2b+3c=a+3b+4c,所以b+c=0,所以b与c互为相反数.故选:A.【知识点3绝对值的定义】一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作a.【题型3绝对值的定义】【例3】(2021秋•谷城县期中)一个数的绝对值是23,那么这个数为;若|﹣5|=|﹣a|,则a=【分析】根据绝对值的定义进行计算即可.【解答】解:∵一个数的绝对值是23∴这个数是±23∵|﹣5|=|﹣a|=5,∴a=±5.故答案为:±2【变式3-1】(2021秋•鲤城区校级月考)已知a=﹣4,|a|=|b|,则b的值为()A.+4 B.±4 C.0 D.﹣4【分析】根据绝对值的定义解决此题.【解答】解:根据绝对值的定义,得|a|=|﹣4|=4.∵|a|=|b|,∴|b|=4.∴b=±4.故选:B.【变式3-2】(2021秋•洛江区期末)已知,a,b是不为0的有理数,且|a|=﹣a,|b|=b,|a|>|b|,那么用数轴上的点来表示a,b时,正确的是()A. B. C. D.【分析】根据绝对值的性质可得a≤0,b≥0,再根据|a|>|b|可得a距离原点比b距离原点远,进而可得答案.【解答】解:∵|a|=﹣a,|b|=b,∴a≤0,b≥0,∵|a|>|b|,∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大,故选:C.【变式3-3】(2021秋•东坡区期末)下列各式的结论成立的是()A.若|m|=|n|,则m=n B.若|m|>|n|,则m>n C.若m>n,则|m|>|n| D.若m<n<0,则|m|>|n|【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可.【解答】解:A.若|m|=|n|,则m=n或m=﹣n,故原说法错误,选项不符合题意;B.若|m|>|n|,则﹣m<n<m,故原说法错误,选项不符合题意;C.若m>n>﹣m,则|m|>|n|,故原说法错误,选项不符合题意;D.若m<n<0,则|m|>|n|,正确,选项符合题意;故选:D.【知识点4绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.【题型4由绝对值的性质化简】【例4】(2021秋•长沙县期末)化简:|π﹣3.15|+π=.【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号,然后解答即可.【解答】解:|π﹣3.15|+π,=3.15﹣π+π,=3.15.故答案为:3.15.【变式4-1】(2021秋•蔡甸区期末)若x的绝对值小于1,则化简|x﹣1|+|x+1|得.【分析】直接利用已知得出x的取值范围,进而结合绝对值的性质化简得出答案.【解答】解:∵x的绝对值小于1,∴﹣1<x<1,∴|x﹣1|+|x+1|=1﹣x+x+1=2.故答案为:2.【变式4-2】(2021秋•青羊区校级月考)若x≤0,化简|2+|x﹣2||的结果为.【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可.【解答】解:因为x≤0,所以x﹣2<0,4﹣x>0所以|2+|x﹣2||=|2﹣(x﹣2)|=|2﹣x+2|=|4﹣x|=4﹣x.故答案为:4﹣x.【变式4-3】(2022秋•阜宁县月考)当1<x<5时,化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|=.【分析】由已知1<x<5,得:x﹣1>0,5﹣x>0,x﹣6<0,再根据绝对值的性质进行化简.【解答】解:∵1<x<5,∴x﹣1>0,5﹣x>0,x﹣6<0,∴|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|=x﹣1﹣(5﹣x)+(6﹣x)=x﹣1﹣5+x+6﹣x=x,故答案为:x.【知识点5绝对值的非负性】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,即若a+b=0,则a=0且【题型5绝对值的非负性】【例5】(2021秋•顺德区月考)若|x-2|+|y-23|=0,则x=,y=【分析】根据绝对值的非负性解答即可.【解答】解:根据题意可得:x﹣2=0,y-2可得:x=2,y=2故答案为:2;23【变式5-1】(2022春•东台市期中)|x﹣2|+9有最小值为.【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案.【解答】解:∵|x﹣2|≥0,∴|x﹣2|+9≥9,∴|x﹣2|+9有最小值为9.故答案为:9.【变式5-2】(2022•东坡区校级模拟)下列各式x、x2、1|x|、x2+2、|xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可.【解答】解:x不一定是正数;x2不一定是正数;1|x|一定是正数;x2|x+2|不一定是正数;所以值一定是正数的有2个,故选:B.【变式5-3】(2021秋•渑池县期末)若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数,则a+b的值为()A.3 B.﹣3 C.0 D.3或﹣3【分析】根据非负数互为相反数,可得这两个数为零,可得a、b的值,根据有理数的加法,可得答案.【解答】解:∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数,∴|a﹣1|+|b﹣2|=0,又∵|a﹣1|≥0,|b﹣2|≥0,∴a﹣1=0,b﹣2=0,解得a=1,b=2,a+b=1+2=3.故选:A.【题型6绝对值的几何意义】【例6】(2021秋•遵义期末)在数轴上,点M、N分别表示数m,n.则点M、N之间的距离为|m﹣n|.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示的数为a,b,c,d.且|a﹣c|=|b﹣c|=2,25|d﹣a|=1(a≠b),则线段BDA.4.5 B.1.5 C.6.5或1.5 D.4.5或1.5【分析】根据绝对值的几何意义,可以知道C是AB的中点,且到A、B的距离均为2.又D、A的距离为2.5,结合数轴可以快速得出答案.【解答】解:依题意可知AC=BC=2,AD=2.5,所以AB=4,当B、D在A的同侧时,BD=AB﹣AD=1.5.当B、D在A的异侧时,BD=AB+AD=6.故选:C.【变式6-1】(2021秋•芜湖期末)适合|a+5|+|a﹣3|=8的整数a的值有()A.4个 B.5个 C.7个 D.9个【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和,由此可得出a的值,继而可得出答案.【解答】解:|a+5|表示a到﹣5点的距离,|a﹣3|表示a到3点的距离,由﹣5到3点的距离为8,故﹣5到3之间的所有点均满足条件,即﹣5≤a≤3,又由a为整数,故满足条件的a有:﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3共9个,故选:D.【变式6-2】(2021秋•西峡县期末)|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于()A.10 B.11 C.17 D.21【分析】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义,得出当﹣1≤x≤3时,这个距离之和最小,再根据数轴表示数的特点进行计算即可.【解答】解:|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点,到表示数﹣8,﹣1,3,5的点的距离之和,由数轴表示数的意义可知,当﹣1≤x≤3时,这个距离之和最小,最小值为|5﹣(﹣8)|+|3﹣(﹣1)|=13+4=17,故选:C.【变式6-3】(2021秋•绵竹市期末)代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是.【分析】利用绝对值的定义,结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离.【解答】解:∵|x+1009|=|x﹣(﹣1009)|,|x+506|=|x﹣(﹣506)|,由绝对值的定义可知:|x+1009|代表x到﹣1009的距离;|x+506|代表x到﹣506的距离;|x﹣1012|代表x到1012的距离;结合数轴可知:当x在﹣1009与1012之间,且x=﹣506时,距离之和最小,∴最小值=1012﹣(﹣1009)=2021,故答案为:2021.【知识点7有理数比较大小的法则】两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:【题型7利用法则比较有理数大小】【例7】(2022春•泰山区校级月考)用“>”“<”或“=”填空:-35-(-14)﹣213【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.【解答】解:|-35|=35,|∵35∴-3∵-(-14)=∴-(-1|﹣213|=21∵213∴﹣213故答案为:>、>、<.【变式7-1】(2021秋•旌阳区校级月考)下列四个式子:①-3.8>-(+334);②-(-3A.③④ B.①③ C.①② D.②③【分析】根据有理数的大小关系、绝对值、相反数解决此题.【解答】解:①由-(+334)=-3.75,根据有理数的大小关系,得-3.8②由-(-34)=34,-(-35③由|﹣2.5|=2.5,根据有理数的关系,得2.5>﹣2.5,即|﹣2.5|>﹣2.5,那么③正确.④由-(-512)=512=5+12=5+综上:正确的有②③.故选:D.【变式7-2】(2021秋•双台子区校级期中)用“<”号连接三个数:|﹣3.5|,-3A.-32<0.75<|﹣3.5| B.C.|﹣3.5|<-32<【分析】根据有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可.【解答】解:∵|﹣3.5|=3.5,∴-3故选:A.【变式7-3】(2021秋•靖西市期中)下列各组数中,比较大小正确的是()A.|-23|<|-12| B.﹣|﹣34C.﹣|﹣8|>7 D.-【分析】先化简各数,然后再进行比较即可.【解答】解:A.∵|-23|=23,|∴|-23|>|故A错误;B.∵﹣|-3411|=-3411,﹣(∴﹣|-3411|<﹣(故B错误;C.∵﹣|﹣8|=﹣8,∴﹣|﹣8|<7,故C错误;D.∵|-56|=56,|∴56∴-5故D正确;故选:D.【题型8利用特殊值法比较有理数大小】【例8】(2021秋•姑苏区校级期末)如果实数﹣1<a<0,那么a,﹣a,a2,1aA.a<﹣a<a2<1a B.﹣a<a<a2<1a C.1a<a<a2<﹣a D.1【分析】用特殊值法比较大小即可.【解答】解:若a=-1﹣a=1a2=11a∵﹣2<-∴1a<a<a2<﹣故选:C.【变式8-1】(2021秋•襄汾县期中)已知a是小于1的正数,则﹣a,﹣a2,-1a,A.﹣a>-1a>-a2>-1aC.-1a2>-1a>-a2【分析】根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,据此判断即可.【解答】解:∵0<a<1,∴|-1∴-a故选:B.【变式8-2】(2021秋•朝阳区期末)设a,b,c为非零有理数,a>b>c,则下列大小关系一定成立的是()A.a﹣b>b﹣c B.1a<1b<1c C.a2>b2>c2 D.【分析】根据等式的性质和反例,结合有理数大小比较的方法即可求解.【解答】解:A、当a=0,b=﹣2,c=﹣5时,a﹣b<b﹣c,不符合题意;B、当a=1,b=﹣2,c=﹣5时,1aC、当a=1,b=﹣2,c=﹣5时,a2<b2<c2,不符合题意;D、∵a>b,∴a﹣c>b﹣c,符合题意.故选:D.【变式8-3】(2021秋•玄武区期末)已知﹣1<x<0,则x、x2、x3的大小关系是.(用“<”连接)【分析】直接利用x的取值范围进而得出答案.【解答】解:∵﹣1<x<0,∴x<x3<x2.故答案为:x<x3<x2.【知识点2数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小.【题型9利用数轴比较有理数大小】【例9】(2021秋•长春期末)如图,点A表
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